《綜合法和分析法》(上課用)

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1、高二數(shù)學(xué)高二數(shù)學(xué) 選修選修 2-2 第二章第二章 推理與證明推理與證明2021-10-12孝高 蔣志方12.2 2.2 直接證明與間接證明直接證明與間接證明2.2.1 2.2.1 綜合法和分析法綜合法和分析法演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的演繹推理是證明數(shù)學(xué)結(jié)論、建立數(shù)學(xué)體系的重要思維過(guò)程重要思維過(guò)程. .數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、證明思路的發(fā)現(xiàn), ,主要靠合情推主要靠合情推理理. .復(fù)習(xí)推推 理理合情推理合情推理演繹推理演繹推理歸納歸納(特殊到一般）特殊到一般）類比類比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段論三段論（一般到特殊）（一般到特殊）v合情推理得到的結(jié)論是不可靠的，需要證明。

2、數(shù)學(xué)中證明的方法有哪些呢？間接證明（反證法）分析法綜合法直接證明證明的方法例例: :已知已知a0,b0,a0,b0,求證求證a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc4abc因?yàn)橐驗(yàn)閎 b2 2+c+c2 2 2bc,a02bc,a0所以所以a(ba(b2 2+c+c2 2) )2abc.2abc.又因?yàn)橛忠驗(yàn)閏 c2 2+b+b2 2 2bc,b02bc,b0所以所以b(cb(c2 2+a+a2 2) ) 2abc.2abc.因此因此a(ba(b2 2+c+c2 2)+b(c)+b(c2 2+a+a2 2) )4abc.4abc.證明證明: :在數(shù)

3、學(xué)證明中，我們經(jīng)常從已知條件和某些在數(shù)學(xué)證明中，我們經(jīng)常從已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理、性質(zhì)等出發(fā)通過(guò)推數(shù)學(xué)定義、定理、公理、性質(zhì)等出發(fā)通過(guò)推理導(dǎo)出所要的結(jié)論。理導(dǎo)出所要的結(jié)論。.綜合法綜合法由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч麖拿}的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運(yùn)算法則，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證算法則，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立明的結(jié)論成立. (又稱順推證法又稱順推證法)探索求知探索求知注：用注：用P P表示已知條件表示已知條件, ,已有的定義已有的定義, ,定理定理, ,公理等公理等.Q.Q表示所要證明的結(jié)論表示所要證明

4、的結(jié)論, ,則綜合法可用框圖表示為則綜合法可用框圖表示為: :P Q1Qn QQ2 Q3Q1 Q2探索求知探索求知例：求證不等式：例：求證不等式：.10578.注：從求證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使結(jié)論成立的條件。證明：證明：要證要證,10578.)105()78(22即證即證.50210556278.5056,502562即故不等式成立故不等式成立.只需證只需證只需證只需證2.分析法分析法探索求知探索求知從證明的結(jié)論出發(fā)從證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件逐步尋求使它成立的充分條件,直直至最后至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件件(已知

5、已知,定理定理,定義定義,公理等公理等).這種證明的方法叫做分析法這種證明的方法叫做分析法. （又稱倒推證法）（又稱倒推證法）執(zhí)果索因執(zhí)果索因 注：用注：用Q Q表示所要證明的結(jié)論表示所要證明的結(jié)論, ,則分析法可用框圖表示為則分析法可用框圖表示為: :得到一個(gè)明顯成立的條件Q P1P1 P2P2 P3證法證法1 1: :對(duì)于正數(shù)對(duì)于正數(shù)a, ,b, , 有有202022ababababababab （）證法證法2 2: :要證要證只要證只要證只要證只要證只要證只要證2abab 2abab 02aabb20()ab 因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成因?yàn)樽詈笠粋€(gè)不等式成立，故結(jié)論成立。立，故結(jié)論成立。綜合法

