《2014-2015學(xué)年下學(xué)期高二數(shù)學(xué) 課時(shí)作業(yè)9 (新人教A版選修2-2)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2014-2015學(xué)年下學(xué)期高二數(shù)學(xué) 課時(shí)作業(yè)9 (新人教A版選修2-2)(13頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
課時(shí)作業(yè)(九)
一、選擇題
1.函數(shù)f(x)=x3+3x2+3x-a的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)( )
A.2 B.1
C.0 D.由a確定
答案 C
解析 f′(x)=3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)2≥0恒成立.f(x)單調(diào),故無極值點(diǎn).
2.函數(shù)f(x)的定義域?yàn)殚_區(qū)間(a,b),導(dǎo)數(shù)f′(x)在(a,b)內(nèi)的圖像如圖所示,則函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)有極小值點(diǎn)( )
A.1個(gè) B.2個(gè)
C.3個(gè) D.4個(gè)
答案 A
解析 導(dǎo)數(shù)的圖像看符號,先負(fù)后正的分界點(diǎn)為極小值點(diǎn).
3.若函數(shù)y=ex+mx有極值,
2、則實(shí)數(shù)m的取值范圍( )
A.m>0 B.m<0
C.m>1 D.m<1
- 1 - / 13
答案 B
解析 y′=ex+m,則ex+m=0必有根,∴m=-ex<0.
4.當(dāng)函數(shù)y=x2x取極小值時(shí),x=( )
A. B.-
C.-ln2 D.ln2
答案 B
解析 由y=x2x,得y′=2x+x2xln2.
令y′=0,得2x(1+xln2)=0.
∵2x>0,∴x=-.
5.函數(shù)f(x)=x3-3bx+3b在(0,1)內(nèi)有極小值,則( )
A.0<b<1 B.b<1
C.b>0 D.b<
答案 A
解析 f(x)在(0,1
3、)內(nèi)有極小值,則f′(x)=3x2-3b在(0,1)上先負(fù)后正,∴f′(0)=-3b<0.
∴b>0,f′(1)=3-3b>0,∴b<1.
綜上,b的范圍為0<b<1.
6.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則a的取值范圍為( )
A.-1<a<2 B.-3<a<0
C.a(chǎn)<-1或a>2 D.a(chǎn)<-3或a>6
答案 D
解析 f′(x)=3x2+2ax+(a+6),
∵f(x)有極大值和極小值,
∴f′(x)=0有兩個(gè)不等實(shí)根.
∴Δ=4a2-43(a+6)>0,即(a-6)(a+3)>0,
解得a>6或a<-3.
7.已知函數(shù)f(
4、x)=x3-px2-qx的圖像與x軸相切于(1,0),則極小值為( )
A.0 B.-
C.- D.1
答案 A
解析 f′(x)=3x2-2px-q,
由題知f′(1)=3-2p-q=0.
又f(1)=1-p-q=0,
聯(lián)立方程組,解得p=2,q=-1.
∴f(x)=x3-2x2+x,f′(x)=3x2-4x+1.
由f′(x)=3x2-4x+1=0,
解得x=1或x=.
經(jīng)檢驗(yàn)知x=1是函數(shù)的極小值點(diǎn).
∴f(x)極小值=f(1)=0.
8.三次函數(shù)當(dāng)x=1時(shí),有極大值4,當(dāng)x=3時(shí),有極小值0,且函數(shù)圖像過原點(diǎn),則此函數(shù)可能是( )
A.y=
5、x3+6x2+9x B.y=x3-6x2+9x
C.y=x3-6x2-9x D.y=x3+6x2-9x
答案 B
解析 三次函數(shù)過原點(diǎn),且四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)的最高次項(xiàng)系數(shù)均為1,
∴此函數(shù)可設(shè)為f(x)=x3+bx2+cx.
則f′(x)=3x2+2bx+c.
由題設(shè)知
解得
∴f(x)=x3-6x2+9x.
∴f′(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3).
可以驗(yàn)證當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取得極大值4;當(dāng)x=3時(shí),函數(shù)取得極小值0,滿足條件.
9.設(shè)f(x)=x(ax2+bx+c)(a≠0)在x=1和x=-1處均有極值,則下列點(diǎn)中一定在x軸上的是( )
A.(
6、a,b) B.(a,c)
C.(b,c) D.(a+b,c)
答案 A
解析 f′(x)=3ax2+2bx+c,由題意知x=1和x=-1是方程3ax2+2bx+c=0的兩根,則1-1=-,得b=0.
