2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴展 專題21 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).doc
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專題21 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【熱點聚焦與擴展】 近幾年高考在對三角恒等變換考查的同時,對三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的考查力度有所加強,往往將三角恒等變換與圖象和性質(zhì)結(jié)合考查.其中三角函數(shù)的定義域值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性以及圖象變換是主要考查對象,難度仍然以中低檔為主,重在對基礎(chǔ)知識的考查,淡化特殊技巧,強調(diào)通解通法,其中對函數(shù) 的圖象要求會用五點作圖法作出,并理解它的性質(zhì): (1)函數(shù)圖象在其對稱軸處取得最大值或最小值,且相鄰的最大值與最小值間的距離為其函數(shù)的半個周期; (2)函數(shù)圖象與x軸的交點是其對稱中心,相鄰兩對稱中心間的距離也是其函數(shù)的半個周期;.zk5u./(3)函數(shù)取最值的點與相鄰的與x軸的交點間的距離為其函數(shù)的個周期. 1、正弦函數(shù)的性質(zhì) (1)定義域: (2)值域: (3)周期: (4)對稱軸(最值點): (5)對稱中心(零點):,其中是對稱中心,故也是奇函數(shù) (6)單調(diào)增區(qū)間: 單調(diào)減區(qū)間: 2、余弦函數(shù)的性質(zhì) (1)定義域: (2)值域: (3)周期: (4)對稱軸(最值點):其中是對稱軸,故也是偶函數(shù) (5)對稱中心(零點): (6)單調(diào)增區(qū)間: ,單調(diào)減區(qū)間: 3、正切函數(shù)的性質(zhì) (1)定義域: (2)值域: (3)周期: (4)對稱中心: (5)零點: (6)單調(diào)增區(qū)間: 注:正切函數(shù)的對稱中心由兩部分構(gòu)成,一部分是零點,一部分是定義域取不到的的值 4、的性質(zhì):與正弦函數(shù)相比,其圖像可以看做是由圖像變換得到(軸上方圖像不變,下方圖像沿軸向上翻折),其性質(zhì)可根據(jù)圖像得到: (1)定義域: (2)值域: (3)周期: (4)對稱軸: (5)零點: (6)單調(diào)增區(qū)間:,單調(diào)減區(qū)間: 5、的性質(zhì):此類函數(shù)可視為正弦函數(shù)通過坐標(biāo)變換所得,通常此類函數(shù)的性質(zhì)要通過計算所得。所涉及的性質(zhì)及計算方法如下: (1)定義域: (2)值域: (3)周期: (4)對稱軸(最值點),對稱中心(零點),單調(diào)區(qū)間需通過換元計算所求。通常設(shè),其中,則函數(shù)變?yōu)?,在求以上性質(zhì)時,先利用正弦函數(shù)性質(zhì)與圖像寫出所滿足的條件,然后將還原為再解出的值(或范圍)即可 注:1、余弦函數(shù)也可看做的形式,即,所以其性質(zhì)可通過計算得到。 2、對于某些解析式的性質(zhì)(如對稱軸,單調(diào)區(qū)間等)可根據(jù)解析式的特點先變形成為,再求其性質(zhì) 【經(jīng)典例題】 例1.【2017課標(biāo)II,文3】函數(shù)的最小正周期為( ) A. B. C. D. 【答案】C 例2.【2017課標(biāo)3,理6】設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+),則下列結(jié)論錯誤的是 A.f(x)的一個周期為?2π B.y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱 C.f(x+π)的一個零點為x= D.f(x)在(,π)單調(diào)遞減 【答案】D 【解析】 例3. 已知函數(shù)fx=sinωx+φω>0的部分圖象如圖所示,下面結(jié)論正確的個數(shù)是( ) ①函數(shù)fx的最小正周期是2π; ②函數(shù)fx在區(qū)間π12,π6上是增函數(shù); ③函數(shù)fx的圖象關(guān)于直線x=π12對稱; ④函數(shù)fx的圖象可由函數(shù)gx=sin2x的圖象向左平移π3個單位長度得到 A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】根據(jù)函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分圖象知, T2=π3?(?π6)=π2,∴T=2πω=π,ω=2; 根據(jù)五點法畫圖知,2(?