《2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 攻堅(jiān)克難 壓軸大題多得分 第29練 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí) 文.doc》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 攻堅(jiān)克難 壓軸大題多得分 第29練 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí) 文.doc(15頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
2019年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三篇 攻堅(jiān)克難 壓軸大題多得分 第29練 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習(xí) 文
[明考情]
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是高考必考題,難度為中高檔,常作為壓軸題出現(xiàn),大致在第20題的位置.
[知考向]
1.直線與橢圓.
2.直線與拋物線.
考點(diǎn)一 直線與橢圓
方法技巧 對(duì)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題,一般要把圓錐曲線的方程與直線方程聯(lián)立來處理.
(1)設(shè)直線方程,在直線的斜率不確定的情況下要分斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論,或者將直線方程設(shè)成x=my+b的形式.
(2)聯(lián)立直線方程與曲線方程并將其轉(zhuǎn)化成一元二次方程,利用方程根的判別式或根與系數(shù)的關(guān)系得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系.
(3)一般涉及弦的問題,要用到弦長(zhǎng)公式|AB|=|x1-x2|或|AB|=|y1-y2|.
1.(xx天津)設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,離心率為.已知A是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為.
(1)求橢圓的方程和拋物線的方程;
(2)設(shè)l上兩點(diǎn)P,Q關(guān)于x軸對(duì)稱,直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B(點(diǎn)B異于點(diǎn)A),直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若△APD的面積為,求直線AP的方程.
解 (1)設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-c,0),依題意,得=,=a,a-c=,
解得a=1,c=,p=2,
于是b2=a2-c2=.
所以橢圓的方程為x2+=1,拋物線的方程為y2=4x.
(2)設(shè)直線AP的方程為x=my+1(m≠0),與直線l的方程x=-1聯(lián)立,可得點(diǎn)P,
故點(diǎn)Q.
將x=my+1與x2+=1聯(lián)立,消去x,
整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0或y=.
由點(diǎn)B異于點(diǎn)A,可得點(diǎn)B.
由Q,可得直線BQ的方程為(x+1)-=0,
令y=0,解得x=,
故點(diǎn)D.
所以|AD|=1-=.
又因?yàn)椤鰽PD的面積為,
故=,
整理得3m2-2|m|+2=0,
解得|m|=,所以m=.
所以直線AP的方程為3x+y-3=0或3x-y-3=0.
2.(xx全國(guó)Ⅱ)已知橢圓E:+=1的焦點(diǎn)在x軸上,A是E的左頂點(diǎn),斜率為k(k>0)的直線交E于A,M兩點(diǎn),點(diǎn)N在E上,MA⊥NA.
(1)當(dāng)t=4,|AM|=|AN|時(shí),求△AMN的面積;
(2)當(dāng)2|AM|=|AN|時(shí),求k的取值范圍.
解 (1)設(shè)M(x1,y1),則由題意知y1>0.
當(dāng)t=4時(shí),橢圓E的方程為+=1,A(-2,0).
由|AM|=|AN|及橢圓的對(duì)稱性知,直線AM的傾斜角為.
因此直線AM的方程為y=x+2.
將x=y(tǒng)-2代入+=1,得7y2-12y=0,
解得y=0或y=,所以y1=.
因此△AMN的面積S△AMN=2=.
(2)由題意t>3,k>0,A(-,0),
將直線AM的方程y=k(x+)代入+=1,
得(3+tk2)x2+2tk2x+t2k2-3t=0.
由x1(-)=,
得x1=,
故|AM|=|x1+|=.
由題設(shè),直線AN的方程為y=-(x+),
故同理可得|AN|=.
由2|AM|=|AN|,得=,即(k3-2)t=3k(2k-1),
當(dāng)k=時(shí)上式不成立,因此t=.
t>3等價(jià)于=<0,即<0.
由此得或解得
0,
即m>-1時(shí),x1,2=22.
從而|AB|=|x1-x2|=4.
由題設(shè)知|AB|=2|MN|,即4=2|m+1|,
解得m=7.
所以直線AB的方程為y=x+7.
7.已知圓C過定點(diǎn)F,且與直線x=相切,圓心C的軌跡為E,曲線E與直線l:y=k(x+1)(k∈R)相交于A,B兩點(diǎn).
(1)求曲線E的方程;
(2)當(dāng)△OAB的面積等于時(shí),求k的值.
解 (1)由題意,點(diǎn)C到定點(diǎn)F和直線x=的距離相等,
故點(diǎn)C的軌跡E的方程為y2=-x.
