河南省開(kāi)封市高三上學(xué)期定位模擬考試 理科數(shù)學(xué)試題及答案

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1、 2016年數(shù)學(xué)定位試題(理) 本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分,其中第II卷第(22)-(23)題為選考題,其他題為必考題??忌鞔饡r(shí),將答案答在答題卡上,在本試卷上答題無(wú)效。 考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。 注意事項(xiàng): 1、答題前,考生務(wù)必先將自己的姓名,準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上,認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào),并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上。 2、選擇題答案使用2B鉛筆填涂,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案的標(biāo)號(hào),非選擇題答案使用0.5毫米的黑色中性(簽字)筆或碳素筆書(shū)寫(xiě),字體工整,筆跡清楚。 3、請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域(黑色

2、線框)內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效。 4、保持卷面清潔,不折疊,不破損。 5、做選考題時(shí),考生按照題目要求作答,并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑。 參考公式: 樣本數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差 錐體體積公式 其中為樣本平均數(shù) 其中為底面面積,為高 柱體體積公式 球的表面積,體積公式 其中為底面面積,為高

3、 其中R為球的半徑 第I卷 選擇題:本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1. 設(shè)集合,則等于 A A. B. C. D. 2. 若復(fù)數(shù)Z,是虛數(shù)單位)是純虛數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)Z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為 C A.(0,2) B.(0,3i ) C.(0,3) D.(0,) 3. 下列命題正確的是 D A.已知; B.存在實(shí)數(shù),使成立; C.命題:對(duì)任意的,則:對(duì)任意的; D.若或?yàn)榧倜},則,均為假命題 4

4、. 把函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),再將圖象向右平移個(gè)單位,那么所得圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為 D A. B. C. D. 5. 某空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積等于 C 4 3 5 A.10 B.15 C.20 D.30 6. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出S的值為 C A.3 B. -6 C. 10 D. 12 8. 中,點(diǎn)在上,平方.若,,,,則 B

5、 A B C D 7. 已知長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,若棱AB上存在點(diǎn)P,使得,則AD的取值范圍是( )C A. B. C. D. 9.若點(diǎn)(4,tanθ)在函數(shù)y=log2x的圖像上,則2cos2θ= A A. B. C. D. 10. 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=﹣f(x),若f(﹣1)>﹣2,f(﹣7)=,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 D A. B.(﹣2,1) C. D. 11.若曲線y=與曲線y=a

6、lnx在它們的公共點(diǎn)P(s,t)處具有公共切線,則實(shí)數(shù)a= C A.﹣2 B. C. 1 D. 2 12. 已知橢圓(a>b>0)的半焦距為c(c>0),左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,拋物線與橢圓交于B、C兩點(diǎn),若四邊形ABFC是菱形,則橢圓的離心率是 D A. B. C. D. 一、 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分,第(13)題~第(21)題為必考題,每個(gè)試題考生都必須做答,第(22)題~第(24)題為選考題,考試根據(jù)要求做答。 填空題:本大題共4小題,每小題5分. 13. 在(1+x)6(1+y)4的展開(kāi)式中,xy2項(xiàng)的系數(shù)是 . 3

7、6 14. 已知函數(shù),則f(2016)= 0 15. 在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)P(4,0),Q(0,4),M,N分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn),若以MN為直徑的圓C與直線PQ相切,當(dāng)圓C的面積最小時(shí),在四邊形MPQN內(nèi)任取一點(diǎn),則這點(diǎn)落在圓C內(nèi)的概率是 .. 16. 在△ABC中, 若 (sinA+sinB):(sinA+sinC):(sinB+sinC)=4:5:6 , 且該三角形的面積為,則△ABC的最大邊長(zhǎng)等于 14 . 三、解答題:解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程和演算步驟 17.(本小題滿分12分) 已知數(shù)列滿足,,令. (Ⅰ)

8、求數(shù)列的通項(xiàng)公式; (II)求數(shù)列的前項(xiàng)和. 解:(Ⅰ) , ,即,.………6分 (II), ----(1) ----(2) (1)—(2)得: 18. (本小題滿分12分)某電子廣告牌連續(xù)播出四個(gè)廣告,假設(shè)每個(gè)廣告所需的時(shí)間互相獨(dú)立,且都是整數(shù)分鐘,經(jīng)統(tǒng)計(jì),以往播出100次所需的時(shí)間(t)的情況如下: 類(lèi)別 1號(hào)廣告 2號(hào)廣告 3號(hào)廣告 4號(hào)廣告 廣告次數(shù) 20 30 40 10 時(shí)間t(分鐘/人) 2 3 4 6 每次隨機(jī)播出,若將頻率視為概率. (Ⅰ)求恰好在第6分鐘后開(kāi)始播出第3號(hào)廣告的概率; (II)用X

