2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 6.3 等比數(shù)列教案 理 新人教A版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 6.3 等比數(shù)列教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　等比數(shù)列的基本運算與判定 【例1】數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…).求證： (1)數(shù)列{}是等比數(shù)列；(2)Sn＋1＝4an. 【解析】(1)因為an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn， 所以(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn). 整理得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，所以＝2， 故{}是以2為公比的等比數(shù)列. (2)由(1)知＝4＝(n≥2)， 于是Sn＋1＝4(n＋1)＝4an(n≥2). 又a2＝3S1＝3，故S2＝a1＋a2＝4. 因此對于任意正整數(shù)n≥1，都有Sn＋1＝4an. 【點撥】①運用等比數(shù)列的基本公式，將已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于等比數(shù)列的特征量a1、q的方程是求解等比數(shù)列問題的常用方法之一，同時應(yīng)注意在使用等比數(shù)列前n項和公式時，應(yīng)充分討論公比q是否等于1；②應(yīng)用定義判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列是最直接，最有依據(jù)的方法，也是通法，若判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列可用＝q(常數(shù))恒成立，也可用a＝anan＋2 恒成立，若判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列則只需舉出反例即可，也可以用反證法. 【變式訓(xùn)練1】等比數(shù)列{an}中，a1＝317，q＝－.記f(n)＝a1a2…an，則當(dāng)f(n)最大時，n的值為(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】an＝317(－)n－1，易知a9＝317＞1，a10＜0,0＜a11＜1.又a1a2…a9＞0，故f(9)＝a1a2…a9的值最大，此時n＝9.故選C. 題型二　性質(zhì)運用 【例2】在等比數(shù)列{an}中，a1＋a6＝33，a3a4＝32，an＞an＋1(n∈N*). (1)求an； (2)若Tn＝lg a1＋lg a2＋…＋lg an，求Tn. 【解析】(1)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知a1a6＝a3a4＝32， 又a1＋a6＝33，a1＞a6，解得a1＝32，a6＝1， 所以＝，即q5＝，所以q＝， 所以an＝32()n－1＝26－n . (2)由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，{lg an}是等差數(shù)列， 因為lg an＝lg 26－n＝(6－n)lg 2，lg a1＝5lg 2， 所以Tn＝＝lg 2. 【點撥】歷年高考對性質(zhì)考查較多，主要是利用“等積性”，題目“小而巧”且背景不斷更新，要熟練掌握. 【變式訓(xùn)練2】在等差數(shù)列{an}中，若a15＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a29－n(n＜29，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地在等比數(shù)列{bn}中，若b19＝1，能得到什么等式？ 【解析】由題設(shè)可知，如果am＝0，在等差數(shù)列中有 a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2m－1－n(n＜2m－1，n∈N*)成立， 我們知道，如果m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq， 而對于等比數(shù)列{bn}，則有若m＋n＝p＋q，則aman＝apaq， 所以可以得出結(jié)論： 若bm＝1，則有b1b2…bn＝b1b2…b2m－1－n(n＜2m－1，n∈N*)成立. 在本題中則有b1b2…bn＝b1b2…b37－n(n＜37，n∈N*). 題型三　綜合運用 【例3】設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，其中an≠0，a1為常數(shù)，且－a1，Sn，an＋1成等差數(shù)列. (1)求{an}的通項公式； (2)設(shè)bn＝1－Sn，問是否存在a1，使數(shù)列{bn}為等比數(shù)列？若存在，則求出a1的值；若不存在，說明理由. 【解析】(1)由題意可得2Sn＝an＋1－a1. 所以當(dāng)n≥2時，有 兩式相減得an＋1＝3an(n≥2). 又a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0， 所以{an}是以首項為a1，公比為q＝3的等比數(shù)列. 所以an＝a13n－1. (2)因為Sn＝＝－a1＋a13n，所以bn＝1－Sn＝1＋a1－a13n. 要使{bn}為等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)1＋a1＝0，即a1＝－2，此時bn＝3n. 所以{bn}是首項為3，公比為q＝3的等比數(shù)列. 所以{bn}能為等比數(shù)列，此時a1＝－2. 【變式訓(xùn)練3】已知命題：若{an}為等差數(shù)列，且am＝a，an＝b(m＜n，m、n∈N*)，則am＋n＝.現(xiàn)在已知數(shù)列{bn}(bn＞0，n∈N*)為等比數(shù)列，且bm＝a，bn＝b(m＜n，m，n∈N*)，類比上述結(jié)論得bm＋n＝　　　　　. 【解析】. 總結(jié)提高 1.方程思想，即等比數(shù)列{an}中五個量a1，n，q，an，Sn，一般可“知三求二”，通過求和與通項兩公式列方程組求解. 2.對于已知數(shù)列{an}遞推公式an與Sn的混合關(guān)系式，利用公式an＝Sn－Sn－1(n≥2)，再引入輔助數(shù)列，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題求解. 3.分類討論思想：當(dāng)a1＞0，q＞1或a1＜0,0＜q＜1時，等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；當(dāng)a1＞0,0＜q＜1或a1＜0，q＞1時，{an}為遞減數(shù)列；q＜0時，{an}為擺動數(shù)列；q＝1時，{an}為常數(shù)列.