（通用版）2019版高考數學二輪復習 第一部分 專題八 空間幾何體的三視圖、表面積與體積講義 理（重點生含解析）.doc
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專題八 空間幾何體的三視圖、表面積與體積 卷Ⅰ 卷Ⅱ 卷Ⅲ 2018 空間幾何體的三視圖、直觀圖及最短路徑問題T7 圓錐的性質及側面積的計算T16 三視圖與數學文化T3 與外接球有關的空間幾何體體積的最值問題T10 2017 空間幾何體的三視圖與直觀圖、面積的計算T7 空間幾何體的三視圖及組合體體積的計算T4 球的內接圓柱、圓柱的體積的計算T8 三棱錐的體積、導數的應用T16 2016 有關球的三視圖及表面積的計算T6 空間幾何體的三視圖及組合體表面積的計算T6 空間幾何體的三視圖及表面積的計算T9 與直三棱柱有關的內切球體積的最值問題T10 縱向把握趨勢 卷Ⅰ3年4考，涉及空間幾何體的三視圖識別以及以三視圖為載體考查空間幾何體的表面積及側面展開圖問題，題型既有選擇題，也有填空題，難度適中．預計2019年會以三視圖為載體考查空間幾何體的體積或表面積的計算問題 卷Ⅱ3年3考，涉及空間幾何體的三視圖、空間幾何體的表面積和體積的計算，題型為選擇題或填空題，難度適中．預計2019年仍會以選擇題或填空題的形式考查空間幾何體的表面積、體積的計算 卷Ⅲ3年5考，涉及數學文化、三視圖、幾何體的外接球、空間幾何體的表面積與體積的計算，難度中等偏上，題型均為選擇題．預計2019年高考仍會以選擇題的形式考查，以空間幾何體與球的切、接問題相結合為主考查 橫向把握重點 1.此部分內容一般會以兩小或一小的命題形式出現，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖、幾何體的表面積與體積的計算． 2.考查一個小題時，本小題一般會出現在第4～8題的位置上，難度一般；考查兩個小題時，其中一個小題難度一般，另一小題難度稍高，一般會出現在第10～16題的位置上，本小題雖然難度稍高，主要體現在計算量上，但仍是對基礎知識、基本公式的考查. 空間幾何體的三視圖 [題組全練] 1．(2018全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構件連接起來．構件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是( ) 解析：選A 由題意可知帶卯眼的木構件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應選A. 2．(2019屆高三西安模擬)把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱錐CABD的正視圖與俯視圖如圖所示，則側視圖的面積為( ) A. B. C. D. 解析：選D 由三棱錐CABD的正視圖、俯視圖得三棱錐CABD的側視圖為直角邊長是的等腰直角三角形，所以三棱錐CABD的側視圖的面積為. 3.(2018全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為( ) A．2 B．2 C．3 D．2 解析：選B 先畫出圓柱的直觀圖，根據題圖的三視圖可知點M，N的位置如圖①所示． 圓柱的側面展開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點)如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．ON＝16＝4，OM＝2， ∴MN＝＝ ＝2. 4．(2018石家莊質檢)如圖，網格紙上的小正方形的邊長為1，粗線表示的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的四個面中，最小面的面積是( ) A．2 B．2 C．2 D. 解析：選C 在正方體中還原該幾何體，如圖中三棱錐DABC所示，其中正方體的棱長為2，則S△ABC＝2，S△DBC＝2，S△ADB＝2，S△ADC＝2，故該三棱錐的四個面中，最小面的面積是2. [系統方法] 1．確定幾何體的三視圖的方法 判斷幾何體的三視圖的基礎是熟練掌握幾何體的結構特征，其中三視圖的畫法是確定三視圖的重要依據． (1)基本要求：長對正，高平齊，寬相等． (2)畫法規(guī)則：正側一樣高，正俯一樣長，側俯一樣寬． (3)看不到的線畫虛線． 2．由三視圖確定幾何體的方法 熟練掌握規(guī)則幾何體的三視圖是由三視圖還原幾何體的基礎，在明確三視圖畫法規(guī)則的基礎上，按以下步驟可輕松解決此類問題： (1)定底面：根據俯視圖確定． (2)定棱及側面：根據正視圖確定幾何體的側棱與側面的特征，調整實線、虛線對應棱的位置． (3)定形狀：確定幾何體的形狀. 空間幾何體的表面積與體積 [由題知法] (1)(2018合肥質檢)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為( ) A．5π＋18 B．6π＋18 C．8π＋6 D．10π＋6 (2)(2018洛陽統考)一個幾何體的三視圖如圖所示，圖中的三個正方形的邊長均為2，則該幾何體的體積為( ) A．8－ B．4－ C．8－ D．