2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 選修4系列 課時規(guī)范練54 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 文 北師大版.doc

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課時規(guī)范練54　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 基礎(chǔ)鞏固組 1.已知曲線C:x24+y29=1,直線l:x=2+t,y=2-2t(t為參數(shù)). (1)寫出曲線C的參數(shù)方程,直線l的普通方程; (2)過曲線C上任意一點P作與l夾角為30的直線,交l于點A,求|PA|的最大值與最小值. 2.(2019屆廣東珠海9月摸底,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l過定點P(1,-3)且與直線OP垂直.以坐標(biāo)原點O為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ-2cos θ=0. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的參數(shù)方程; (2)設(shè)直線l與曲線C交于A、B兩點,求1|PA|+1|PB|的值. 3.(2018河南一模,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,已知直線l1:x=tcosα,y=tsinα(t為參數(shù)),l2:x=tcos(α+π4),y=tsin(α+π4)(t為參數(shù)),其中α∈0,3π4,以原點O為極點,x軸非負(fù)半軸為極軸,取相同長度單位建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ-4cos θ=0. (1)寫出l1,l2的極坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)l1,l2分別與曲線C交于點A,B非坐標(biāo)原點,求|AB|的值. 4.(2018江西師大附中三模,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:x=1+2cosθ,y=2sinθ(θ為參數(shù)),在以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線l:ρsin(α-θ)=2sin α.其中α為直線l的傾斜角(α≠0) (1)求曲線C1的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程; (2)直線l與x軸的交點為M,與曲線C1的交點分別為A,B,求|MA||MB|的值. 5.(2018湖北5月沖刺,22)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l經(jīng)過點P(3,0),傾斜角為π3,以坐標(biāo)原點O為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2sin θ. (1)求直線l的參數(shù)方程; (2)若A點在直線l上,B點在曲線C上,求|AB|的最小值. 6.(2018河南鄭州摸底)以平面直角坐標(biāo)系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知點P的直角坐標(biāo)為(1,-5),點M的極坐標(biāo)為4,π2,若直線l過點P,且傾斜角為π3,圓C以M為圓心,4為半徑. (1)求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程; (2)試判定直線l圓C的位置關(guān)系. 綜合提升組 7.(2018廣西欽州第三次質(zhì)檢,22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l經(jīng)過點P(-3,0),其傾斜角為α,以原點O為極點,以x軸非負(fù)半軸為極軸,與坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位,建立極坐標(biāo)系,設(shè)曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρcos θ-3=0. (1)若直線l與曲線C有公共點,求傾斜角α的取值范圍; (2)設(shè)M(x,y)為曲線C上任意一點,求x+y的取值范圍. 8.(2018重慶西南大學(xué)附中模擬)已知平面直角坐標(biāo)系xOy中,過點P(-1,-2)的直線l的參數(shù)方程為x=-1+t,y=-2+t(t為參數(shù)),l與y軸交于點A,以該直角坐標(biāo)系的原點O為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ=mcos θ(m>0),直線l與曲線C交于M、N兩點. (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程和點A的一個極坐標(biāo); (2)若PN=3PM,求實數(shù)m的值. 創(chuàng)新應(yīng)用組 9.(2018河北衡水中學(xué)押題一)已知直線l的參數(shù)方程為x=4+22t,y=22t(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=4cos θ,直線l與圓C交于A,B兩點. (1)求圓C的直角坐標(biāo)方程及弦AB的長; (2)動點P在圓C上(不與A,B重合),試求△ABP的面積的最大值. 10.(2018湖南長沙模擬二)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的方程是x=22,曲線C的參數(shù)方程為x=2cosα,y=2+2sinα(α為參數(shù)),以O(shè)為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系. (1)求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程; (2)射線OM:θ=β其中0<β≤5π12與曲線C交于O,P兩點,與直線l交于點M,求|OP||OM|的取值范圍.  