(2)由方程組
消去x后,整理得ky2+y-k=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由根與系數(shù)的關(guān)系,有y1+y2=-,y1y2=-1.
設(shè)直線l與x軸交于點(diǎn)N,則N(-1,0).
∴S△OAB=S△OAN+S△OBN=|ON||y1|+|ON||y2|=|ON||y1-y2|
=1=.
∵S△OAB=,∴=,
解得k=.
8.已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點(diǎn)A(1,-2).
(1)求拋物線C的方程,并求其準(zhǔn)線方程;
(2)是否存在平行于OA(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的直線l,使得直線l與拋物線C有公共點(diǎn),且直線OA與l的距離等于?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.
解 (1)將(1,-2)代入y2=2px,
得(-2)2=2p1,
所以p=2.
故所求的拋物線C的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.
(2)假設(shè)存在符合題意的直線l,其方程為y=-2x+t.
由得y2+2y-2t=0.
因?yàn)橹本€l與拋物線C有公共點(diǎn),
所以Δ=4+8t≥0,解得t≥-.
又由直線OA與l的距離d=,
可得=,解得t=1.
因?yàn)椋??,1∈,
所以符合題意的直線l存在,其方程為2x+y-1=0.
例 (12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,且點(diǎn)在橢圓C上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓E:+=1,P為橢圓C上任意一點(diǎn),過點(diǎn)P的直線y=kx+m交橢圓E于A,B兩點(diǎn),射線PO交橢圓E于點(diǎn)Q.
①求的值;
②求△ABQ面積的最大值.
審題路線圖
(1)―→
(2)①―→
②→
→
規(guī)范解答評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
解 (1)由題意知+=1.又=,
解得a2=4,b2=1.所以橢圓C的方程為+y2=1.
……………………………………………………………………………………………2分
(2)由(1)知橢圓E的方程為+=1.
①設(shè)P(x0,y0),=λ(λ>0),由題意知Q(-λx0,-λy0).
因?yàn)椋珁=1,又+=1,
即=1,
所以λ=2,即=2.…………………………………………………………………5分
②設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
將y=kx+m代入橢圓E的方程,
可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,
由Δ>0,可得m2<4+16k2, (*)
則有x1+x2=-,x1x2=.
所以|x1-x2|=.…………………………………………………………8分
因?yàn)橹本€y=kx+m與y軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,m),
所以△OAB的面積S=|m||x1-x2|==
=2.……………………………………………………………9分
設(shè)=t,將y=kx+m代入橢圓C的方程,
可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,
由Δ≥0,可得m2≤1+4k2. (**)
由(*)和(**)可知0<t≤1,
因此S=2=2,…………………………………………………10分
故0<S≤2,當(dāng)且僅當(dāng)t=1,即m2=1+4k2時(shí)取得最大值2.……………11分
由①知,△ABQ的面積為3S,所以△ABQ面積的最大值為6.………………12分
構(gòu)建答題模板
[第一步] 求曲線方程:根據(jù)基本量法確定圓錐曲線的方程.
[第二步] 聯(lián)立消元:將直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立,得到方程Ax2+Bx+C=0,然后研究判別式,利用根與系數(shù)的關(guān)系.
[第三步] 找關(guān)系:從題設(shè)中尋求變量的等量或不等關(guān)系.
[第四步] 建函數(shù):對(duì)范圍最值類問題,要建立關(guān)于目標(biāo)變量的函數(shù)關(guān)系.
[第五步] 得范圍:通過求解函數(shù)值域或解不等式得目標(biāo)變量的范圍或最值,要注意變量條件的制約,檢查最值取得的條件.
1.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),過F1且斜率為1的直線l與E相交于A,B兩點(diǎn),且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差數(shù)列.
(1)求橢圓E的離心率;
(2)設(shè)點(diǎn)P(0,-1)滿足|PA|=|PB|,求橢圓E的方程.
解 (1)由橢圓定義知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,
又2|AB|=|AF2|+|BF2|,得|AB|=a,
l的方程為y=x+c,其中c=.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組消去y,化簡(jiǎn)得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0,則x1+x2=,x1x2=.
因?yàn)橹本€AB的斜率為1,所以|AB|=|x2-x1|=,即a=,故a2=2b2,
所以E的離心率e===.
(2)設(shè)AB的中點(diǎn)為N(x0,y0),由(1)知,
x0===-,y0=x0+c=.
由|PA|=|PB|,得kPN=-1,即=-1,
得c=3,從而a=3,b=3.
故橢圓E的方程為+=1.
