第五章 定積分及其應(yīng)用

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1、第五章第五章 定積分及其應(yīng)用定積分及其應(yīng)用v定積分是積分學(xué)中最重要的概念之一，同導(dǎo)定積分是積分學(xué)中最重要的概念之一，同導(dǎo)數(shù)概念一樣，也是在解決一系列實(shí)際問題的數(shù)概念一樣，也是在解決一系列實(shí)際問題的過程中逐漸形成的。用定積分的方法能解決過程中逐漸形成的。用定積分的方法能解決大量的科學(xué)技術(shù)及經(jīng)濟(jì)管理中的計(jì)算問題。大量的科學(xué)技術(shù)及經(jīng)濟(jì)管理中的計(jì)算問題。 v本章將學(xué)習(xí)定積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算及其本章將學(xué)習(xí)定積分的概念、性質(zhì)、計(jì)算及其在幾何、物理等方面的應(yīng)用。在幾何、物理等方面的應(yīng)用。 內(nèi)容提要內(nèi)容提要第一節(jié)定積分的概念第一節(jié)定積分的概念 第二節(jié)微積分基本公式第二節(jié)微積分基本公式第三節(jié)定積分的換元法第三

2、節(jié)定積分的換元法第四節(jié)定積分的分部積分法第四節(jié)定積分的分部積分法第五節(jié)無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分第五節(jié)無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分第六節(jié)定積分的應(yīng)用舉例第六節(jié)定積分的應(yīng)用舉例第一節(jié)第一節(jié) 定積分的概念定積分的概念v重點(diǎn)：定積分的概念和性質(zhì)重點(diǎn)：定積分的概念和性質(zhì)v難點(diǎn)：定積分概念的理解難點(diǎn)：定積分概念的理解abxyo? A實(shí)例實(shí)例1 1 （求曲邊梯形的面（求曲邊梯形的面 積）積）)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.)(xfy 一、兩個(gè)實(shí)例一、兩個(gè)實(shí)例 在初等數(shù)學(xué)中，以矩形面積為基礎(chǔ)，解決了在初等數(shù)學(xué)中，以矩形面積為基礎(chǔ)，解決了較復(fù)雜的直邊圖形的面積問題較復(fù)雜的直

3、邊圖形的面積問題.現(xiàn)在的曲邊梯形有現(xiàn)在的曲邊梯形有一條邊是曲線，所以其面積就不能按照初等數(shù)學(xué)一條邊是曲線，所以其面積就不能按照初等數(shù)學(xué)的方法來(lái)計(jì)算的方法來(lái)計(jì)算.困難就在于曲邊梯形底邊（區(qū)間）困難就在于曲邊梯形底邊（區(qū)間）上的高是變化的，而且這種變化規(guī)律不是線性的上的高是變化的，而且這種變化規(guī)律不是線性的.但由于曲線是連續(xù)的，所以當(dāng)在上的變化很小時(shí)，但由于曲線是連續(xù)的，所以當(dāng)在上的變化很小時(shí)，相應(yīng)的高的變化也很小相應(yīng)的高的變化也很小.由于這個(gè)想法，可以用一由于這個(gè)想法，可以用一組平行于軸的直線把曲邊梯形分割成若干個(gè)小曲組平行于軸的直線把曲邊梯形分割成若干個(gè)小曲邊梯形，只要分割的充分細(xì)，每個(gè)小曲邊

4、梯形就邊梯形，只要分割的充分細(xì)，每個(gè)小曲邊梯形就很窄，則其高的變化就很小，很窄，則其高的變化就很小， abxyoabxyo用矩形面積近似取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積（四個(gè)小矩形）（四個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）（九個(gè)小矩形）曲邊梯形如圖所示，曲邊梯形如圖所示，,1210bxxxxxabann 個(gè)分點(diǎn)，個(gè)分點(diǎn)，內(nèi)插入若干內(nèi)插入若干在區(qū)間在區(qū)間abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為，個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)在每個(gè)

