2019-2020年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 1.4.2 角平分線教案 （新版）北師大版.doc

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2019-2020年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 1.4.2 角平分線教案 （新版）北師大版 教學(xué)目標(biāo)： 1．理解證明角的平分線的性質(zhì)定理和判定定理相關(guān)的結(jié)論，掌握角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的靈活運(yùn)用． 2. 進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理證明意識(shí)和能力，培養(yǎng)學(xué)生將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的能力，提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問(wèn)題的能力． 3．在探究的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣，在交流的過(guò)程中學(xué)會(huì)向別人清晰地表達(dá)自己的思維和想法，在解決問(wèn)題的過(guò)程中讓學(xué)生深刻感受到“數(shù)學(xué)是有用的”. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)： 重點(diǎn)：三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的性質(zhì)，綜合運(yùn)用角平分線的判定和性質(zhì)定理，解決實(shí)際生活中幾何中的問(wèn)題． 難點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的綜合應(yīng)用． 課前準(zhǔn)備：多媒體課件． 教法及學(xué)法指導(dǎo)： 教法：運(yùn)用啟發(fā)誘導(dǎo)式、討論探究式、激勵(lì)競(jìng)學(xué)法等多種方法進(jìn)行點(diǎn)撥，采用一題多解、變式訓(xùn)練、投影展示等手段進(jìn)行落實(shí).結(jié)合本課的實(shí)際情況，類(lèi)比線段的垂直平分線的學(xué)習(xí)，設(shè)計(jì)了以下五個(gè)環(huán)節(jié)： 一、順手牽“羊”——復(fù)習(xí)回顧； 二、三“羊”開(kāi)泰——情境引入； 三、虎口擒“羊”——探究學(xué)習(xí)； 四、“羊羊”灑灑——典例分析； 五、“羊羊”得“億”——課堂小結(jié)； 六、亡“羊”補(bǔ)牢——達(dá)標(biāo)測(cè)試 七、“羊”眉吐氣——布置作業(yè). 學(xué)法：利用獨(dú)立思考與小組合作討論相結(jié)合等多種方式學(xué)習(xí)本課新知；通過(guò)比賽的方式完成達(dá)標(biāo)練習(xí). 課前準(zhǔn)備： 教師：利用幾何畫(huà)板、PPT等工具制作圖形、課件，從網(wǎng)絡(luò)上下載相關(guān)圖片，精選例題； 學(xué)生：準(zhǔn)備好《課本》、《助學(xué)》，練習(xí)本及沒(méi)人3張三角形紙片等. 教學(xué)過(guò)程： 一、順手牽“羊”——復(fù)習(xí)回顧 活動(dòng)內(nèi)容：回答下列問(wèn)題 問(wèn)題1.角平分線性質(zhì)定理是什么？ 問(wèn)題2. .角平分線判定定理是什么？ 處理方式：兩個(gè)問(wèn)題均由學(xué)生口答完成．對(duì)于問(wèn)題1，學(xué)生的答案可能比較準(zhǔn)確．對(duì)于問(wèn)題2學(xué)生很可能丟掉“在角的內(nèi)部”，必要時(shí)給予提示，強(qiáng)調(diào)“在角的內(nèi)部”條件不可少.. 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)回顧2個(gè)問(wèn)題，為這節(jié)課的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)． 二、三“羊”開(kāi)泰——情境引入 活動(dòng)內(nèi)容：折紙驗(yàn)證后回答問(wèn)題. 我們用三張三角形的紙片，分別折出三個(gè)角的角平分線.我們發(fā)現(xiàn)，這三條線是交于一點(diǎn)的，但是，是不是所有的三角形都具有這樣的性質(zhì)呢？ 每個(gè)同學(xué)分別拿出不同形狀的三角形紙片折疊后作其角平分線，觀察結(jié)果. 問(wèn)題1：觀察這幾個(gè)三角形，它們的角平分線交于一點(diǎn)么？ 問(wèn)題2：猜想是否任意三角形角平分線都交于一點(diǎn)？如果是，如何證明它呢？ 處理方式：?jiǎn)栴}1由學(xué)生口答完成.對(duì)于問(wèn)題2先讓學(xué)生折出一般銳角三角形、鈍角三角形、直角三角形的三條角平分線，然后讓學(xué)生總結(jié)任意三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，完成后教師引導(dǎo)學(xué)生分析證明的依據(jù)，從而引入出新課． 設(shè)計(jì)意圖：用學(xué)生熟悉的折紙游戲，貼近學(xué)生的生活，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的求知欲，讓學(xué)生在不知不覺(jué)中感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，同時(shí)也讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)了三角形角平分線用折紙可以得到，這也為新課的學(xué)習(xí)做好鋪墊. 三、虎口擒“羊”——探究學(xué)習(xí) 活動(dòng)內(nèi)容1：（多媒體出示）請(qǐng)同學(xué)們觀察下圖，思考如何證明：任意三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，你能寫(xiě)出已知、求證、證明嗎？