4－ (3)(2018天津高考)已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F，G，H，M(如圖)，則四棱錐MEFGH的體積為________． [解析] (1)由三視圖可知該幾何體是由一個半圓柱和兩個半球構成的，故該幾何體的表面積為24π12＋2π12＋23＋2π13＝8π＋6. (2)由三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體是一個棱長為2的正方體上、下各挖去一個底面半徑為1，高為1的圓錐后剩余的部分，其體積為23－2π121＝8－. (3)連接AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因為E，H分別為AD1，CD1的中點，所以EH∥AC，EH＝ AC，因為F，G分別為B1A，B1C的中點，所以FG∥AC，FG＝AC，所以EH∥FG，EH＝FG，所以四邊形EHGF為平行四邊形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四邊形EHGF為正方形，又點M到平面EHGF的距離為，所以四棱錐MEFGH的體積為2＝. [答案] (1)C (2)A (3) [類題通法] 1．三類幾何體表面積的求法 求多面體的表面積 只需將它們沿著棱“剪開”并展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積 求旋轉體的表面積 可以從旋轉體的形成過程及其結構特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長與對應側面展開圖中的邊長關系 求不規(guī)則幾何體的表面積 通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積 2．求體積的3種常用方法 直接法 對于規(guī)則的幾何體，利用相關公式直接計算 割補法 首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，把不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算 等體積法 選擇合適的底面來求幾何體的體積，常用于求三棱錐的體積，即三棱錐的任意一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換 [應用通關] 1．(2018長春質檢)《九章算術》卷五商功中有如下問題：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何？芻甍：底面為矩形的屋脊狀的幾何體(網格紙中粗線部分為其三視圖，設網格紙上每個小正方形的邊長為1)，那么該芻甍的體積為( ) A．4 B．5 C．6 D．12 解析：選B 如圖，由三視圖可還原得幾何體ABCDEF，過E，F分別作垂直于底面的截面EGH和FMN，將原幾何體拆分成兩個底面積為3，高為1的四棱錐和一個底面積為，高為2的三棱柱，所以VABCDEF＝2V四棱錐EADHG＋V三棱柱EHGFNM＝231＋2＝5. 2．某圓錐的側面展開圖是面積為3π且圓心角為的扇形，此圓錐的體積為( ) A．π B. C．2π D．2π 解析：選B 設圓錐的母線為R，底面圓的半徑為r，扇形的圓心角為α，則S＝αR2＝R2＝3π，解得R＝3，底面圓的半徑r滿足＝，解得r＝1，所以這個圓錐的高h＝＝2，故圓錐的體積V＝πr2h＝，故選 B. 3．(2018福州模擬)如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為( ) A．14 B．10＋4 C.＋4 D.＋4 解析：選D 法一：由三視圖可知，該幾何體為一個直三棱柱切去一個小三棱錐后剩余的幾何體，如圖所示．所以該多面體的表面積S＝2＋(22－12)＋22＋22＋()2＝＋4. 法二：由三視圖可知，該幾何體為一個直三棱柱切去一個小三棱錐后剩余的幾何體，如圖所示．所以該多面體的表面積S＝S三棱柱表－S三棱錐側＋S三棱錐底＝(2＋2＋2)2＋222－3＋()2＝＋4. 重難增分(一) 多面體與球的切接問題 [考法全析] 一、曾經這樣考 1．[三棱錐的外接球](2017全國卷Ⅰ)已知三棱錐S ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱錐S ABC的體積為9，則球O的表面積為________． 解析：如圖，連接AO，OB， ∵SC為球O的直徑， ∴點O為SC的中點， ∵SA＝AC，SB＝BC， ∴AO⊥SC，BO⊥SC， ∵平面SCA⊥平面SCB， 平面SCA∩平面SCB＝SC， ∴AO⊥平面SCB， 設球O的半徑為R， 則OA＝OB＝R，SC＝2R. ∴VS ABC＝VASBC＝S△SBCAO ＝AO， 即9＝R，解得 R＝3， ∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π32＝36π. 答案：36π [啟思維] 本題考查了三棱錐的外接球問題．一般外接球需要求球心和半徑，其步驟為：(1)應確定球心的位置，借助于外接球的性質，球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的各頂點的距離相等，然后用同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線(這兩個多邊形需有公共點)，這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心；(2)根據半徑、頂點到底面中心的距離、球心到底面中心的距離，構成勾股定理求解，有時也可利用補體法得到半徑(例三條側棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球)． 二、還可能這樣考 2．[圓錐的外接球]已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積等于( ) A.π B.π C．16π D．