5、小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間iiixx ,1 iiixfA )( 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx iniixfA )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 時(shí)，時(shí)，趨近于零趨近于零即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度即小區(qū)間的最大長(zhǎng)度當(dāng)分割無(wú)限加細(xì)當(dāng)分割無(wú)限加細(xì))0(,max,21 nxxx曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度)(tvv 是是時(shí)間間隔時(shí)間間隔,21TT上上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程. 實(shí)例

6、二、求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程實(shí)例二、求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程 思路：把整段時(shí)間分割成若干個(gè)小段，每思路：把整段時(shí)間分割成若干個(gè)小段，每小段上速度看作不變。求出各小段的路程小段上速度看作不變。求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值。最后通過再相加，便得到路程的近似值。最后通過對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過程求得路程的精確值。對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過程求得路程的精確值。（1）分割）分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時(shí)刻的速度某時(shí)刻的速度（2）求和）求和iinitvs )(1 （3）取極限）取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的精確值

7、路程的精確值設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對(duì)對(duì),ba在在,ba中任意插入中任意插入若若干干個(gè)個(gè)分分點(diǎn)點(diǎn)bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長(zhǎng)長(zhǎng)度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一點(diǎn)一點(diǎn)i （iix ），），作作乘乘積積iixf )( ), 2 , 1( i并作和并作和iinixfS )(1 ，二、定積分的定義二、定積分的定義定義定義怎怎樣樣的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表

8、達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分區(qū)間積分區(qū)間,ba也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點(diǎn)點(diǎn)i 怎樣的取法，怎樣的取法，只只要要當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí)，和和S總趨于總趨于確定的極限確定的極限I，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和注意：注意：（1） 定定積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān)， badxxf)( badttf)( baduuf)(（3 3）當(dāng)函數(shù)）當(dāng)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上的定積分存在時(shí)，上的定積分存在時(shí)，而而與與積積分分變變量量的的字字母母無(wú)無(wú)關(guān)關(guān).稱稱)(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上上可積

9、可積. 當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)時(shí)時(shí)，定理定理1 1定理定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上有界，上有界， 稱稱)(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .且最多只有有限個(gè)間段點(diǎn)，且最多只有有限個(gè)間段點(diǎn)， 則則)(xf在在三、存在定理三、存在定理區(qū)區(qū)間間,ba上上可可積積. .,( )0,ab f x baAdxxf)(,( )0,ab f x baAdxxf)(1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定積分的幾何意義四、定積分的幾何意義12340幾何意義：幾何意義：積取負(fù)號(hào)軸下方的面在軸上方的面積取正號(hào)；在數(shù)和所圍的各部分面積的代直線的

10、圖形及兩條軸、函數(shù)它是由xxbxaxxfx ,)( ab 例例1、用定積分表示下列圖中陰影部分的面積、用定積分表示下列圖中陰影部分的面積解：根據(jù)定積分的幾何意義，解題如下：解：根據(jù)定積分的幾何意義，解題如下：對(duì)定積分的對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定補(bǔ)充規(guī)定:（1）當(dāng)）當(dāng)ba 時(shí)，時(shí)，0)( badxxf；（2）當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)時(shí)， abbadxxfdxxf)()(.說明說明 在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在下面的性質(zhì)中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小在，且不考慮積分上下限的大小五五 定積分的性質(zhì)定積分的性質(zhì)證證 badxxgxf)()(iiinixgf )()(lim10 iinixf )(lim

11、10 iinixg )(lim10 badxxf)(.)( badxxg badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(.性質(zhì)性質(zhì)1 1 babadxxfkdxxkf)()( (k為為常常數(shù)數(shù)).證證 badxxkf)(iinixkf )(lim10 iinixfk )(lim10 iinixfk )(lim10 .)( badxxfk性質(zhì)性質(zhì)2 2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(.例例 若若, cba cadxxf)( cbbadxxfdxxf)()( badxxf)( cbcadxxfdxxf)()(.)()( bccadxxfdxxf（定積分對(duì)于積分區(qū)間

