2019-2020年高三數學一輪總復習 專題十五 統(tǒng)計（含解析）.doc

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2019-2020年高三數學一輪總復習 專題十五 統(tǒng)計（含解析） 重點1 抽樣方法 1. 隨機抽樣的方法 (1)簡單隨機抽樣的方法有：抽簽法和隨機數表法． 抽簽法的步驟：①將總體中的個體隨機編號，并把號碼寫在形狀、大小相同的號簽上；②將這些號簽放在同一個容器里，均勻攪拌；③每次從中抽取一個號簽，連續(xù)抽取，獲取樣本號碼. 隨機數表法的步驟：①將總體中的個體隨機編號；②在隨機數表中選擇開始的數字；③獲取樣本號碼． (2)系統(tǒng)抽樣的步驟：①將總體中的個體隨機編號；②將編號分段；③在第1段中用簡單隨機抽樣確定起始的個體編號；④按照事先研究的規(guī)則抽取樣本． (3)分層抽樣的步驟：①分層；②按比例確定每層抽取個體的個數；③各層抽樣（方法可以不同）；④匯合成樣本． 2．三種抽樣方法的比較 類別 共同點 特點 相互聯系 適用范圍 簡單隨機抽樣 ①抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等；②每次抽出個體后不再放回，即不放回抽樣 從總體中逐個抽取 總體個數較少 系統(tǒng)抽樣 將總體平均分成幾部分，按預先制定的規(guī)則在各部分中抽取 在起始部分取樣時，采用簡單隨機抽樣 總體個數較多 分層抽樣 將總體分成幾層，按各層個體數之比抽取 各層抽樣時，采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 [高考?？冀嵌萞 角度1一支田徑隊有男運動員48人，女運動員36人，若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為21的樣本，則抽取男運動員的人數為___________. 解析：設抽取男運動員人數為，則，解之得. 或者: 角度2將參加夏令營的600名學生編號為：001，002，……600，采用系統(tǒng)抽樣方法抽取一個容量為50的樣本，且隨機抽得的號碼為003．這600名學生分住在三個營區(qū)，從001到300在第Ⅰ營區(qū)，從301到495住在第Ⅱ營區(qū)，從496到600在第Ⅲ營區(qū)，三個營區(qū)被抽中的人數一次為（ ） A．26, 16, 8, B．25，17，8 C．25，16，9 D．24，17，9 解析：依題意可知，在隨機抽樣中，首次抽到003號，以后每隔12個號抽到一個人，則分別是003、015、027、039構成以3為首項，12為公差的等差數列，，故可分別求出在001到300中有25人，在301至495號中共有17人，則496到600中有8人， 故選B。 重點2 用樣本估計總體 1．頻率分布圖．（表）、頻率分布直方圖和總體密度曲線的繪制與應用 (1)頻數分布圖（表）能使我們清楚地知道數據分布在各個小組的個數；而頻率分布直方圖（表）則是從各個小組數據在樣本容量中所占比例大小的角度來表示數據分布的規(guī)律，它可以使我們看到整個樣本數據的頻率分布． (2)作頻率分布直方圖的步驟： ①求極差，即一組數據中最大值和最小值的差 ②決定組距與組數．將數據分組時，組數應力求合適，以使數據的分布規(guī)律能較清楚地呈現出來．這時應注意：a．一般樣本容量越大，所分組數越多；b．為方便起見，組距的選擇應力求“取整”；c．當樣本容量不超過100時，按照數據的多少，通常分成5—12組． ③將數據分組． ④計算各小組的頻率，作頻率分布表（） ⑤畫頻率分布直方圖． (3)總體密度曲線是頻率分布折線的一條極限曲線．隨著樣本容量不斷增加，分組不斷加密，頻率分布折線就會越來越光滑，最終形成總體密度曲線，總體密度，曲線反映的是總體在各個范圍內取值的百分比．實際上，盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但只能用樣本的頻率分布對它估計，一般來說，樣本容量越大，這種估計就越準確． (4)幾種表示頻率分布的方法的優(yōu)點和不足： ①頻率分布表在數量表示上比較確切，但不夠直觀、形象，分析數據分布的總體趨勢不太方便． ②頻率分布直方圖能夠很容易地表示大量數據，非常直觀地表明分布的形狀，使我們能夠看到分布表中看不清楚的數據模式．但是從直方圖本身得不出原始的數據內容，也就是說，把數據表示成直方圖后，原有的具體數據信息就被抹掉了． ③頻率分布折線圖的優(yōu)點是反映了數據的變化趨勢．如果樣本容量不斷增大，分組的組距不斷減小，那么折線圖就趨向于總體分布的密度曲線． 2．莖葉圖的應用 (1)莖葉圖：當數據是兩位有效數字時，用中間的數字表示十位數，即第一個有效數字，兩邊的數字表示個位數， 即第二個有效數字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出來的葉子，因此，通常把這樣表示數據的圖叫做莖葉圖． (2)莖葉圖的特征： ①用莖葉圖表示數據有兩個優(yōu)點：一是統(tǒng)計圖上沒有原始數據信息的損失，所有數據信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數據可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示， ②莖葉圖只便于表示兩位有效數字的數據，而且莖葉圖只方便記錄兩組數據，兩組以上的數據雖然能夠記錄，但是沒有表示兩組數據那么直觀、清晰． ③莖葉圖不能直接反映總體的分布情況，這就需要通過莖葉圖給出的數據求出數據的數字特征，進一步估計總體情況． (3)注意莖是指中間的一列數，葉是從莖的旁邊生長出來的數． 在樣本數據較少時，用莖葉圖表示數據的效果較好，但當樣本數據較多時，莖葉圖就顯得不太方便了． 3．用樣本數字特征估計總體 (1)注意以下幾點： ①各數字特征的優(yōu)缺點：眾數體現了樣本數據的最大集中點，但它對其他數據信息的忽視使得無法客觀地反映總體數字特征；中位數是樣本數據所占頻率的等分線，它不受少數幾個極端值的影響，這在某些情況下是優(yōu)點，但它對極端值的不敏感有時也成為缺點，因為這些極端值有時是不能忽視的． 