并與同伴交流． 已知：如圖，設(shè)△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P， 求證：P點(diǎn)在∠BAC的角平分線上． 證明：過(guò)P點(diǎn)作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足． ∵BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上， ∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等)． 同理：PE=PF． ∴PD=PF． ∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上)． ∴△ABC的三條角平分線相交于點(diǎn)P． 問(wèn)題：在證明過(guò)程中，我們除證明了任意三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)外，還有什么“附帶”的結(jié)論呢? 預(yù)設(shè)回答：PD=PE=PF，即這個(gè)交點(diǎn)P到三角形三邊的距離相等 于是我們得出了有關(guān)三角形的三條角平分線的結(jié)論，即定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等． 處理方式：學(xué)生討論交流，在圖片上完成后再展示說(shuō)明，學(xué)生之間互相補(bǔ)充．教師適時(shí)點(diǎn)評(píng)，強(qiáng)調(diào)：“角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等”與“在一個(gè)角的內(nèi)部（特別強(qiáng)調(diào)），且到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上”互逆關(guān)系： 設(shè)計(jì)意圖：本活動(dòng)的設(shè)計(jì)意在引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探究、合作交流，對(duì)角平分線的性質(zhì)證明從感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)．先從觀察圖片中三角形角平分線入手，體驗(yàn)三角形三條角平分線所具有的關(guān)系，然后寫(xiě)出證明過(guò)程，鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力. 活動(dòng)內(nèi)容2：(多媒體出示) 如圖：直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？你如何發(fā)現(xiàn)的? 學(xué)生交流討論： 預(yù)設(shè)1: 有一處．在三條公路的交點(diǎn)A、B、C組成的△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處．因?yàn)槿切稳龡l角平分線交于一點(diǎn)，且這一點(diǎn)到三邊的距離相等．而現(xiàn)在要建的貨物中轉(zhuǎn)站要求它到三條公路的距離相等．這一點(diǎn)剛好符合． 預(yù)設(shè)2：共有四處．(同學(xué)們很吃驚！)除了剛才同學(xué)找到的三角形ABC內(nèi)部的一點(diǎn)外，我認(rèn)為在三角形外部還有三點(diǎn)．作∠ACB、∠ABC外角的平分線交于點(diǎn)P1(如下圖所示)，我們利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，可知點(diǎn)P1在∠CAB的角平分線上，且到l1、l2、l3的距離相等．同理還有∠BAC、∠BCA的外角的角平分線的交點(diǎn)P2；∠BAC、∠ABC的外角的角平分線的交點(diǎn)P3,因此滿足條件共4個(gè)，分別是P、P1、P2、P3 處理方式：在老師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生通過(guò)自己的歸納找到滿足在△ABC內(nèi)部到三條公路的距離相等的點(diǎn)，并能利用角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，找到在△ABC外部到三條公路的距離相等的點(diǎn). 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)題讓學(xué)生自己的歸納能找到到三角形三邊距離相等的點(diǎn)的特征，加深對(duì)三角形角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的理解應(yīng)用． 四、“羊羊”灑灑——典例分析 活動(dòng)內(nèi)容1：我們學(xué)習(xí)了三角形角平分線的性質(zhì)定理和判定定理，你能順利的利用三角形角平分線的性質(zhì)定理和判定定理解決實(shí)際問(wèn)題嗎？（多媒體出示例1） 例1．如圖，在△ABC中．AC=BC，∠C=90，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E． (1)已知CD=4 cm，求AC的長(zhǎng)； (2)求證：AB=AC+CD． 學(xué)生討論： 師引導(dǎo)提示：第(1)問(wèn)中，求AC的長(zhǎng)，需求出BC的長(zhǎng)，而B(niǎo)C=CD+DB，CD=4 cIn，而B(niǎo)D在等腰直角三角形DBE中，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，DE=CD=4cm，再根據(jù)勾股定理便可求出DB的長(zhǎng)．第(2)問(wèn)中，求證AB=AC+CD．這是我們第一次遇到這種形式的證明，利用轉(zhuǎn)化的思想AB=AE+BE，所以需證AC=AE，CD=BE． 預(yù)設(shè)1：(1)解：∵AD是△ABC的角平分線， ∠C=90，DE⊥AB． ∴DE=CD=4cm(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等)． ∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等邊對(duì)等角)． ∵∠C=90， ∴∠B=90=45． ∴∠BDE=90—45＝45． ∴BE=DE(等角對(duì)等邊)． 