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1、一元二次方程的解法專(zhuān)題
知識(shí)點(diǎn)睛
一、一元二次方程的解法
1.一元二次方程的解法:
⑴直接開(kāi)平方法:適用于解形如的一元二次方程.
⑵配方法:解形如的一元二次方程,
運(yùn)用配方法解一元二次方程的一般步驟是:
①二次項(xiàng)系數(shù)化1.
②常數(shù)項(xiàng)右移.
③配方(兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方).
④化成的形式.
⑤若,選用直接開(kāi)平方法得出方程的解.
⑶公式法:
設(shè)一元二次方程為,其根的判別式為:,是方程的兩根,則:
⑴ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
⑵ 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.
⑶ 方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
若、、為有理數(shù),且為完全平方式,則方程的解為有理根;
若
2、為完全平方式,同時(shí)是的整數(shù)倍,則方程的根為整數(shù)根.
運(yùn)用公式法解一元二次方程的一般步驟是:
①把方程化為一般形式
②確定、、的值.
③計(jì)算的值.
④若,則代入公式求方程的根.
⑤若,則方程無(wú)解.
⑷因式分解法:適用于方程一邊是零,另一邊是一個(gè)易于分解的多項(xiàng)式.
2.一元二次方程解法的靈活運(yùn)用
直接開(kāi)方法,配方法,公式法,因式分解法.在具體解題時(shí),應(yīng)當(dāng)根據(jù)題目的特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)慕夥ǎ?
⑴ 因式分解法:適用于右邊為(或可化為),而左邊易分解為兩個(gè)一次因式積的方程,缺常數(shù)項(xiàng)或含有字母系數(shù)的方程用因式分解法較為簡(jiǎn)便,它是一種最常用的方法.
⑵ 公式法:適用于任何形式的一元二
3、次方程,但必須先將方程化為一般形式,并計(jì)算的值.
⑶ 直接開(kāi)平方法:用于缺少一次項(xiàng)以及形如或或
的方程,能利用平方根的意義得到方程的解.
⑷ 配方法:配方法是解一元二次方程的基本方法,而公式是由配方法演繹得到的.把一元二次方程的一般形式(、、為常數(shù),)轉(zhuǎn)化為它的簡(jiǎn)單形式,這種轉(zhuǎn)化方法就是配方,具體方法為:
.
所以方程(、、為常數(shù),)就轉(zhuǎn)化為的形式,
即,之后再用直接開(kāi)平方法就可得到方程的解.
例題精講
一.解一元二次方程-直接開(kāi)平方法(共10小題)
1.方程根是 .
2.方程的根是 ?。?
3.一元二次方程的根是 .
4.方程的根
4、是 .
5.一元二次方程的根是 ?。?
6.解方程.
7.解方程:.
8.解方程:.
9.解方程:.
10. 解方程:.
二.解一元二次方程-配方法(共10小題)
11.把方程配方后的方程為 ?。?
12.一元二次方程配方后可化為 ?。?
13.一元二次方程配方后可變形為 .
14.把一元二次方程通過(guò)配方化成的形式為 ?。?
15.用配方法解一元二次方程,此方程可變形為 ?。?
16.用配方法解方程:.
17. 用配方法解方程:.
18. 用配方法解方程:.
19.用配方法解方程
5、:.
20.用配方法解方程:.
三.解一元二次方程-公式法(共10小題)
21.用公式法解方程:,得到 .
22.用公式法解方程的根是 ?。?
23.用公式法解方程,可求得解為 ?。?
24.用公式法解方程,則 ?。环匠痰慕鉃椤??。?
25.用求根公式解方程,先求得 ,則 , .
26.用公式法解方程:.
27. 用公式法解方程:.
28.用公式法解方程:.
29. 用公式法解方程:.
30.用公式法解方程:.
四.解一元二次方程-因式分解法(共10小題)
31.一元二次方
6、程的解是 ?。?
32.用因式分解法解方程的解是 ?。?
33.用因式分解法解方程:,其根為 ?。?