12、具有可加性）（定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性）則則假設(shè)假設(shè)bca 性質(zhì)性質(zhì)3 3則則0)( dxxfba. . )(ba 證證, 0)( xf, 0)( if), 2 , 1(ni , 0 ix, 0)(1 iinixf,max21nxxx iinixf )(lim10 . 0)( badxxf性質(zhì)性質(zhì)4 4如如果果在在區(qū)區(qū)間間,ba上上0)( xf，如如果果函函數(shù)數(shù))(xf在在閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù)，證證Mdxxfabmba )(1)()()(abMdxxfabmba 由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知?jiǎng)t則在在積積分分區(qū)區(qū)間間,ba上上至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)

13、點(diǎn)點(diǎn) ，使使dxxfba )()(abf . . )(ba 性質(zhì)性質(zhì)5 5（定積分中值定理）（定積分中值定理）積分中值公式積分中值公式在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一個(gè)點(diǎn)上至少存在一個(gè)點(diǎn) ，使使,)(1)( badxxfabfdxxfba )()(abf .)(ba 在區(qū)間在區(qū)間,ba上至少存在一上至少存在一個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn) ，即即積分中值公式的幾何解釋：積分中值公式的幾何解釋：xyoab )( f使使得得以以區(qū)區(qū)間間,ba為為以以曲曲線線)(xfy 底底邊邊，為曲邊的曲邊梯形的面積為曲邊的曲邊梯形的面積等于同一底邊而高為等于同一底邊而高為)( f的的一一個(gè)個(gè)矩矩形形的的面面積積。 第二節(jié)第二節(jié) 微積分

14、基本公式微積分基本公式 重點(diǎn)：牛頓重點(diǎn)：牛頓萊布尼茲公式萊布尼茲公式 難點(diǎn)：難點(diǎn)： 積分上限的函數(shù)積分上限的函數(shù)變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為 21)(TTdttv 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度)(tvv 是時(shí)是時(shí)間間隔間間隔,21TT上上t的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且0)( tv，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過的路程.另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12TsTs ).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts

15、 其中其中一、問題的提出一、問題的提出 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,ba上連續(xù)，并且設(shè)上連續(xù)，并且設(shè)x為為,ba上的一點(diǎn)，上的一點(diǎn)， xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動(dòng)動(dòng)，則則對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)取取定定的的x值值，定定積積分分有有一一個(gè)個(gè)對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)，二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa

16、 )()(在在,ba上上具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且它它的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 積分上限函數(shù)的性質(zhì)積分上限函數(shù)的性質(zhì)xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf )( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x 21sinxdduddxxd21sinxudxdudduduxxxxxxuusin22sin2sin22 （2）

17、exxexdtexxxtx212sinlimlim22cos021cos0 x2分母的導(dǎo)數(shù)為分母的導(dǎo)數(shù)為所以有所以有定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(xF是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(aFbFdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個(gè)個(gè)原原函函數(shù)數(shù), 已知已知)(xF是是)(xf的一個(gè)原函數(shù)，的一個(gè)原函數(shù)，CxxF )()(,bax 證證三、牛頓三、牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式令令ax ,)()(CaaF 0)()( dttfaaa,)(CaF ),()()(aFxFd

18、ttfxa ,)()(CdttfxFxa 令令 bx).()()(aFbFdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxF)( 一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量.注意注意當(dāng)當(dāng)ba 時(shí)，時(shí)，)()()(aFbFdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問題.dxx10dxx312dxx31211dxxsindxxx194例計(jì)算下列定積分例計(jì)算下列定積分（1）(2)

19、(3)(4)(5) 第三節(jié)第三節(jié) 積分的換元法積分的換元法 重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)與難點(diǎn)： 掌握定積分的換元積分公式掌握定積分的換元積分公式 牛頓萊布尼茨公式把定積分的計(jì)算問轉(zhuǎn)牛頓萊布尼茨公式把定積分的計(jì)算問轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)（不定積分）的問題，因而求不化為求原函數(shù)（不定積分）的問題，因而求不定積分的各種具體方法經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兓?，都可定積分的各種具體方法經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖兓?，都可用于求定積分，本節(jié)我們來(lái)學(xué)習(xí)定積分的換元用于求定積分，本節(jié)我們來(lái)學(xué)習(xí)定積分的換元法法. 121ln2tt23ln12 解法解法2要比解法要比解法1簡(jiǎn)便些，因?yàn)樗∪チ俗兞炕睾?jiǎn)便些，因?yàn)樗∪チ俗兞炕卮@一步。代這一步。 一般的，定積分的

