4月杭州市重點(diǎn)高中高考數(shù)學(xué)命題比賽參賽試題1及答案

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1、 2013年4月杭州市重點(diǎn)高中2013高考數(shù)學(xué)命題比賽 數(shù)學(xué)（理科）卷1 本試卷分第I卷和第II卷兩部分．考試時間120分鐘，滿分150分．請考生按規(guī)定用筆將所有試題的答案涂、寫在答題紙上． 參考公式： 如果事件A, B互斥, 那么 棱柱的體積公式 P(A+B)=P(A)+P(B) V=Sh 如果事件A, B相互獨(dú)立, 那么 其中S表示棱柱的底面積, h表示棱柱的高 P(AB)=P(A)P(B) 棱錐的體積公式 如果事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p, 那么n V=Sh 次獨(dú)立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率 其中S表示棱錐的底面積, h表示棱錐的高 Pn(k

2、)=Cpk (1－p)n-k (k = 0,1,2,…, n) 球的表面積公式 棱臺的體積公式 S = 4πR2 球的體積公式 其中S1, S2分別表示棱臺的上、下底面積, V=πR3 h表示棱臺的高 其中R表示球的半徑 第I卷（共50分） ？ 輸出 開始 結(jié)束 是 否 （第5題） 一、選擇題: 本大題共10小題, 每小題5分,共50分．在每小題給出的四個選項中, 只有一項是符合題目要求的． （1）（原創(chuàng)）已知集合，，則（ ） （A） （B） （C）

3、 （D） （2）（原創(chuàng)）已知且，則是的（ ） （A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件 （C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件 （3）（原創(chuàng)）若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位)，則（ ） （A） （B） （C） （D） （4）（引用）在的展開式中，的冪指數(shù)是整數(shù)的項共有（ ） （A）3項 （B）4項 （C）5項 （D）6項 （5）（原創(chuàng)）某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的的值是（ ） （A） （B） （C）

4、 （D） （6）（根據(jù)寧波市2013屆高三上期末測試4題改編）函數(shù)則該函數(shù)為（ ） （A）單調(diào)遞增函數(shù)，奇函數(shù) （B）單調(diào)遞增函數(shù)，偶函數(shù) （C）單調(diào)遞減函數(shù)，奇函數(shù) （D）單調(diào)遞減函數(shù)，偶函數(shù) （7）（根據(jù)2010浙江省高考參考試卷第7題改編）已知中，，．若圓的圓心在邊上，且與和所在的直線都相切，則圓的半徑為（ ） （第8題） （A） （B） （C） （D） （8）（引用）某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是腰長為的等腰 三角形俯視圖是半徑為的半圓，則該幾何體的表面積是（ ） （A） （B）

5、 （C） （D） （9）（根據(jù)2013蕭山中學(xué)3月月考10題改編）已知點(diǎn)是雙曲線的左焦點(diǎn)，過且平行于雙曲線漸近線的直線與圓交于點(diǎn)，且點(diǎn)在拋物線上，則該雙曲線的離心率是（ ） （A） （B） （C） （D） （第10題） （10）（根據(jù)2013屆杭州一模17題改編）如圖，在扇形中，，為弧上且與不重合的一個動點(diǎn)，，若存在最大值，則的取值范圍為（ ） （A） （B） （C） （D） 第II 卷(共100分) 二、 填空題: 本大題共7小題, 每小題4分, 共28分． （11）（引用）在平面直角

6、坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積是，那么實數(shù) 的值為_______▲_____． （12）（引用）記數(shù)列的前項和為，且，則_______▲______． （13）（原創(chuàng)）將7人分成3組，要求每組至多3人，則不同的分組方法種數(shù)是__▲____． （14）（原創(chuàng)）已知為直線上一動點(diǎn)，若在上存在一點(diǎn)使成立，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值范圍為_____▲____． （15）（原創(chuàng)）函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是_____▲____． （16）（根據(jù)09年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽題改編）若方程沒有實數(shù)根，那么實數(shù)的取值范圍是___▲___． （17）（根據(jù)2013浙江六校聯(lián)盟10題改編）棱長為2的