課時規(guī)范練54　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 1.解 (1)曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθ,y=3sinθ(θ為參數(shù)).直線l的普通方程為2x+y-6=0. (2)曲線C上任意一點P(2cos θ,3sin θ)到直線l的距離為d=55|4cos θ+3sin θ-6|, 則|PA|=dsin30 =255|5sin(θ+α)-6|,其中α為銳角,且tan α=43. 當(dāng)sin(θ+α)=-1時,|PA|取得最大值,最大值為2255. 當(dāng)sin(θ+α)=1時,|PA|取得最小值,最小值為255. 2.解 (1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為y2=2x, 直線l的參數(shù)方程為 x=1+32t,y=-3+12t(t為參數(shù)). (2)設(shè)點A、B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2, 將直線l與曲線C的方程聯(lián)立得t2-83t+4=0,(*) 可知t1,t2是(*)式的兩根, 則t1+t2=83,t1t2=4, 故t1、t2同正. 1|PA|+1|PB|=1t1+1t2=t1+t2t1t2=834=23. 3.解 (1)l1,l2的極坐標(biāo)方程為θ1=α(ρ∈R),θ2=α+ (ρ∈R). 曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ-4cos θ=0,即為ρ2-4ρcos θ=0, 利用ρ2=x2+y2,x=ρcos θ, 得曲線C的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4. (2)因為ρ1=4cos α,ρ2=4cosα+π4, 所以|AB|2=ρ12+ρ22-2ρ1ρ2cosπ4=16cos2α+cos2α+π4-2cos αcosα+π4 =16cos2 α+12(cos α-sin α)2-cos α(cos α-sin α)=8, 所以|AB|的值為22. 4.解 (1)曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=4, 直線l的直角坐標(biāo)方程為xsin α-ycos α=2sin α. (2)直線l與x軸的交點為M(2,0),直線l的參數(shù)方程可設(shè)為x=2+tcosα,y=tsinα,(t為參數(shù)),將直線l的參數(shù)方程代入圓C1的方程(x-1)2+y2=4, 得t2+2tcos α-3=0, 故|MA||MB|=|t1t2|=3. 5.解 (1)直線l的參數(shù)方程為 x=3+tcos π3,y=tsinπ3(t為參數(shù)), 即x=3+12t,y=32t(t為參數(shù)). (2)由x=3+12t,y=32t, 得3x-y-3=0. 由ρ=2sin θ 得ρ2=2ρsin θ,即x2+y2-2y=0, 即x2+(y-1)2=1. 所以曲線C是以點Q(0,1)為圓心,1為半徑的圓. 又點Q到直線l:3x-y-3=0的距離為d=|30-1-3|2=2. 故|AB|的最小值為2-1=1. 6.解 (1)直線l的參數(shù)方程為x=1+tcos π3,y=-5+tsinπ3(t為參數(shù)), 則x=1+12t,y=-5+32t(t為參數(shù)),M點的直角坐標(biāo)為(0,4), 圓C的方程為x2+(y-4)2=16,且x=ρcosθ,y=ρsinθ, 代入得圓C極坐標(biāo)方程為ρ=8sin θ. (2)直線l的普通方程為3x-y-5-3=0, 圓心M到直線l的距離為d=|-4-5-3|2=9+32>4, ∴直線l與圓C相離. 7.解 (1)將曲線C的極坐標(biāo)方程ρ2-2ρcos θ-3=0化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x-3=0,直線l的參數(shù)方程為x=-3+tcosα,y=tsinα(t為參數(shù)), 將參數(shù)方程代入x2+y2-2x-3=0,整理得t2-8tcos α+12=0. ∵直線l與曲線C有公共點, ∴Δ=64cos2α-48≥0, ∴cos α≥32,或cos α≤-32. ∵α∈[0,π), ∴α的取值范圍是0,π6∪5π6,π. (2)曲線C的方程x2+y2-2x-3=0可化為(x-1)2+y2=4, 其參數(shù)方程為x=1+2cosθ,y=2sinθ,(θ為參數(shù)), ∵M(jìn)(x,y)為曲線上任意一點, ∴x+y=1+2cos θ+2sin θ=1+22sinθ+π4, ∴x+y的取值范圍是[1-22,1+22 ]. 8.解 (1)∵ρsin2θ=mcos θ,∴ρ2sin2θ=mρcos θ, ∴y2=mx(m>0), A點坐標(biāo)為(0,1), 其一個極坐標(biāo)為A1,32π. (2)將x=-1+t,y=-2+t,代入y2=mx,得t2-(4+m)t+m+4=0. ∵PN=3PM,∴t1=3t2. ∴t1=3t2,t1+t2=m+4,t1t2=m+4,∴m=43. 9.解 (1)由ρ=4cosθ得ρ2=4ρcos θ, 所以x2+y2-4x=0,所以圓C的直角坐標(biāo)方程為(x-2)2+y2=4. 將直線l的參數(shù)方程代入圓C:(x-2)2+y2=4,并整理得t2+22t=0, 解得t1=0,t2=-22. 所以直線l被圓C截得的弦長為|t1-t2|=22. (2)直線l的普通方程為x-y-4=0. 圓C的參數(shù)方程為 x=2+2cosθ,y=2sinθ(θ為參數(shù)), 可設(shè)圓C上的動點P(2+2cos θ,2sin θ), 則點P到直線l的距離d=|2+2cosθ-2sinθ-4|2=2cosθ+π4-2. 當(dāng)cosθ+π4=-1時,d取最大值,且d的最大值為2+2. 所以S△ABP≤1222(2+2)=2+22. 即△ABP的面積的最大值為2+22. 10.解 (1)∵x=ρcosθ,y=ρsinθ, ∴直線l的極坐標(biāo)方程是ρcos θ=22, 由x=2cosα,y=2+2sinα,消參數(shù)得x2+(y-2)2=4, ∴曲線C的極坐標(biāo)方程是 ρ=4sin θ. (2)將θ=β分別代入ρ=4sin θ,ρcos θ=22,得|OP|=4sin β,|OM|=22cosβ, ∴|OP||OM|=22sin 2β. ∵0<β≤5π12,∴0<2β≤5π6, ∴0<22sin 2β≤22, ∴|OP||OM|的取值范圍是0,22.