6、綜合法分析法分析法表達(dá)簡(jiǎn)潔表達(dá)簡(jiǎn)潔!目的性強(qiáng)目的性強(qiáng),易于探索易于探索!【分析法分析法】 從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件從結(jié)論出發(fā)，尋找結(jié)論成立的充分條件直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件。個(gè)明顯成立的條件。要證：要證：只要證：只要證：只需證：只需證：顯然成立顯然成立上述各步均可逆上述各步均可逆所以所以 結(jié)論成立結(jié)論成立要證：要證：所以所以 結(jié)論成立結(jié)論成立格格 式式 372 5練習(xí)： 求證372 5解解: :要證要證()()22372 5只需證只需證展開(kāi)展開(kāi), ,只需證只需證215只需證只需證 21252125因?yàn)橐驗(yàn)?2125212

7、5成立成立, ,所以所以 成成立立. .372 5例例3 3：在：在中，三個(gè)內(nèi)角、對(duì)中，三個(gè)內(nèi)角、對(duì)應(yīng)的邊分別為應(yīng)的邊分別為a a、b b、c c，且、成等，且、成等差數(shù)列，差數(shù)列，a a、b b、c c成等比數(shù)列，求證成等比數(shù)列，求證為等邊三角形為等邊三角形分析：把題中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)分析：把題中的文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言：言：A+C=2BA+C=2B，b b2 2 =ac=ac由（由（1 1）聯(lián)想到內(nèi)角各能得到什么？）聯(lián)想到內(nèi)角各能得到什么？由（由（2 2）聯(lián)想到三角形什么知識(shí)？余弦定理，）聯(lián)想到三角形什么知識(shí)？余弦定理，二者聯(lián)系起來(lái)能得到什么結(jié)論二者聯(lián)系起來(lái)能得到什么結(jié)論證明：證明：

8、 由由A A，B B，C C成等差數(shù)列，有成等差數(shù)列，有 2B=A+C 2B=A+C CBAABCCBA的內(nèi)角，所以為，因?yàn)橛捎?，得，?B由啊，由啊，a a，b b，c c成等比數(shù)列，有成等比數(shù)列，有acb 2由余弦定理及由余弦定理及，可得，可得accaBaccab22222cos2再由再由，得，得0222）即（caacacca因此，因此，a=ca=c從而有從而有 A=CA=C由由，得，得3CBA.為等邊三角形所以 ABC2 22 22 22 22 2例例 . . 已已 知知 , , k k + +( (k kZ Z) ), ,且且2 2 s si in n + + c co os s =

9、= 2 2s si in n s si in n c co os s = = s si in n 1 1 - - t ta an n 1 1 - - t ta an n 求求 = =. .1 1 + + t ta an n 2 2( (1 1 + + t ta an n ) )證證:例：例：1PP 21PP PPnmQQ 12QQ QQ 1上述過(guò)程可用框圖表示上述過(guò)程可用框圖表示: :直接證明(回顧小結(jié))分析法分析法 解題方向比較明確，解題方向比較明確， 利于尋找解題思路；利于尋找解題思路； 綜合法綜合法 條理清晰，易于表述。條理清晰，易于表述。通常以通常以分析法分析法尋求尋求思路，再用思路，再用綜合法綜合法有條理地有條理地表述解題過(guò)程表述解題過(guò)程分析法分析法綜合法綜合法概念概念直接證明（綜合法和分析法）上述兩種證法有什么異同？都是直接證明都是直接證明證法證法1 1綜合法：由因?qū)Ч?，形式?jiǎn)潔，易于表述綜合法：由因?qū)Ч问胶?jiǎn)潔，易于表述 ；相同不同不同 證法證法2 2分析法：執(zhí)果索因，利于思考，易于探路分析法：執(zhí)果索因，利于思考，易于探路【鞏固練習(xí)】【鞏固練習(xí)】abbaba16)sintan,sintan22cossincos122244 （：求證求證已知已知、求證：、求證：