32π 解析：選B 設該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π23＝π. [啟思維] 本題考查了圓錐的外接球問題，解決本題的關鍵是根據圓錐及球的結構特點確定球心一定在圓錐的高上，然后建立相關關系式求出球半徑． 3．[四棱柱的外接球]已知正四棱柱的頂點在同一個球面上，且球的表面積為12π，當正四棱柱的體積最大時，正四棱柱的高為________． 解析：設正四棱柱的底面邊長為a，高為h，球的半徑為r，由題意知4πr2＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－，所以正四棱柱的體積V＝a2h＝h，則V′＝6－h(huán)2，由V′＞0，得0＜h＜2，由V′＜0，得h＞2，所以當h＝2時，正四棱柱的體積最大. 答案：2 [啟思維] 本題考查了球與正四棱柱的綜合問題．求解直棱柱的外接球問題時，結合球與直棱柱的有關性質，可知棱柱上、下底面外接圓的圓心連線的中心即為外接球的球心． 4．[四棱錐的內切球問題]已知四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一個半徑為1的球與此四棱錐的所有面都相切，則該四棱錐的高是( ) A．6 B．5 C. D. 解析：選D 由題意，四棱錐PABCD是正四棱錐，球的球心O在四棱錐的高PH上，過正四棱錐的高作組合體的軸截面如圖所示．其中PE，PF是斜高，A為球面與側面的切點，設PH＝h，由幾何體可知Rt△PAO∽Rt△PHF，則＝，∴＝，解得h＝. [啟思維] 球與多面體的“切”的問題，關鍵突破口是作出過它們的切點的軸截面，將空間問題轉化為平面問題解決．在計算過程中要抓住球的半徑這個主要元素，再利用平面幾何、三角函數知識求解． [增分集訓] 1．(2015全國卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90，C為該球面上的動點．若三棱錐O ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( ) A．36π B．64π C．144π D．256π 解析：選C 如圖，設球的半徑為R，∵∠AOB＝90，∴S△AOB＝R2. ∵VOABC＝VC AOB，而△AOB面積為定值， ∴當點C到平面AOB的距離最大時，VOABC最大， ∴當C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點時，體積VOABC最大，為R2R＝36， ∴R＝6，∴球O的表面積為4πR2＝4π62＝144π. 2．在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的三棱錐稱為鱉臑．若三棱錐PABC為鱉臑，側棱PA⊥底面ABC，AC⊥BC，且PA＝2，AC＝3，BC＝4，則該鱉臑的內切球的半徑為________． 解析：設內切球的半徑為r，由鱉臑的性質可知，PC⊥CB，PC＝，AB＝5，BP＝，所以S△ABC＝6，S△PAB＝5，S△PBC＝2，S△PCA＝3，VPABC＝S△ABCPA＝4，∵VPABC＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PBC＋S△PCA)r，故該鱉臑的內切球半徑r＝＝. 答案： 3．(2018貴陽模擬)如圖，正方形網格的邊長為1，粗線表示的是某幾何體的三視圖，該幾何體的頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________． 解析：根據三視圖可知該幾何體為一個三棱錐，記為SABC，將該三棱錐放入長方體中如圖所示，則該三棱錐的外接球直徑為長方體的體對角線，設球O的半徑為R， 所以(2R)2＝22＋22＋32＝17， R2＝，所以球O的表面積為 4πR2＝17π. 答案：17π 4．(2018益陽、湘潭調研)已知三棱錐SABC的頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為3的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝4，則此三棱錐的體積為 ________________________________________________________________________． 解析：根據題意作出圖形． 設球心為O，過A，B，C三點的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC， 延長CO1交球于點D，連接SD，則SD⊥平面ABC. ∴SD∥OO1，又O為SC的中點， ∴SD＝2OO1. ∵CO1＝＝， ∴OO1＝＝1， ∴高SD＝2OO1＝2， ∵△ABC是邊長為3的正三角形，∴S△ABC＝， ∴V三棱錐SABC＝2＝. 答案： 重難增分(二) 立體幾何中的最值問題 [考法全析] 一、曾經這樣考 1．[三棱錐的體積最值問題] (2017全國卷Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑 為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)的最大值為________． 解析：由題意知折疊以后三棱錐的直觀圖如圖所示． 連接CO并延長交AB于H，連接DO，DH. 則DO⊥平面ABC. 令OH＝x，則OC＝2x， DH＝5－x， 得OD＝ ＝ ，AB＝2x. 則VDABC＝ ＝x2＝. 令f (x)＝25x4－10x5，x∈， 則f ′(x)＝100x3－50x4， 由f ′(x)>0，得0
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