π6)+φ=0,解得φ=π3; ∴f(x)=sin(2x+π3); 對于①,函數(shù)f(x)的最小正周期是T=π,①錯誤; 對于②,x∈[π12,π6]時,2x+π3∈[π2,2π3], f(x)在[π12,π6]上是減函數(shù),②錯誤; 對于③,x=π12時,2x+π3=π2, ∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=π12對稱,③正確; 對于④,由f(x)=sin(2x+π3)=sin2(x+π6)知, 函數(shù)f(x)的圖象可由函數(shù)g(x)=sin2x的圖象向左平移π6個單位長度得到,④錯誤; 綜上,正確的命題是③. 故選:C. 例4.【2017天津,文理】設(shè)函數(shù),,其中,.若,,且的最小正周期大于,則 (A), (B), (C), (D), 【答案】 例5.【2017課標(biāo)II,理14】函數(shù)()的最大值是 . 【答案】1 【解析】 【名師點睛】本題經(jīng)三角函數(shù)式的化簡將三角函數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題,二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個二次”,它們常結(jié)合在一起,有關(guān)二次函數(shù)的問題,數(shù)形結(jié)合,密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法。一般從:①開口方向;②對稱軸位置;③判別式;④端點函數(shù)值符號四個方面分析. 例6. 已知函數(shù)f(x)=3cos2x-π3-2sin xcos x. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求證:當(dāng)x∈-π4,π4時,f(x)≥-12. 【答案】(1);(2)見解析. (2)證明因為-π4≤x≤π4, 所以-π6≤2x+π3≤5π6.————-10分 所以sin2x+π3≥sin-π6=-12. 所以當(dāng)x∈-π4,π4時,f(x)≥-12.________14分 例7. 設(shè)函數(shù). ()求的最小正周期. ()當(dāng)時,求函數(shù)的最大值和最小值. 【答案】(1)的最小正周期;(2)的最大值是,最小值是. 【解析】試題分析:(1)由二倍角公式將式子化簡,再由周期的公式得到結(jié)果;(2)∵,∴, ,進而得到最值. 解析: ∴, ∴, 即, ∴當(dāng)時, 的最大值是,最小值是. 例8.【2018屆浙江省部分市學(xué)校高三上9+1聯(lián)考】設(shè)函數(shù). (1)求的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)若角滿足, , 的面積為,求的值. 【答案】(1) , ;(2) . 【解析】試題分析:(1)函數(shù)解析式利用三角恒等變換化簡,再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù),利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由及的解析式求出的值,再利用三角形面積公式及,求出,然后根據(jù)余弦定理即可求出的值. 試題解析:(1) , 令, , 得, . 又,化簡得,則 ∴. 例9.【2018屆山東省棗莊市第三中學(xué)高三一調(diào)模擬】已知向量,函數(shù). (1)求的對稱中心; (2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值,并求出相應(yīng)的值. 【答案】(1);(2)最大值為,最小值為. 【解析】試題分析:(1)由,令即可得對稱中心; (2)由,得,進而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象即可得最值. (2)由(1)得, 因為,所以, 所以時,即, 的最大值為, 當(dāng)時,即時, 的最小值為. 點睛:本題考查的知識點比較多,主要考查二倍角公式、兩角差的正弦公式及三角函數(shù)的最值,屬于中檔題.求與三角函數(shù)有關(guān)的最值常用方法有以下幾種:①化成的形式利用配方法求最值;②形如的可化為的形式利用三角函數(shù)有界性求最值;③型,可化為求最值 .本題是利用方法③的思路解答的. 例10.【2017江蘇,16】 已知向量 (1)若a∥b,求x的值; (2)記,求的最大值和最小值以及對應(yīng)的的值. 【答案】(1)(2)時,fx取得最大值,為3; 時,fx取得最小值,為. 【名師點睛】(1)向量平行:,, (2)向量垂直:, (3)向量加減乘: 【精選精練】 1.函數(shù) 的部分圖象如圖所示,則函數(shù)的一個表達式為( ) A. B. C. D. 【答案】A 點睛:本題主要考查利用的圖象特征,由函數(shù)的部分圖象求解析式,理解解析式中的意義是正確解題的關(guān)鍵,屬于中檔題. 