由于平均數與每一個樣本的數據都有關，所以任何一個樣本數據的改變都會引起平均數的改變，這是眾數、中位數不具有的性質．也正是這個原因，與眾數、中位數比較起來，平均數可以反映出更多的關于樣本數據全體的信息，但平均數受數據中的極端值的影響較大，使平均數在估計總體時可靠性降低， ②標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小，標準差、方差越大，數據的離散程度越大；標準差、方差越小，數據的離散程度越?。? ③標準差、方差的取值范圍為，標準差、方差為0時，樣本中各數據全相等，表明數據沒有波動，數據沒有離散性． ④因為方差與原始數據的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數據的分散程度上是一樣的，但在解決實際問題時，一般多采用標準差． (2)標準差和方差的關系及計算 ①標準差的平方就是方差，即 [高考?？冀嵌萞 角度1 樣本中共有5個個體，其值分別為.若該樣本的平均值為1，則樣本方差為（ ） A. B. C. D. 解析：由題意知，解得，故樣本方差為 ,故選D. 角度2某小學為了解學生數學課程的學習情況，在3000名學生中隨機抽取200名，并統(tǒng)計這200名學生的某次數學考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖（如圖）。根據頻率分布直方圖3000名學生在該次數學考試中成績小于60分的學生數是_____________________ 解析：該次數學考試中成績小于60分的學生的頻率 是(0.002+0.006+0.012)*10=0.2 故所求為0.2*3000=600 角度3在如圖所示的莖葉圖中， 甲、乙兩組數據的中位數分別是 、 解析：45；46，本題主要考察了莖葉圖所表達的含義， 以及從樣本數據中提取數字特征的能力，屬容易題。注意順序. 角度4為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學隨機抽取 30名學生參加環(huán)保知識測試，得分(十分制)如圖所示，假設得分值的中位數為 me，眾數為mo，平均值為，則 (　　) A．me＝mo＝ B．me＝mo< C．mek) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.83 2．與的關系并不是是的觀測值，或者說是一個隨機變量，它在取不同的值時，可能不同，而是取定一組數后的—個確定的值. 典例2為調查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人，結果如下： （1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例； （2）能否有99％的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？ （3）根據（2）的結論，能否提供更好的調查方法來估計該地區(qū)老年人，需要志愿幫助的老年人的比例？說明理由. 解：（1）調查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助， 因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為 （2）。 由于9.967>6.635,所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關。 （3）由于（2）的結論知，該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關，并且從樣本數據能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異,因此在調查時,先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單反隨即抽樣方法更好. ……12分 規(guī)避2個易失分點 易失分點1 統(tǒng)計圖表中概念不清、識圖不準 典例 某公司（共有員工300人）xx年員工年薪情況的頻率分布直方圖如圖所示，由此可知，員工中年薪在 1.4萬元~1.6萬頁之間的共有_______人. 易失分提示: 解本題容易出現的錯誤是審題不細，對所給圖形觀察 不細心，認為員工中年薪在．1.4萬元～1.6萬元 之間的頻率為，從而得到員工中年薪 在1.4萬元～1.6萬元之間的共有人的錯誤結果． 解析：由所給圖形，可知員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之間的頻率為 所以員工中年薪在1.4萬元～1.6萬元之問的共有人． 易失分點2 回歸系數和回歸常數相混淆 典例 為了分析某個高三學生的學習狀態(tài)，對其下一階段的學習提供指導性建議．現對他前7次考試的數學成績、物理成績進行分析：下面是該生7次考試的成績． 數學 88 83 117 92 108 100 112 物理 94 91 108 96 104 101 106 （1）他的數學成績與物理成績哪個更穩(wěn)定？請給出你的證明； （2）已知該生的物理成績與數學成績是線性相關的，若該生的物理成績達到115分，請你估計他的數學成績大約是多少？并請你根據物理成績與數學成績的相關性，給出該生在學習數學、物理上的合理建議． 易失分提示：成績的穩(wěn)定性用樣本數據的方差判斷，由物理成績估計數學成績由回歸直線方程解決．本題容易出錯的就是把回歸系數和回歸常數弄顛倒，導致解題錯誤． 解析：（1）， ， 從而物理成績更穩(wěn)定. （2）由于與之間具有線性相關關系， 根據回歸系數公式得到 線性回歸方程為．當時， 建議：進一步加強對數學的學習，提高數學成績的穩(wěn)定性，將有助于物理成績的進一步提高.