34.用因式分解法解方程,得 , .
35.用因式分解法解關(guān)于的一元二次方程的根是 ?。?
36.用因式分解法解方程:.
37. 用因式分解法解方程:.
38. 用因式分解法解方程:.
39. 用因式分解法解方程:.
40.用因式分解法解方程:
參考答案
一.解一元二次方程-直接開(kāi)平方法(共10小題)
1.方程根是 .
解:,
,
則,
故答案為:.
2.方程的根是 ?。?
解:,
,
故答案為:
3.一
7、元二次方程的根是 ,?。?
解:,
,
所以,.
故答案為,.
4.方程的根是 ,?。?
解:,
或,
解得,,
故答案為:,.
5.一元二次方程的根是 或?。?
解:,
,
,
或,
故答案為:或
6.解方程
解:
,.
7.解方程:.
解:,
,
解得:,.
8.解方程:.
解:由原方程,得
,
直接開(kāi)平方,得
,
解得,.
9.解方程:
解:,
則:,
故,
解得:,.
10.解方程:
解:
,
解得或.
二.解一元二次方程-配方法(共10小題)
11.把方程配方后的方程為 ?。?
解:,
,
,
,
8、
故答案為:.
12.一元二次方程配方后可化為 ?。?
解:,
,
則,即,
故答案為:.
13.一元二次方程配方后可變形為 ?。?
解:,
,
故答案為:.
14.把一元二次方程通過(guò)配方化成的形式為 ?。?
解:,
,
,
故答案為:
15.用配方法解一元二次方程,此方程可變形為 ?。?
解:,
,
.
故答案為.
16.用配方法解方程:.
解:
,.
17.用配方法解方程:.
【解答】
,.
18.用配方法解方程:.
解:,
,
則,即,
,
則,.
19.用配方法解方程:.
解:,
,
,
9、
或;
20.用配方法解方程:.
解:整理得,,
配方得,
,
此方程無(wú)解.
三.解一元二次方程-公式法(共10小題)
21.用公式法解方程:,得到 ?。?
解:方程整理得:,
這里,,,
△,
,
故答案為:
22.用公式法解方程的根是 ?。?
解:,,
.
23.用公式法解方程,可求得解為 或 .
解:,,,
.
,
,.
故答案為或.
24.用公式法解方程,則 5 ;方程的解為 ?。?
解:,,
.
25.用求根公式解方程,先求得 5 ,則 , ?。?
解:整理為一般形式得:,
,,,
,
,
,.
故答案為:5;;
10、
26.用公式法解方程:.
解:,
,
,
,.
27.用公式法解方程:.
解:,
,,,
△,
則,
解得,.
28.用公式法解方程:.
解:,,,
△,
則.
29.用公式法解方程:.
解:原式即:,
,,,
則△,
故,
則,.
30.用公式法解方程:.
解:整理得:,
,
,
,.
四.解一元二次方程-因式分解法(共10小題)
31.一元二次方程的解是 , .
解:方程,
分解因式得:,
可得或,
解得:,,
故答案為:,
32.用因式分解法解方程的解是 , .
解:
,
解得:,.
故答案為:,.
33.
11、用因式分解法解方程:,其根為 ,?。?
解:,
,.
34.用因式分解法解方程,得 , ?。?
解:原方程可分解為:
,,
,.
故答案為,2.
35.用因式分解法解關(guān)于的一元二次方程的根是 ,?。?
解:,
或,
,.
故答案為,.
36.利用因式分解解方程:.
解:由原方程,得
,
或,
解得,,.
37.因式分解法解方程:.
解:,
移項(xiàng)得:,
,
,
,,
.
38.用因式分解法解方程:.
解:因式分解,得
,
于是,得
或,
于是,得
或.
解得,.
39.用因式分解法解方程:
解:根據(jù)題意,移項(xiàng)得:,
提取公因式得:,
原方程的解為:,.
40.用因式分解法解方程:
解:根據(jù)題意,原方程可化為:,
方程的解為:,.
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