2019年春八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第1章 三角形的證明 1.4 角平分線 第1課時(shí) 角平分線的性質(zhì)課件(新版)北師大版.ppt
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1.4 角平分線,第一章 三角形的證明,第1課時(shí) 角平分線,1.會(huì)敘述角平分線的性質(zhì)及判定;(重點(diǎn)) 2.能利用三角形全等,證明角平分線的性質(zhì)定理,理解和掌握角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理,能應(yīng)用這兩個(gè)性質(zhì)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題;(難點(diǎn)) 3.經(jīng)歷探索、猜想、證明的過(guò)程,進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力.,學(xué)習(xí)目標(biāo),情境引入,如圖,要在S區(qū)建一個(gè)貿(mào)易市場(chǎng),使它到鐵路和公路距離相等, 離公路與鐵路交叉處500米,這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在何處? (比例尺為1︰20000),,D,C,,S,解:作夾角的角平分線OC,,截取OD=2.5cm ,D即為所求.,O,導(dǎo)入新課,1. 操作測(cè)量:取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置,分別過(guò)點(diǎn)P作 PD⊥OA,PE ⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足,測(cè)量PD、PE的長(zhǎng).將 三次數(shù)據(jù)填入下表:,2. 觀察測(cè)量結(jié)果,猜想線段PD與PE的大小關(guān)系,寫出結(jié):__________,,,,C,O,B,A,PD=PE,,,,,實(shí)驗(yàn):OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P是射線OC上的 任意一點(diǎn),猜想:角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.,講授新課,驗(yàn)證猜想,已知:如圖, ∠AOC= ∠BOC,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E. 求證:PD=PE.,證明:,∵ PD⊥OA,PE⊥OB,,∴ ∠PDO= ∠PEO=90 .,在△PDO和△PEO中,,,∠PDO= ∠PEO,,∠AOC= ∠BOC,,OP= OP,,∴ △PDO ≌ △PEO(AAS).,∴PD=PE.,角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等,,性質(zhì)定理: 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.,應(yīng)用所具備的條件:,定理的作用:,證明線段相等.,應(yīng)用格式:,∵OP 是∠AOB的平分線,,∴PD = PE,(在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等).,推理的理由有三個(gè),必須寫完全,不能少了任何一個(gè).,PD⊥OA,PE⊥OB,,,判一判:(1)∵ 如下左圖,AD平分∠BAC(已知),,∴ = ,( ),在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等,BD CD,,(2)∵ 如上右圖, DC⊥AC,DB⊥AB (已知).,∴ = , ( ),在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等,BD CD,,例1:已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD, DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分別為E,F. 求證:EB=FC.,證明: ∵AD是∠BAC的角平分線, DE⊥AB, DF⊥AC,,∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 .,在Rt△BDE 和 Rt△CDF中,,∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).,∴ EB=FC.,例2:如圖,AM是∠BAC的平分線,點(diǎn)P在AM上,PD⊥AB,PE⊥AC,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=______cm.,4,溫馨提示:存在兩條垂線段———直接應(yīng)用,變式:如 圖,在Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90,AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P,若PC=4, AB=14. (1)則點(diǎn)P到AB的距離為_(kāi)______.,4,溫馨提示:存在一條垂線段———構(gòu)造應(yīng)用,,變式:如圖,在Rt △ABC中,AC=BC,∠C=900,AP平分∠BAC交BC于點(diǎn)P,若PC=4,AB=14. (2)求△APB的面積.,(3)求?PDB的周長(zhǎng).,ABPD=28.,由垂直平分線的性質(zhì),可知,PD=PC=4,,,,,1.應(yīng)用角平分線性質(zhì):,存在角平分線,涉及距離問(wèn)題,2.聯(lián)系角平分線性質(zhì):,面積,周長(zhǎng),,,條件,知識(shí)與方法,利用角平分線的性質(zhì)所得到的等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解,角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.,思考:交換角的平分線性質(zhì)中的已知和結(jié)論,你能得到什么結(jié)論,這個(gè)新結(jié)論正確嗎?,角平分線的性質(zhì):,角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.,,思考:這個(gè)結(jié)論正確嗎?,逆 命 題,已知:如圖,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E,PD=PE. 求證:點(diǎn)P在∠AOB的角平分線上.,證明:,作射線OP,,,∴點(diǎn)P在∠AOB 角的平分線上.,在Rt△PDO和Rt△PEO 中,,(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).,OP=OP(公共邊),,PD= PE(已知 ),,,,∵PD⊥OA,PE⊥OB.,∴∠PDO=∠PEO=90,,∴Rt△PDO≌Rt△PEO( HL).,∴∠AOP=∠BOP,,,證明猜想,判定定理: 角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.,應(yīng)用所具備的條件:,定理的作用:判斷點(diǎn)是否在角平分線上.,應(yīng)用格式:,∵ PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.,∴點(diǎn)P 在∠AOB的平分線上.,知識(shí)總結(jié),例3:如圖,已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F, 求證:點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.,證明:,過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AE于G,F(xiàn)H⊥AD于H,F(xiàn)M⊥BC于M.,∵點(diǎn)F在∠BCE的平分線上, FG⊥AE, FM⊥BC.,∴FG=FM.,又∵點(diǎn)F在∠CBD的平分線上, FH⊥AD, FM⊥BC,,∴FM=FH,,∴FG=FH.,∴點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.,,,,,,,,G,H,,M,A,B,C,F,E,D,┑,┑,┑,例4 如圖,某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路.圖中點(diǎn)M,N表示大學(xué),OA,OB表示公路,現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉(cāng)庫(kù),希望倉(cāng)庫(kù)到兩所大學(xué)的距離相同,到兩條公路的距離也相同,你能確定出倉(cāng)庫(kù)P應(yīng)該建在什么位置嗎?請(qǐng)?jiān)趫D中畫出你的設(shè)計(jì).(尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡),方法總結(jié):到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上,到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.,解:如圖所示:,,,,,,,,,,,歸納總結(jié),,,OP平分∠AOB,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,PD=PE,OP平分∠AOB,PD=PE,PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,,角的平分線的判定,角的平分線的性質(zhì),當(dāng)堂練習(xí),2.△ABC中, ∠C=90,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點(diǎn)D到AB的距離是 .,3,E,,1. 如圖,DE⊥AB,DF⊥BG,垂足分別是E,F(xiàn), DE =DF, ∠EDB= 60,則 ∠EBF= 度,BE= .,60,BF,3.已知用三角尺可按下面方法畫角平分線:在已知∠AOB的兩邊上,分別取OM=ON,再分別過(guò)點(diǎn)M,N作OA,OB的垂線,交點(diǎn)為P,畫射線OP,則OP平分∠AOB.為什么?,,,,,,,A,O,B,M,N,P,解:在RT△MOP和RT△NOP中, OM=ON, OP=OP, ∴RT△MOP≌RT△NOP(HL). ∴∠MOP=∠NOP,即OP平分∠AOB.,,課堂小結(jié),角平分線,性質(zhì)定理,一個(gè)點(diǎn):角平分線上的點(diǎn); 二距離:點(diǎn)到角兩邊的距離; 兩相等:兩條垂線段相等,輔助線 添加,過(guò)角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線段,,,,判定定理,,在一個(gè)角的內(nèi)部,到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上,- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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