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1、直線的參數(shù)方程及應(yīng)用
基礎(chǔ)知識點擊:
1、 直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式
(1)過點P0(),傾斜角為的直線的參數(shù)方程是
(t為參數(shù))t的幾何意義:t表示有向線段的數(shù)量,P()
P0P=t ∣P0P∣=t 為直線上任意一點.
(2)若P1、P2是直線上兩點,所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2,
則P1P2=t2-t1 ∣P1P2∣=∣t 2-t 1∣
(3) 若P1、P2、P3是直線上的點,所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2、t3
則P1P2中點P3的參數(shù)為t3=,∣P0P3∣=
(4)若P0為P
2、1P2的中點,則t1+t2=0,t1t2<0
2、 直線參數(shù)方程的一般式
過點P0(),斜率為的直線的參數(shù)方程是
(t為參數(shù))
點擊直線參數(shù)方程:
yh
0h
P0h
P()
Q
一、直線的參數(shù)方程
問題1:(直線由點和方向確定)
求經(jīng)過點P0(),傾斜角為的直線的參數(shù)方程.
是所求的直線的參數(shù)方程
∵P0P=t,t為參數(shù),t的幾何意義是:有向直線上從已知點
3、P0()到點
P()的有向線段的數(shù)量,且|P0P|=|t|
① 當(dāng)t>0時,點P在點P0的上方;
② 當(dāng)t=0時,點P與點P0重合;
③ 當(dāng)t<0時,點P在點P0的下方;
yh
0h
P0h
P()
特別地,若直線的傾斜角=0時,直線的參數(shù)方程為
④ 當(dāng)t>0時,點P在點P0的右側(cè);
⑤ 當(dāng)t=0時,點P與點P0重合;
yh
0h
P
P0h
⑥ 當(dāng)t<0時,點P在點P0的左側(cè);
問題2:直線上的點與對應(yīng)的參數(shù)t是一一對應(yīng)關(guān)系.
問題3:P1、P2為直線上兩點所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2 ,
則P1P2=?,∣P1P2
4、∣=?
P1P2=P1P0+P0P2=-t1+t2=t2-t1,
∣P1P2∣=∣ t2-t1∣
問題
yh
0h
P1
P0h
P2
4:
一般地,若P1、P2、P3是直線上的點,
所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2、t3,
P3為P1、P2的中點
則t3=
基礎(chǔ)知識點撥:
1、參數(shù)方程與普通方程的互化
例1:化直線的普通方程=0為參數(shù)方程,并說明參數(shù)的幾何意
義,說明∣t∣的幾何意義.
點撥:求直線的參數(shù)方程先確定定點,再求傾斜角,注意參數(shù)的幾何意義.
例2:
5、化直線的參數(shù)方程(t為參數(shù))為普通方程,并求傾斜角,
說明∣t∣的幾何意義.
點撥:注意在例1、例2中,參數(shù)t的幾何意義是不同的,直線的參數(shù)方程
你會區(qū)分直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式?
例3:已知直線過點M0(1,3),傾斜角為,判斷方程(t為參數(shù))和方程(t為參數(shù))是否為直線的參數(shù)方程?如果是直線的參數(shù)方程,指出方程中的參數(shù)t是否具有標(biāo)準(zhǔn)形式中參數(shù)t的幾何意義.
點撥:直線的參數(shù)方程不唯一,對于給定的參數(shù)方程能辨別其標(biāo)準(zhǔn)形式,會利用參數(shù)t 的幾何意義解決有關(guān)問題.
問題5:直線的參數(shù)方程能否化為標(biāo)準(zhǔn)形式?
是可以的,只需作參數(shù)t的
6、代換.(構(gòu)造勾股數(shù),實現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化)
2、直線非標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)化
一般地,對于傾斜角為、過點M0()直線參數(shù)方程的一般式為,.
例4:寫出經(jīng)過點M0(-2,3),傾斜角為的直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程,并且
求出直線上與點M0相距為2的點的坐標(biāo).
點撥:若使用直線的普通方程利用兩點間的距離公式求M點的坐標(biāo)較麻煩,
而使用直線的參數(shù)方程,充分利用參數(shù)t的幾何意義求M點的坐標(biāo)較
容易.
例5:直線(t為參數(shù))的傾斜角 .
基礎(chǔ)知識測試1:
1、 求過點(6,7),傾斜角的余弦值是的直線
7、的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程.