在等腰直角三角形BDE中 cm(勾股定理)， ∴AC=BC=CD+BD=(4+)cm． 預(yù)設(shè)2：(2)證明：由(1)的求解過(guò)程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理) ∴AC=AE． ∵BE=DE=CD， ∴AB=AE+BE=AC+CD． 處理方式：讓兩名學(xué)生主動(dòng)到黑板板演，其他學(xué)生在練習(xí)本上完成．教師巡視，適時(shí)點(diǎn)撥．學(xué)生完成后及時(shí)點(diǎn)評(píng)，借助多媒體展示學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行矯正． 設(shè)計(jì)意圖：本例需要運(yùn)用前面所學(xué)的多個(gè)定理，而且將計(jì)算和證明融合在一起，目的是使學(xué)生進(jìn)一步理解、掌握這些知識(shí)和方法，并能綜合運(yùn)用它們解決問(wèn)題． 五、“羊羊”得“億”——課堂小結(jié) 活動(dòng)內(nèi)容：同學(xué)們，學(xué)習(xí)也是如此.通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？有何感想？學(xué)會(huì)了哪些方法？先想一想，再分享給大家． 處理方式：學(xué)生暢談自己的收獲！下面我們通過(guò)列表來(lái)比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理： 三邊垂直平分線 三條角平分線 三角形 銳角三角形 交于三角形內(nèi)一點(diǎn) 交于三角形內(nèi)一點(diǎn) 鈍角三角形 交于三角形外一點(diǎn) 直角三角形 交于斜邊的中點(diǎn) 交點(diǎn)性質(zhì) 到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 到三角形三邊的距離相等 設(shè)計(jì)意圖：課堂總結(jié)是知識(shí)沉淀的過(guò)程，使學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)進(jìn)行梳理，養(yǎng)成反思與總結(jié)的習(xí)慣，培養(yǎng)自我反饋，自主發(fā)展的意識(shí)． 六、亡“羊”補(bǔ)牢——達(dá)標(biāo)測(cè)試 一、判斷題 1.在同一平面內(nèi)，到三角形三邊距離相等的點(diǎn)只有一個(gè) （ ） 2.在同一平面內(nèi)，到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)只有一個(gè) （ ） 3.三角形三條角平分線交于一點(diǎn) （ ） 4.等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等 （ ） 5.三角形是以它的角平分線為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形 （ ） 二、填空題 1.如圖（1），點(diǎn)P為△ABC三條角平分線交點(diǎn)，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，則PD__________PE__________PF. 2.如圖（2），P是∠AOB平分線上任意一點(diǎn)，且PD=2cm，若使PE=2cm，則PE與OB的關(guān)系是__________. （1） （2） 三、解答題 已知：如圖，P是么AOB平分線上的一點(diǎn)，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別為C、D． 求證：(1)OC=OD； (2)OP是CD的垂直平分線． 參考答案： 一、1.√ 2. 3.√ 4.√ 5. 二、1.= = 2.垂直 三、證明：(1)P是∠AOB角平分線上的一點(diǎn)，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD(角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)． 在Rt△OPC和Rt△OPD中， OP=OP，PC=PD， ∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL定理)． ∴OC=OD(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)． (2)又OP是∠AOB的角平分線， ∴OP是CD的垂直平分線(等腰三角形“三線合一”定理)． 處理方式：學(xué)生做完后，教師出示答案，指導(dǎo)學(xué)生校對(duì),及時(shí)糾錯(cuò). 設(shè)計(jì)意圖：學(xué)以致用，當(dāng)堂檢測(cè)及時(shí)獲知學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)掌握情況，并最大限度地調(diào)動(dòng)全體學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使每個(gè)學(xué)生都能有所收益、有所提高. 七、“羊”眉吐氣——布置作業(yè) 必做題：課本32頁(yè)，習(xí)題1.10 第1題 第2題 選做題：課本32頁(yè)，問(wèn)題解決 第4題． 設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)設(shè)計(jì)采取分層設(shè)計(jì)，使學(xué)生根據(jù)自身的實(shí)際學(xué)習(xí)情況選擇不同的作業(yè)，既滿足了不同層次學(xué)生的需求，又提高了作業(yè)的實(shí)效性，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與質(zhì)量的提高． 七、 板書(shū)設(shè)計(jì) 1.4.2 角平分線 一、要點(diǎn)回顧 1.角平分線性質(zhì)： 2角平分線判定方法： 3.三角形角平分線特征： 二、典型例題 例1. 方法歸納： 三、達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1. 2. 3