為振幅,有其控制最大、最小值, 控制周期,即,通常通過圖象我們可得和, 稱為初象,通常解出, 之后,通過特殊點代入可得,用到最多的是最高點或最低點. 2.【2018屆河北省衡水金卷一?!恳阎瘮?shù)fx=-2cosωxω>0的圖象向左平移φ0<φ<π2個單位,所得的部分函數(shù)圖象如圖所示,則φ的值為( ) A. π6 B. 5π6 C. π12 D. 5π12 【答案】C 【解析】分析:根據(jù)圖象,利用五點法作圖的特點確定ω,φ即可. 詳解:由題知,T=211π12-5π12=π, ∴ω=2πT=2,∴fx=-2cos2x, ∴fx+φ=-2cos2x+2φ, 故選:C. 點睛:已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的圖象求解析式 (1)|A|=ymax-ymin2,B=ymax+ymin2. (2)由函數(shù)的周期T求ω,T=2πω. (3)利用“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求φ,一般用最高點或最低點求. 3.【2018屆廣東省佛山市高三檢測(二)】已知函數(shù)fx=sinωx-π4(ω>0)的圖象在區(qū)間1,2上不單調(diào),則ω的取值范圍為( ) A. 3π8,+∞ B. 3π8,3π4∪7π8,+∞ C. 3π8,7π8∪7π4,+∞ D. 3π4,+∞ 【答案】B 【解析】因為x∈(1,2)時ωx-π4∈(ω-π4,2ω-π4), 因此ω的取值范圍為(3π8,3π4)∪(7π8,7π4)∪(11π8,11π4)∪?∪(4kπ+3π8,4kπ+3π4)∪? =(3π8,3π4)∪(7π8,+∞),選B. 【點睛】函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的性質(zhì) (1)ymax=A+B,ymin=A-B. (2)周期T=2πω. (3)由 ωx+φ=π2+kπ(k∈Z)求對稱軸 (4)由-π2+2kπ≤ωx+φ≤π2+2kπ(k∈Z)求增區(qū)間; 由π2+2kπ≤ωx+φ≤3π2+2kπ(k∈Z)求減區(qū)間 4.【2018屆齊魯名校教科研協(xié)作體 山東、湖北部分重點中學(xué)高考模擬(三)】已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2) f(x1)=2,f(x2)=0,若|x1-x2|的最小值為12,且f(12)=1,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為( ) A. -16+2k,56+2k,k∈Z B. -56+2k,16+2k,k∈Z. C. -56+2kπ,16+2kπ,k∈Z D. 16+2k,76+2k,k∈Z 【答案】B 【解析】分析:易知|x1-x2|的最小值為T4,從而得ω,再將f(12)=1代入求解的φ=π3,令-π2+2kπ≤πx+π3≤π2+2kπ,k∈Z,即可得解. 詳解:由f(x1)=2,f(x2)=0,且|x1-x2|的最小值為12, 可知:T4=12,∴T=2?ω=π, 又f(12)=1,則φ=π3+2kπ,k∈Z, 點睛:研究三角函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的性質(zhì),最小正周期為2π|ω|,最大值為|A|. 求對稱軸只需令ωx+φ=π2+2kπ,k∈Z,求解即可, 求對稱中心只需令ωx+φ=kπ,k∈Z,單調(diào)性均為利用整體換元思想求解. 5.【2018屆內(nèi)蒙古鄂倫春自治旗高三下學(xué)期二模】函數(shù)fx=1-3sin2x+π6的值域為__________. 【答案】-2,4 【解析】∵-1≤sin(2x+π6)≤1 ∴-3≤-3sin(2x+π6)≤3 ∴-2≤1-3sin(2x+π6)≤4 ∴函數(shù)fx=1-3sin2x+π6的值域為-2,4. 6.【2018屆四川省雅安市高三下學(xué)期三診】函數(shù)f(x)=3sin(2x+π3)的圖象在區(qū)間(0,π2)上的對稱軸方程為__________. 【答案】x=π12 7.【2018屆浙江省杭州市高三第二次檢測】已知函數(shù)fx=sinx+7π4+cos(x-3π4) (Ⅰ)求f(x)的最小正周期和最大值; (Ⅱ)求函數(shù)y=f(-x)的單調(diào)減區(qū)間 【答案】(Ⅰ)最小正周期是2π,最大值是2.(Ⅱ)(54π+2kπ,94π+2kπ)(k∈z) 【解析】試題分析:1利用兩角和與差的余弦公式,二倍角的三角函數(shù)公式和輔助角公式化簡,即可得到f(x)的最小正周期和最大值2先求出f(-x)=2sin(x-34π),再求單調(diào)區(qū)間 解析:(Ⅰ)因為sin(x+74π)=cos(x-34π), 所以f(x)=2sin(x+74π)=-2sin(x+34π). 