二、填空題
10.若函數(shù)f(x)=在x=1處取得極值,則a=________.
答案 3
解析 f′(x)=
==,
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在x=1處取得極值,
所以f′(1)==0,解得a=3.
11.設(shè)函數(shù)f(x)=x(x-c)2在x=2處有極大值,則c=________.
答案 6
解析 f′(x)=3x2-4cx+c2,
∵f(x)在x=2處有極大值,
7、∴f′(2)=0,即
c2-8c+12=0,解得c1=2,c2=6.
當(dāng)c=2時(shí),則f′(x)=3x2-8x+4=(3x-2)(x-2).
當(dāng)x>2時(shí),f′(x)>0,f(x)遞增不合題意,
∴c≠2,∴c=6.
12.已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx,其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(1,0),(2,0),如圖所示,則下列說法中不正確的編號是________.(寫出所有不正確說法的編號)
(1)當(dāng)x=時(shí)函數(shù)取得極小值;
(2)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn);
(3)c=6;
(4)當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)取得極大值.
答案 (1)
解析 f′(x)的符號為正→負(fù)→正,
8、
則f(x)的單調(diào)性為增→減→增.
草圖如右圖.
三、解答題
13.設(shè)x=1和x=2是函數(shù)f(x)=x5+ax3+bx+1的兩個(gè)極值點(diǎn).
(1)求a和b的值;
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.
解析 (1)f′(x)=5x4+3ax2+b,
由題意知f′(1)=5+3a+b=0,
f′(2)=245+223a+b=0.
解得a=-,b=20.
(2)由(1)知f′(x)=5x4-25x2+20=5(x2-1)(x2-4)=5(x+1)(x+2)(x-1)(x-2).
當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(-1,1)∪(2,+∞)時(shí),f′(x)>0,
當(dāng)x∈(-2,-1)∪(1,2)時(shí),
9、f′(x)<0.
因此,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-2),(-1,1),(2,+∞);f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-2,-1),(1,2).
14.一個(gè)三次函數(shù)y=f(x),當(dāng)x=3時(shí)取得極小值y=0,又在此函數(shù)的曲線上點(diǎn)(1,8)處的切線經(jīng)過點(diǎn)(3,0),求函數(shù)f(x)的表達(dá)式.
解析 由題意,點(diǎn)(3,0)在曲線上,故可設(shè)y=a(x-3)3+b(x-3)2+c(x-3).
∵當(dāng)x=3時(shí),y取得極小值,∴y′|x=3=0.
而y′=3a(x-3)2+2b(x-3)+c,把x=3代入得c=0.
∴y=a(x-3)3+b(x-3)2,
y′=3a(x-3)2+2b(x-3).
10、∵曲線過點(diǎn)(1,8),∴-8a+4b=8.①
∵曲線在點(diǎn)(1,8)處的切線經(jīng)過點(diǎn)(3,0),
∴該切線的斜率k==-4.
另一方面,應(yīng)有k=y(tǒng)′|x=1,
從而12a-4b=-4.②
由①②兩式解得a=1,b=4.
∴y=(x-3)3+4(x-3)2,即y=x3-5x2+3x+9.
15.已知函數(shù)f(x)=x2-alnx(a∈R)
(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)的極值;
(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,+∞)上是增函數(shù),試確定a的取值范圍.
解析 (1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x2-lnx,f′(x)=2x-,
f′
11、(1)=1,又f(1)=1,∴切線方程為y=x.
(2)定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=2x-,當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)>0恒成立,f(x)不存在極值.
當(dāng)a>0時(shí),令f′(x)=0,得x=,當(dāng)x>時(shí),f′(x)>0,當(dāng)x<時(shí),f′(x)<0, ∴當(dāng)x=時(shí),f(x)有極小值-ln.
(3)∵f(x)在(2,+∞)上遞增,∴f′(x)=2x-≥0對x∈(2,+∞)恒成立,即a≤2x2恒成立.∴a≤8.
16.求函數(shù)f(x)=的極值.
分析 首先確定函數(shù)的定義域,然后求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用函數(shù)極值的定義求出函數(shù)的極值點(diǎn),進(jìn)而求出極值.