2.已知橢圓E:+=1(a>b>0)的半焦距為c,原點(diǎn)O到經(jīng)過兩點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線的距離為c.
(1)求橢圓E的離心率;
(2)如圖,AB是圓M:(x+2)2+(y-1)2=的一條直徑,若橢圓E經(jīng)過A,B兩點(diǎn),求橢圓E的方程.
解 (1)過點(diǎn)(c,0),(0,b)的直線方程為bx+cy-bc=0,
則原點(diǎn)O到該直線的距離d==,
由d=c,得a=2b=2,解得離心率=.
(2)方法一 由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2. ①
依題意,圓心M(-2,1)是線段AB的中點(diǎn),且|AB|=.
易知,AB與x軸不垂直,設(shè)其方程為y=k(x+2)+1,
代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=.
由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=,
從而x1x2=8-2b2.
于是|AB|=|x1-x2|==.
由|AB|=,得 =,解得b2=3,
故橢圓E的方程為+=1.
方法二 由(1)知,橢圓E的方程為x2+4y2=4b2, ①
依題意,點(diǎn)A,B關(guān)于圓心M(-2,1)對(duì)稱,且|AB|=,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
則x+4y=4b2,x+4y=4b2,
兩式相減并結(jié)合x1+x2=-4,y1+y2=2,
得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,
易知AB與x軸不垂直,則x1≠x2,
所以AB的斜率kAB==,
因此直線AB的方程為y=(x+2)+1,
代入①得x2+4x+8-2b2=0,
所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2,
于是|AB|=|x1-x2|==.
由|AB|=,得 =,解得b2=3,
故橢圓E的方程為+=1.
3.設(shè)橢圓+=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,離心率為,過點(diǎn)F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為k的直線與橢圓交于C,D兩點(diǎn).若+=8,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求△OCD的面積.
解 (1)因?yàn)檫^焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為,所以=.
因?yàn)闄E圓的離心率為,所以=,
又a2=b2+c2,可解得b=,c=1,a=.
所以橢圓的方程為+=1.
(2)由(1)可知F(-1,0),則直線CD的方程為y=k(x+1).
聯(lián)立
消去y得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0.
設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),
所以x1+x2=-,x1x2=.
又A(-,0),B(,0),
所以+
=(x1+,y1)(-x2,-y2)+(x2+,y2)(-x1,-y1)
=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+=8,
解得k=.
從而x1+x2=-=-,
x1x2==0.
所以|x1-x2|===,
|CD|=|x1-x2|==.
而原點(diǎn)O到直線CD的距離d===,
所以△OCD的面積S=|CD|d==.
4.(xx北京)已知拋物線C:y2=2px過點(diǎn)P(1,1),過點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N,過點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP,ON交于點(diǎn)A,B,其中O為原點(diǎn).
(1)求拋物線C的方程,并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程;
(2)求證:A為線段BM的中點(diǎn).
(1)解 由拋物線C:y2=2px過點(diǎn)P(1,1),得p=,
所以拋物線C的方程為y2=x,
拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為x=-.
(2)證明 由題意,設(shè)直線l的方程為y=kx+(k≠0),
l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1,y1),N(x2,y2).
由得4k2x2+(4k-4)x+1=0,
則x1+x2=,x1x2=.
因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,1),所以直線OP的方程為y=x,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,x1).
直線ON的方程為y=x,點(diǎn)B的坐標(biāo)為.
因?yàn)閥1+-2x1=
=
=
==0,
所以y1+=2x1,
故A為線段BM的中點(diǎn).
5.已知橢圓C:+=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn),離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),以AB為直徑的圓過原點(diǎn),且線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)P,求直線l的方程.
解 (1)由題意得解得a=2,b=1,c=,
所以橢圓C的方程是+y2=1.
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t(k≠0),
A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立
消去y得(1+4k2)x2+8ktx+4t2-4=0,
所以x1+x2=,x1x2=.
所以y1y2=(kx1+t)(kx2+t)=,
y1+y2=k(x1+x2)+2t=.
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),所以=0,
即x1x2+y1y2=+=0?5t2=4+4k2.
由Δ=(8kt)2-4(1+4k2)(4t2-4)=16(4k2+1-t2)>0,
可得4k2+1>t2?t<-或t>.
設(shè)A,B的中點(diǎn)為D(m,n),則m==,n==.
因?yàn)橹本€PD與直線l垂直,
所以kPD=-===-,
整理得=.
由 解得t=1或-.
當(dāng)t=-時(shí),Δ>0不成立.
當(dāng)t=1時(shí),k=,
所以直線l的方程為y=x+1或y=-x+1.
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