20、換元法可表述為：一般的，定積分的換元法可表述為： ttf定積分的換元法有兩個(gè)特點(diǎn)：定積分的換元法有兩個(gè)特點(diǎn)：tt換成新變量換成新變量時(shí)，積分限也要換成相應(yīng)于新變量時(shí)，積分限也要換成相應(yīng)于新變量的積分限的積分限.即所謂的即所謂的“換元必?fù)Q限換元必?fù)Q限.”（）求（）求出出的一個(gè)原函數(shù)后，不必象不定積分那樣再把原變量的一個(gè)原函數(shù)后，不必象不定積分那樣再把原變量t回代，而直接代入新變量回代，而直接代入新變量的上下限，然后相減就的上下限，然后相減就txx把原變量把原變量（1）用）用可以了?？梢粤?。 第四節(jié)第四節(jié) 定積分的分部積分法定積分的分部積分法重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)與難點(diǎn)： 熟練掌握定積分的分部積分公式熟

21、練掌握定積分的分部積分公式vduuvudvbabavduabuvdvu把不定積分的分部積分公式把不定積分的分部積分公式添加上積分限，就得到定積添加上積分限，就得到定積 分的分部積分公式：分的分部積分公式：2020cossinxdxdxxnn2200dxI10cossin2201xxdx2200sincosnnnxdxxdxnN 例例 求求 解：由例解：由例4的結(jié)果知的結(jié)果知0n當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，1n當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，203cos2cos24tdtt12214364cos640204 tdt,sin2txtdtdxcos2令令則則0 x；0t當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，2x2t當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)代入到代入到中得：中得： 第五節(jié)第五節(jié)

22、無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分無(wú)窮區(qū)間上的廣義積分 重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)與難點(diǎn)： 廣義積分的概念與計(jì)算廣義積分的概念與計(jì)算111lim11lim1lim12bbxdxxbbbbb, 1顯然，當(dāng)顯然，當(dāng)在在內(nèi)變化時(shí)，內(nèi)變化時(shí)，曲邊體形的面積曲邊體形的面積也隨著也隨著b的變化而變化的變化而變化b 時(shí)，這個(gè)曲邊梯形面積的極限就應(yīng)該是時(shí)，這個(gè)曲邊梯形面積的極限就應(yīng)該是“開口曲邊梯形開口曲邊梯形” ” 的面積，即的面積，即當(dāng)當(dāng) adxxf)( babdxxf)(lim當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在當(dāng)極限存在時(shí)，稱廣義積分收斂；當(dāng)極限不存在時(shí)，稱廣義積分發(fā)散時(shí)，稱廣義積分發(fā)散. .二、二、 廣義積分的定義廣

23、義積分的定義類似地，設(shè)函數(shù)類似地，設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間,(b上連續(xù)，取上連續(xù)，取ba ，如果極限，如果極限 baadxxf)(lim存在，則稱此極存在，則稱此極限為函數(shù)限為函數(shù))(xf在無(wú)窮區(qū)間在無(wú)窮區(qū)間,(b上的廣義積上的廣義積分，記作分，記作 bdxxf)(. . bdxxf)( baadxxf)(lim當(dāng)當(dāng)極極限限存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分收收斂斂；當(dāng)當(dāng)極極限限不不存存在在時(shí)時(shí)，稱稱廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散. . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間),(上連續(xù)上連續(xù), ,如果如果廣義積分廣義積分 0)(dxxf和和 0)(dxxf都收斂，則都收斂，則稱上述兩廣義積分之和為函數(shù)