7、正四面體在空間直角坐標(biāo)系中移動，但保持點(diǎn)分別在軸、軸上移動，則原點(diǎn)到直線的最近距離為____▲____ 三、解答題: 本大題共5小題, 共72分．解答應(yīng)寫出文字說明, 證明過程或演算步驟． （18）（根據(jù)北京市東城區(qū)08屆模擬考改編）（本小題滿分14分）在中，角的對邊分別為，且． （I）求的值； （II）若，且，求和的值． （19）（原創(chuàng)）（本小題滿分14分）袋中有大小相同的個編號為、、的球，號球有個，號球有個，號球有個．從袋中依次摸出個球，已知在第一次摸出號球的前提下，再摸出一個號球的概率是． （Ⅰ）求、的值； （Ⅱ）從袋中任意摸出個球，記得到小球的編號數(shù)之和為

8、，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望． （20）（引用）（本小題滿分14分）如圖，在各棱長均為的三棱柱中，側(cè)面底面，． （Ⅰ）求側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大??； （第20題） （Ⅱ）已知點(diǎn)滿足，在直線上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請確定點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由． （21）（根據(jù)09年清華大學(xué)自主招生試題改編）（本小題滿分15分）已知橢圓的左頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）若過點(diǎn)的直線與橢圓交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，過原點(diǎn)與平行的直線與橢圓交于點(diǎn)，求證：為定值． （22）（原創(chuàng)）（本小題滿分14分）已知函數(shù).（

9、） （Ⅰ）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）若在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方，求的取值范圍． 2013年高考模擬試卷 數(shù)學(xué)（理科）答卷 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。 題目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 選項 二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。 11、 12 、

10、 13、 14、 15、 16、 17、 三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。 18、（本題14分） 19、（本題14分） （第20題） 20、（本題14分）

11、 21、（本題15分） 22、（本題15分） 2013年高考模擬試卷 數(shù)學(xué)（理科）參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn) 一、選擇題: 本題考查基本知識和基本運(yùn)算．每小題5分，共50分． （1）B （2）A （3）D （4）C （5）C （6）A （7）B （8）B （9）D （10）C 二、填空題: 本題考

12、查基本知識和基本運(yùn)算．每小題4分，共28分． （11）1 （12） （13） （14） （15） （16） （17） （1）B．本題考查集合運(yùn)算．易得，故． （2）A．本題考查充分必要條件． 或，故成立，為充分條件；而或，若，則無意義，則為不必要條件． （3）D．本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算．由于，故，整理可得． （4）C．本題考查二項式定理．第項，故當(dāng)時，的冪指數(shù)是整數(shù)，共5項． （5）C．本題考查算法程序運(yùn)算．由題意可知即求時，的最小值，故． （6）A．，且時，單

13、調(diào)遞增；時，單調(diào)遞增。所以單調(diào)遞增。 ，，所以為奇函數(shù)。故選A。 （7）B．本題考查解三角形。如圖，易得，由于為等腰三角形，故應(yīng)為中點(diǎn)，即求中點(diǎn)到距離，由面積法可得． （8）B．本題考查三視圖．根據(jù)三視圖可知，幾何體為如圖所示的半圓錐，則 ． （9）D．本題考查圓錐曲線幾何性質(zhì)．如圖，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作于， 雙曲線的右焦點(diǎn)為，由題意可知為圓的直徑， 所以，且，，所以， 。由拋物線性質(zhì)可知，且與 相似，所以，即，解得。 （10）C。本題考查平面向量運(yùn)算與基本定理的運(yùn)用。設(shè)射線上存在為，使， 交于

14、，， 設(shè)，， 由三點(diǎn)共線可知=1， 所以， 則存在最大值，即在?。ú话ǘ它c(diǎn)）上存在與 平行的切線，所以。 （11）1．本題考查線性規(guī)劃基本知識的應(yīng)用．如圖陰影部分為可行域， 為等腰直角三角形，所以，解得． （12）．本題考查數(shù)列基本知識．當(dāng)時，，由，即，所以，． （13）.本題考查排列組合的應(yīng)用．共可分為兩類：每組分別為人，則有人；每組分別為人，則有人；所以共有人． （14）．本題考查直線與圓的位置關(guān)系．設(shè)，則圓心到直線的距離，由于直線與圓相交，故，即，所以，解得． （15）。本題考查三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的運(yùn)用。當(dāng)函數(shù)遞增時，，即，所以，解