解析 函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)?0,+∞),
由導(dǎo)
12、數(shù)公式表和求導(dǎo)法則,得f′(x)=.
令f′(x)=0,解得x=e.
下面分兩種情況討論:
(1)當(dāng)f′(x)>0時(shí),0e.
當(dāng)x變化時(shí),f′(x)與f(x)的變化情況如下表:
x
(0,e)
e
(e,+∞)
f′(x)
+
0
-
f(x)
↘
故當(dāng)x=e時(shí)函數(shù)取得極大值,且極大值為f(e)=.
17.已知函數(shù)f(x)=3ax4-2(3a+1)x2+4x.
(1)當(dāng)a=時(shí),求f(x)的極值;
(2)若f(x)在(-1,1)上是增函數(shù),求a的取值范圍.
解析 (1)f′(x)=4(x-1)(3ax2
13、+3ax-1).
當(dāng)a=時(shí),f′(x)=2(x+2)(x-1)2,f(x)在(-∞,-2)內(nèi)單調(diào)減,在(-2,+∞)內(nèi)單調(diào)增,在x=-2時(shí),f(x)有極小值.
所以f(-2)=-12是f(x)的極小值.
(2)在(-1,1)上,f(x)單調(diào)增加,當(dāng)且僅當(dāng)f′(x)=4(x-1)(3ax2+3ax-1)≥0,即3ax2+3ax-1≤0,①
(ⅰ)當(dāng)a=0時(shí)①恒成立;
(ⅱ)當(dāng)a>0時(shí)①成立,當(dāng)且僅當(dāng)3a12+3a1-1≤0.
解得a≤.
(ⅲ)當(dāng)a<0時(shí)①成立,即3a(x+)2--1≤0成立,當(dāng)且僅當(dāng)--1≤0.解得a≥-.
綜上,a的取值范圍是[-,].
?重點(diǎn)班選做
14、題
18.已知函數(shù)f(x)=x3-x2+(a+1)x+1,其中a為實(shí)數(shù).
(1)已知函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
(2)已知不等式f′(x)>x2-x-a+1對任意a∈(0,+∞)都成立,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
解析 (1)f′(x)=ax2-3x+a+1,
由于函數(shù)f(x)在x=1時(shí)取得極值,所以f′(1)=0,即a-3+a+1=0,∴a=1.
(2)方法一 由題設(shè)知:ax2-3x+a+1>x2-x-a+1對任意a∈(0,+∞)都成立,
即a(x2+2)-x2-2x>0對任意a∈(0,+∞)都成立.
設(shè)g(a)=a(x2+2)-x2-2x(a∈R),則對任意x∈R
15、,g(a)為單調(diào)遞增函數(shù)(a∈R).
所以對任意a∈(0,+∞),g(a)>0恒成立的充分必要條件是g(0)≥0,即-x2-2x≥0,∴-2≤x≤0.
于是x的取值范圍是{x|-2≤x≤0}.
方法二 由題設(shè)知:ax2-3x+a+1>x2-x-a+1對任意a∈(0,+∞)都成立,
即a(x2+2)-x2-2x>0對任意a∈(0,+∞)都成立.
于是a>對任意a∈(0,+∞)都成立,即≤0.所以-2≤x≤0.
所以x的取值范圍是{x|-2≤x≤0}.
1.已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù),下列命題中,正確的是( )
A.導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)一定是極值點(diǎn)
B.如果在點(diǎn)x0附近
16、的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,那么f(x0)是極小值
C.如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,那么f(x0)是極大值
D.如果在點(diǎn)x0附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0,那么f(x0)是極大值
答案 C
2.根據(jù)圖像指出下列函數(shù)的極值點(diǎn).
①y=x+(x≠0);
②y=|lg|x-1||.
答案?、?2,4)極小值點(diǎn),(-2,-4)極大值點(diǎn).
②(0,0),(2,0)極小值點(diǎn).
3.求函數(shù)y=的極值.
解析 ∵函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,1)∪(1,+∞),且y′=,令y′=0,得x1=-1,x2=2.
∴當(dāng)x變化時(shí),y′,y的變化情況如下表:
x
(-∞,-1)
-1
(-1,1)
(1,2)
2
(2,+∞)
y′
+
0
-
+
0
+
y
極大值
↘
非極值
故當(dāng)x=-1時(shí),y有極大值,為-.
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