24、稱上述兩廣義積分之和為函數(shù))(xf在無(wú)窮區(qū)間在無(wú)窮區(qū)間),(上的廣義積分，記作上的廣義積分，記作 dxxf)(. . dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim極限存在稱廣義積分收斂；否則稱廣義積分發(fā)散極限存在稱廣義積分收斂；否則稱廣義積分發(fā)散. . abxFalim bxF abxFblimaxF為了書寫方便起見，我們規(guī)定：為了書寫方便起見，我們規(guī)定：記為記為寫為寫為第六節(jié)第六節(jié) 定積分應(yīng)用舉例定積分應(yīng)用舉例重點(diǎn)與難點(diǎn)：重點(diǎn)與難點(diǎn)：正確理解定積分的元素法；正確理解定積分的元素法；熟練掌握用元素法求平面圖形的面積和旋熟練掌握用元素法求平面圖

25、形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積；轉(zhuǎn)體的體積；會(huì)求平面曲線的弧長(zhǎng)、變力作功和函數(shù)的會(huì)求平面曲線的弧長(zhǎng)、變力作功和函數(shù)的平均值。平均值。 回顧回顧 曲邊梯形求面積的問題曲邊梯形求面積的問題 badxxfA)(一、問題的提出一、問題的提出曲曲 邊邊 梯梯 形形 由由 連連 續(xù)續(xù) 曲曲 線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成。ab xyo)(xfy （1） 分分割割 把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)長(zhǎng)長(zhǎng)度度為為ix 的的小小區(qū)區(qū)間間， 相相應(yīng)應(yīng)的的曲曲邊邊梯梯形形被被分分為為n個(gè)個(gè)窄窄曲曲邊邊梯梯形形，第第i個(gè)個(gè)窄窄曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積為為iA ，則則 n

26、iiAA1. （2）近似代替近似代替 計(jì)算計(jì)算iA 的近似值的近似值 iiixfA)(iiixx ,1（3）求和求和 得得A的近似值的近似值.)(1iinixfA 面積表示為定積分的步驟是：面積表示為定積分的步驟是：ab xyo)(xfy （4） 求極限求極限 得得A的精確值的精確值iinixfA)(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小區(qū)間表示任一小區(qū)間,xxx 上的窄曲邊梯形的面積，上的窄曲邊梯形的面積，則則 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面積元素面積元素（3）部部分分量量iU 的的近

27、近似似值值可可表表示示為為iixf )( . 微元法的一般步驟：微元法的一般步驟：1）根根據(jù)據(jù)問問題題的的具具體體情情況況，選選取取一一個(gè)個(gè)變變量量例例如如x為為積積分分變變量量，并并確確定定它它的的變變化化區(qū)區(qū)間間,ba； 2）設(shè)設(shè)想想把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個(gè)個(gè)小小區(qū)區(qū)間間，取取其其中中任任一一小小區(qū)區(qū)間間并并記記為為,dxxx ，求求出出相相應(yīng)應(yīng)于于這這小小區(qū)區(qū)間間的的部部分分量量U 的的近近似似值值.如如果果U 能能近近似似地地表表示示為為,ba上上的的一一個(gè)個(gè)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在x處處的的值值)(xf與與dx的的乘乘積積，就就把把dxxf)(稱稱為為量量U的的元元素素(微微元元)

28、且且記記作作dU，即即dxxfdU)( ； 3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(為為被被積積表表達(dá)達(dá)式式，在在區(qū)區(qū)間間,ba上上作作定定積積分分，得得 badxxfU)(，即即為為所所求求量量U的的積積分分表表達(dá)達(dá)式式.這個(gè)方法通常叫做這個(gè)方法通常叫做微元法微元法應(yīng)用方向：應(yīng)用方向：平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；平面圖形的面積；體積；平面曲線的弧長(zhǎng)；功；水壓力；引力和平均值等功；水壓力；引力和平均值等xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(平面圖形的面積平面圖形的面積 badxxfxfA)()(12xxxx