所以函f(x)的最小正周期是2π,最大值是2. (Ⅱ)因為f(-x)=2sin(x-34π), 所以單調(diào)遞減區(qū)間為(54π+2kπ,94π+2kπ)(k∈z) 8.【浙江省臺州中學(xué)2018屆第三次統(tǒng)練】已知向量, ,記. (1) 若 ,求的值; (2) 在銳角 中,角 的對邊分別是 且滿足 ,求 的取值范圍. 【答案】(1);(2) . 點評:1.本題考查解三角形,利用正弦定理進行邊角互化,繼而求出的值;高考中經(jīng)常將三角變換與解三角形知識綜合起來命題,其中關(guān)鍵是三角變換,而三角變換中主要是“變角、變函數(shù)名和變運算形式”,其中的核心是 “變角”,即注意角之間的結(jié)構(gòu)差異,彌補這種結(jié)構(gòu)差異的依據(jù)就是三角公式. 9.【2018屆四川省雅安市高三下學(xué)期三診】已知函數(shù)fx=2cos2x+sin7π6-2x-1 x∈R. (1)求函數(shù)fx的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間; (2)在ΔABC中,三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知fA=12,若b+c=2a,且AB?AC=6,求a的值. 【答案】(1)最小正周期:T=π,單調(diào)遞增區(qū)間為:[kπ-π3,kπ+π6](k∈Z);(2)a=23. 【解析】試題分析:(1)根據(jù)三角恒等變換可得f(x)=sin(2x+π6),從而可得函數(shù)fx的最小正周期,再根據(jù)2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z)可解得單調(diào)增區(qū)間;(2)由fA=12,可得A的值,再根據(jù)b+c=2a及AB?AC=6,即可解得bc,結(jié)合余弦定理,即可求得a的值. 試題解析:(1)f(x)=sin(7π6-2x)-2sin2x+1=-12cos2x+32sin2x+cos2x=12cos2x+32sin2x =sin(2x+π6). ∴最小正周期:T=2π2=π, ∴A=π3 又∵2a=b+c, ∵AB?AC=bccosA=12bc=6 ∴bc=12, ∴cosA=12=(b+c)2-a22bc-1=4a2-a224-1=a28-1 ∴a=23. 10.【2018屆北京市京源學(xué)校高三十月月考】 已知函數(shù), . (Ⅰ)求函數(shù)的最大正周期與單調(diào)增區(qū)間值; (Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值. 【答案】(Ⅰ)最小正周期是: ,;(Ⅱ)最小值為0,最大值為1. 【解析】試題分析:(Ⅰ)利用降冪公式及兩角和的正弦公式可將函數(shù)化為 ,故而可得周期,解不等式可得單調(diào)增區(qū)間;(Ⅱ)根據(jù)的范圍,計算出的范圍,結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得其最值. 試題解析:(Ⅰ) 所以,即, 所以, 當(dāng)且僅當(dāng)時, 取最小值, , 當(dāng)且僅當(dāng)時,即時取最大值, . 11.【2017浙江,18】已知函數(shù)f(x)=sin2x–cos2x– sin x cos x(xR). (Ⅰ)求的值. (Ⅱ)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間. 【答案】(Ⅰ)2;(Ⅱ)最小正周期為,單調(diào)遞增區(qū)間為. 【解析】 (Ⅱ)由與得 【名師點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡,以及函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題,強調(diào)基礎(chǔ)的重要性,是高考中的??贾R點;對于三角函數(shù)解答題中,當(dāng)涉及到周期,單調(diào)性,單調(diào)區(qū)間以及最值等都屬于三角函數(shù)的性質(zhì),首先都應(yīng)把它化為三角函數(shù)的基本形式即,然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解. 12.【2018屆廣西陸川縣中學(xué)高三12月月考】已知函數(shù). (Ⅰ)求函數(shù)在的單調(diào)遞減區(qū)間; (Ⅱ)在銳角中,內(nèi)角, , ,的對邊分別為, , ,已知, , ,求的面積. 【答案】(1)和;(2). 試題解析: (Ⅰ)由已知得 . , 又 函數(shù)在的單調(diào)遞減區(qū)間為和. (Ⅱ)由(1)知 銳角, 又 ,即. 又 .- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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