15、得。 （16）．本題考查函數(shù)性質(zhì)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想。解法一：由題意可知，可設(shè)，函數(shù)圖象(圖1)與直線沒有交點(diǎn)，則． 解法二：如圖(2)，在同一坐標(biāo)系中畫出和的圖象．顯然當(dāng)是直線與拋物線相切，所以當(dāng)時，沒有交點(diǎn)．故． 圖1 圖2 （17）。本題考查立體幾何。解：如圖，若固定正四面體的位置，則原點(diǎn) 在以為直徑的球面上運(yùn)動，設(shè)中點(diǎn)為，則原點(diǎn)到直線的 最近距離等于點(diǎn)到直線的距離減去球的半徑，即。 三、解答題: 大題共5小題，滿分72分． （18）本題主要

16、考查正弦、余弦定理, 三角公式變換, 三角形面積公式及向量運(yùn)算等基礎(chǔ)知識,同時考查運(yùn)算求解能力。滿分14分。 解：（I）由正弦定理得， 則， …………2分 故， 可得， 即，可得， …………4分 又，因此． …………6分 （II）解：由，可得， 又，故． …………9分 又， 可得，

17、 …………11分 所以，即． 所以． …………14分 （19）本題主要考查排列組合, 隨機(jī)事件的概率和隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概念, 同時考查抽象概括能力。滿分14分。 解：（1）記“第一次摸出號球”為事件，“第二次摸出號球”為事件， …………2分 則， …………4分 解得；

18、 …………6分 （2）隨機(jī)變量的取值為，的分布列為 3 4 5 6 …………10分 所以，數(shù)學(xué)期望． …………14分 （20）本題主要考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系, 空間向量的概念與運(yùn)算等基礎(chǔ)知識,同時考查空間想象能力和推理運(yùn)算能力。滿分14分。 解：（Ⅰ)∵側(cè)面底面，作于點(diǎn)，∴平面. 又，且各棱長都相等，∴，，.…2分 故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 ，，，， ∴，，．……4分 設(shè)平面的法向量為

19、， 則 解得. ………6分 由． 而側(cè)棱與平面所成角，即是向量與平面的法向量所成銳角的余角， ∴側(cè)棱與平面所成角的正弦值的大小為． …………8分 （Ⅱ）∵，而 ∴ 又∵，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為． …………10分 假設(shè)存在點(diǎn)符合題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)可設(shè)為，∴． ∵，為平面的法向量， ∴由，得． …………12分 又平面，故存在點(diǎn)，使，其坐標(biāo)為，即恰好為點(diǎn)．

20、 …………14分 （21）本題主要考橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。滿分15分。 解：（1），設(shè)過右焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦為，將代入橢圓方程，解得， …………2分 故，可得． …………4分 所以，橢圓方程為．

21、 …………6分 （2）由題意知，直線斜率存在，故設(shè)為，則直線的方程為，直線的方程為．可得，則． …………8分 設(shè)，，聯(lián)立方程組， 消去得：， ，， 則． …………11分 設(shè)與橢圓交另一點(diǎn)為，，聯(lián)立方程組， 消去得，， 所以． …………13分 故． 所以等于定值． …………15分 （22）

22、本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，同時考查邏輯推理能力和創(chuàng)新意識。滿分15分。 解：（Ⅰ）在區(qū)間上單調(diào)遞增， 則在區(qū)間上恒成立． …………3分 即，而當(dāng)時，，故． …………5分 所以． …………6分 （Ⅱ）令，定義域為. 在區(qū)間上，函數(shù)的圖象恒在曲線下方等價于在區(qū)間上恒成立.

23、 …………8分 ∵ …………9分 ① 若，令，得極值點(diǎn)，， 當(dāng)，即時，在（，+∞)上有，此時在區(qū)間上是增函數(shù)，并且在該區(qū)間上有，不合題意； 當(dāng)，即時，同理可知，在區(qū)間上， 有，也不合題意； …………12分 ② 若，則有，此時在區(qū)間上恒有，從而在區(qū)間上是減函數(shù)； 要使在此區(qū)間上恒成立，只須滿足， 由此求得的范圍是． …………14分 綜合①②可知，當(dāng)時，函數(shù)的圖象恒在直線下方. …………15分 17