29、x 二、平面圖形的面積二、平面圖形的面積例例 1 1 計(jì)計(jì)算算由由兩兩條條拋拋物物線線xy 2和和2xy 所所圍圍成成的的圖圖形形的的面面積積.解解 兩曲線的交點(diǎn)為兩曲線的交點(diǎn)為) 1 , 1 ()0 , 0(面積元素面積元素dxxxdA)(2選選 為積分變量為積分變量x1 , 0 xdxxxA)(21010333223 xx.31 2xy 2yx 旋轉(zhuǎn)體旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)就是由一個(gè)平面圖形平面圖形饒這平面內(nèi)饒這平面內(nèi)一條一條直線直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)一周而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸圓柱圓柱圓錐圓錐圓臺(tái)圓臺(tái)三、旋轉(zhuǎn)體的體積三、旋轉(zhuǎn)體的體積一一般般地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由

30、由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy 、直直線線ax 、bx 及及x軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞x軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為多多少少？取取積積分分變變量量為為x，,bax 在在,ba上上任任取取一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ， 取取以以dx為為高高，f(x)為為半半徑徑的的扁扁圓圓柱柱體體的的體體積積為為體體積積元元素素， dxxfdV2)( xdxx xyo旋轉(zhuǎn)體的體積為旋轉(zhuǎn)體的體積為dxxfVba2)( )(xfy y例例 1 1 連接坐標(biāo)原點(diǎn)連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)及點(diǎn)),(rhP的直線、直線的直線、直線hx 及及x軸圍成一個(gè)直角三角形將它繞軸圍成一個(gè)直角三角形將

31、它繞x軸旋軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為、高為h的圓錐體，計(jì)算的圓錐體，計(jì)算圓錐體的體積圓錐體的體積r解解hPxhry 取取積積分分變變量量為為x，, 0hx 在在, 0h上任取小區(qū)間上任取小區(qū)間,dxxx ，xo直線直線 方程為方程為OPdxxhrdV2 圓圓錐錐體體的的體體積積dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo 類類似似地地，如如果果旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體是是由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(yx 、直直線線cy 、dy 及及y軸軸所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周而而成成的的立立體體，體體積積為為xyocddyy2)( dcV)(yx

32、設(shè)設(shè)曲曲線線弧弧為為)(xfy )(bxa ，其其中中)(xf在在,ba上上有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xoyabxdxx 取取積積分分變變量量為為x，在在,ba上上任任取取小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ，以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng)以對(duì)應(yīng)小切線段的長(zhǎng)代替小弧段的長(zhǎng) dy小小切切線線段段的的長(zhǎng)長(zhǎng)22)()(dydx dxy21 弧長(zhǎng)元素弧長(zhǎng)元素dxyds21 弧長(zhǎng)弧長(zhǎng).12dxysba 四、平面曲線的弧長(zhǎng)四、平面曲線的弧長(zhǎng)解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧長(zhǎng)為所求弧長(zhǎng)為dxxsba 1.)1()1(322323ab ab如圖所示如圖所示點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放

33、暫停暫停例例 2 2 一圓柱形蓄水池一圓柱形蓄水池高為高為 5米，底半徑為米，底半徑為3 米，池內(nèi)盛滿了水米，池內(nèi)盛滿了水.問要把池內(nèi)的水全部問要把池內(nèi)的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？解解建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖xoxdxx 取取x為積分變量，為積分變量，5 , 0 x5取取任任一一小小區(qū)區(qū)間間,dxxx ,xoxdxx 5這一薄層水的重力為這一薄層水的重力為dx238 . 9 功元素為功元素為,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦)bxxxxan1321nabxiiify), 2, 1,(1nixxiiin等份，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為等份，每個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度為 xfy n由于由于連續(xù)，所以當(dāng)連續(xù)，所以當(dāng)足夠大時(shí)，我們可把足夠大時(shí)，我們可把 xf1,iixx在區(qū)間在區(qū)間上看作常數(shù)上看作常數(shù)ba ,先把區(qū)間先把區(qū)間用分點(diǎn)用分點(diǎn) 這就是說，純電阻電路中正弦交流電的平這就是說，純電阻電路中正弦交流電的平均功率等于電流電壓峰值乘積的一半均功率等于電流電壓峰值乘積的一半. 通常交流電器上注明的功率就是平均功率通常交流電器上注明的功率就是平均功率