9、表示至第4分鐘末已完整播出廣告的次數(shù),求x的分布列及數(shù)學(xué)期望. 解:(Ⅰ)由條件知 . (II) 0 1 2 19. (本小題滿分12分) 在四棱錐中,底面為直角梯形,,側(cè)面底面,,, (I)若中點(diǎn)為.求證:; (II)若,求直線與平面所成角的正弦值. (I)證明:取的中點(diǎn),連結(jié), ,且,所以為平行四邊形. ,且不在平面內(nèi),在平面內(nèi), 所以 (II) 直線與平面所成角的正弦值. 20. (本小題滿分12分) 定義:若兩

10、個(gè)橢圓的離心率相等,則稱(chēng)兩個(gè)橢圓是“相似”的. 如圖,橢圓C1與橢圓C2是相似的兩個(gè)橢圓, 并且相交于上下兩個(gè)頂點(diǎn).橢圓C1:的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,橢圓C2: 短軸長(zhǎng)是1,點(diǎn)F1, F2分別是橢圓C1的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn), (Ⅰ)求橢圓C1,C2的方程; (Ⅱ)過(guò)F1的直線交橢圓C2于點(diǎn)M,N,求△F2MN面積的最大值. 解:(Ⅰ)設(shè)橢圓C1的半焦距為c,橢圓C2的半焦距為c.由已知a=2,b=m,. ∵橢圓C1與橢圓C2的離心率相等,即, ∴,即 ∴,即bm=b2=an=1,∴b=m=1, ∴橢圓C1的方程是,橢圓C2的方程是;…………5分 (Ⅱ)顯然直線的斜率不為0,故可設(shè)直線

11、的方程為:. 聯(lián)立:,得,即, ∴△=192m2﹣44(1+4m2)=16m2﹣44>0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 則,,∴, △F2MN的高即為點(diǎn)F2到直線的距離. ∴△F2MN的面積,……10分 ∵, 當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立 ∴,即△F2MN的面積的最大值為.…………12分 21.(本小題滿分12分) 已知函數(shù) (Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程; (Ⅱ)若關(guān)于的不等式在上恒成立,其中為實(shí)數(shù),求的取值范圍. 解:(Ⅰ)求導(dǎo),又, 所以曲線在 點(diǎn)處的切線方程為即…………4分 (Ⅱ) 設(shè)即在上恒成立, 又有恒成立 即處取得極小值,得…6分 所以,

12、 從而 (?。┊?dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以 即…………8分 (ⅱ)時(shí),在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 則只需 , 解得…………10分 (ⅲ)當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 由知不符合題意, .綜上,的取值范圍是…………12分 22.(本小題滿分10分)選修4-1:幾何證明選講 如圖,已知AB為⊙O的直徑,CE⊥AB于點(diǎn)H,與⊙O交于點(diǎn)C、D,且AB=10,CD=8,DE=4, EF與⊙O切于點(diǎn)F,BF與HD交于點(diǎn)G. (Ⅰ)證明:EF=EG; (Ⅱ)求GH的長(zhǎng). (Ⅰ)證明:連接 AF、OE、OF,則A,

13、F,G,H四點(diǎn)共圓 由EF是切線知OF⊥EF,∠BAF=∠EFG ∵CE⊥AB于點(diǎn)H,AF⊥BF, ∴∠FGE=∠BAF ∴∠FGE=∠EFG, ∴EF=EG………………5分 (Ⅱ)解:∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2, ∴EF2=OH2+HE2﹣OF2=48, ∴EF=EG=4, ∴GH=EH﹣EG=8﹣4………………10分 23.(本小題滿分10分)選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在平面直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中, 直線的極坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為. (Ⅰ)寫(xiě)出直線及曲線的直角坐標(biāo)方程; (Ⅱ)過(guò)點(diǎn)M平行于直線的直

14、線與曲線交于兩點(diǎn),若,求點(diǎn)M軌跡的直角坐標(biāo)方程. 解:(Ⅰ)直線, 曲線……………………4分 (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)及過(guò)點(diǎn)M的直線為 由直線與曲線相交可得: ,即: 表示一橢圓……………………8分 取代入得: 由得 故點(diǎn)M的軌跡是橢圓夾在平行直線之間的兩段橢圓弧……10分 24.(本小題滿分10分)選修4-5: 不等式選講已知函數(shù). (Ⅰ)解不等式:; (Ⅱ)若對(duì)任意的,都有,使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解:(Ⅰ)由得 得不等式的解為……………………5分 (Ⅱ)因?yàn)槿我?,都有,使得成立? 所以, 又, ,所以,解得或, 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.……………………10分 - 14 -

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