2、 直線的方程:(t為參數(shù)),那么直線的傾斜角( )
A 65 B 25 C 155 D 115
3、 直線(t為參數(shù))的斜率和傾斜角分別是( )
A) -2和arctg(-2) B) -和arctg(-)
C) -2和-arctg2 D) -和-arctg
4、 已知直線 (t為參數(shù))上的點A、B 所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1,t2,點P分線段BA所成的比為(≠-1),則P所對應(yīng)的參數(shù)是 .
5、直線的方程: (t為參數(shù))
8、A、B是直線上的兩個點,分別對應(yīng)參數(shù)值t1、t2,那么|AB|等于( )
A ∣t 1-t 2∣ B ∣t 1-t 2∣ C D ∣t 1∣+∣t 2∣
6、 已知直線: (t為參數(shù))與直線m:交于P點,求點M(1,-5)到點P的距離.
二、直線參數(shù)方程的應(yīng)用
A
B
M
P (2,0)
y
0
例6:已知直線過點P(2,0),斜率為,直線
和拋物線相交于A、B兩點,
設(shè)線段AB的中點為M,求:
(1)P、M兩點間的距離|PM|;
(2)
9、M點的坐標(biāo);
(3)線段AB的長|AB|
點撥:利用直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義,在解決諸如直線上兩點間的距離、直線上某兩點的中點以及與此相關(guān)的一些問題時,比用直線的普通方程來解決顯得比較靈活和簡捷.
例7:已知直線經(jīng)過點P(1,-3),傾斜角為,
(1)求直線與直線:的交點Q與P點的距離| PQ|;
(2)求直線和圓=16的兩個交點A,B與P點的距離之積.
點撥:利用直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的參數(shù)t的幾何意義解決距離問題
10、、距離的乘積(或商)的問題,比使用直線的普通方程,與另一曲線方程聯(lián)立先求得交點坐標(biāo)再利用兩點間的距離公式簡便.
例8:設(shè)拋物線過兩點A(-1,6)和B(-1,-2),對稱軸與軸平行,開口向右,
直線y=2+7被拋物線截得的線段長是4,求拋物線方程.
點撥:(1)(對稱性) 由兩點A(-1,6)和B(-1,-2)的對稱性及拋物線的對稱性質(zhì),設(shè)出拋物線的方程(含P一個未知量,由弦長AB的值求得P).
(2)利用直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程解決弦長問題.此題也可以運(yùn)用直線的普通方程與拋物線方程聯(lián)立后,求弦長。對于有些
11、題使用直線的參數(shù)方程相對簡便些.
例9:已知橢圓,AB是通過左焦點F1的弦,F(xiàn)2為右焦點,
求| F2A|| F2B|的最大值.
點撥:求過定點的直線與圓錐曲線相交的距離之積,利用直線的參數(shù)方程解
題,此題中兩定點F1(0,0),F2(2,0),顯然F1坐標(biāo)簡單,因此選擇過F1
的直線的參數(shù)方程,利用橢圓的定義將| F2A|| F2B| 轉(zhuǎn)化為| F1A||F1B|.
12、
一般地,把的參數(shù)方程代入圓錐曲線C:F()=0后,可得一個關(guān)于t 的一元二次方程,=0,
1、(1)當(dāng)Δ<0時,與C相離;(2) 當(dāng)Δ=0時,與C相切;(3) 當(dāng)Δ>0時,
與C相交有兩個交點;
2、 當(dāng)Δ>0時,方程=0的兩個根分別記為t1、t2,把t1、t2分別代入的參數(shù)方程即可求的與C的兩個交點A和B的坐標(biāo).
3、 定點P0()是弦AB中點 t1+t2=0
4、 被C截得的弦AB的長|AB|=|t1-t2|;P0AP0B= t1t2;弦AB中點M點對應(yīng)的參數(shù)為;| P0M |=
基礎(chǔ)知識測試2:
7、 直線(t為參數(shù))與橢圓交于A、B兩點,則|AB|等于(
13、 )
A 2 B C 2 D
8、直線 (t為參數(shù))與二次曲線A、B兩點,則|AB|等于( )
A |t1+t2| B |t1|+|t2| C |t1-t2| D
9、 直線(t為參數(shù))與圓有兩個交點A、B,若P點的坐
標(biāo)為(2,-1),則|PA||PB|=
10、過點P(6, )的直線(t為參數(shù))與拋物線y2=2相交于A、B兩點,
則點P到A,B距離之積為 .
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