7、必須滿足的條件的是C 。
A. Hk之間有簡單的迭代形式
B.擬牛頓條件
C.與海塞矩陣正交
D.對(duì)稱正定
7、函數(shù)在某點(diǎn)的梯度方向?yàn)楹瘮?shù)在該點(diǎn)的A。
A、最速上升方向
B、上升方向
C、最速下降方向
D、下降方向
8、下面四種無約束優(yōu)化方法中，D在構(gòu)成搜索方向時(shí)沒有使用到目標(biāo)函數(shù)的一階或二階導(dǎo)數(shù)。
A 梯度法
B 牛頓法
C 變尺度法
D 坐標(biāo)輪換法
9、設(shè)為定義在凸集R上且具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，則在R上為凸函數(shù)的充分必要條件是海塞矩陣G(X)在R上處處B。
A 正定
8、
B 半正定
C 負(fù)定
D 半負(fù)定
10、下列關(guān)于最常用的一維搜索試探方法——黃金分割法的敘述，錯(cuò)誤的是D，假設(shè)要求在區(qū)間[a，b]插入兩點(diǎn)α1、α2，且α1<α2。
A、其縮短率為0.618
B、α1=b-λ（b-a）
C、α1=a+λ（b-a）
D、在該方法中縮短搜索區(qū)間采用的是外推法。
11、與梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值A(chǔ)方向，與負(fù)梯度成銳角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 B
方向，與梯度成直角的方向?yàn)楹瘮?shù)值 C方向。
A、上升
B、下降
C、不變
D、為零
12、二維目標(biāo)函數(shù)的無約束極小點(diǎn)就是 B。
A、等值線族的一個(gè)共同中
9、心
B、梯度為0的點(diǎn)
C、全局最優(yōu)解
D、海塞矩陣正定的點(diǎn)
13、最速下降法相鄰兩搜索方向dk和dk+1必為 B 向量。
A 相切
B 正交
C 成銳角
D 共軛
14、下列關(guān)于內(nèi)點(diǎn)懲罰函數(shù)法的敘述，錯(cuò)誤的是A。
A 可用來求解含不等式約束和等式約束的最優(yōu)化問題。
B 懲罰因子是不斷遞減的正值
C初始點(diǎn)應(yīng)選擇一個(gè)離約束邊界較遠(yuǎn)的點(diǎn)。
D 初始點(diǎn)必須在可行域內(nèi)
三、問答題（看講義）
1、試述兩種一維搜索方法的原理，它們之間有何區(qū)
答：搜索的原理是：區(qū)間消去法原理
區(qū)別：（1）、試探法
10、：給定的規(guī)定來確定插入點(diǎn)的位置，此點(diǎn)的位置確定僅僅按照區(qū)間的縮短如何加快，而不顧及函數(shù)值的分布關(guān)系，如黃金分割法
（2）、插值法：沒有函數(shù)表達(dá)式，可以根據(jù)這些點(diǎn)處的函數(shù)值，利用插值方法建立函數(shù)的某種近似表達(dá)式，近而求出函數(shù)的極小點(diǎn)，并用它作為原來函數(shù)的近似值。這種方法稱為插值法，又叫函數(shù)逼近法。
2、懲罰函數(shù)法求解約束優(yōu)化問題的基本原理是什么？
答，基本原理是將優(yōu)化問題的不等式和等式約束函數(shù)經(jīng)過加權(quán)轉(zhuǎn)化后，和原目標(biāo)函數(shù)結(jié)合形成新的目標(biāo)函數(shù)——懲罰函數(shù)求解該新目標(biāo)函數(shù)的無約束極值，以期得到原問題的約束最優(yōu)解
3、試述數(shù)值解法求最佳步長因子的基本思路。
答 主要用數(shù)值解法，利用計(jì)算機(jī)
11、通過反復(fù)迭代計(jì)算求得最 佳步長因子的近似值
4、試述求解無約束優(yōu)化問題的最速下降法與牛頓型方法的優(yōu)缺點(diǎn)。
答：最速下降法此法優(yōu)點(diǎn)是直接、簡單，頭幾步下降速度快。缺點(diǎn)是收斂速度慢，越到后面收斂越慢。牛頓法優(yōu)點(diǎn)是收斂比較快，對(duì)二次函數(shù)具有二次收斂性。缺點(diǎn)是每次迭代需要求海塞矩陣及其逆矩陣，維數(shù)高時(shí)及數(shù)量比較大。
5、寫出用數(shù)學(xué)規(guī)劃法求解優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)值迭代公式，并說明公式中各變量的意義，并說明迭代公式的意義。
6、什么是共軛方向？滿足什么關(guān)系？共軛與正交是什么關(guān)系？
四、解答題
1、試用梯度法求目標(biāo)函數(shù)f(X)=1.5x12+0.5x22- x1x2-2x1的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(0
12、)=[-2，4]T,選代精度ε=0.02（迭代一步）。
解：首先計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的梯度函數(shù) ,
計(jì)算當(dāng)前迭代點(diǎn)的 梯度向量值
梯度法的搜索方向?yàn)?, 因此在迭代點(diǎn)x(0) 的搜索方向?yàn)閇12，－6]T
在此方向上新的迭代點(diǎn)為：
==
=
把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量的函數(shù)
令 ，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長
新的迭代點(diǎn)為
當(dāng)前梯度向量的長度, 因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。
第一迭代步完成。
2、試用牛頓法求f( X )=(x1-2)2+(x1
13、-2x2)2的最優(yōu)解，設(shè)初始點(diǎn)x(0)=[2,1]T。
解1：（注：題目出題不當(dāng)，初始點(diǎn)已經(jīng)是最優(yōu)點(diǎn)，解2是修改題目后解法。）
牛頓法的搜索方向?yàn)?因此首先求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x(0)
的梯度向量、海色矩陣及其逆矩陣
不用搜索，當(dāng)前點(diǎn)就是最優(yōu)點(diǎn)。
解2：上述解法不是典型的牛頓方法，原因在于題目的初始點(diǎn)選擇不當(dāng)。以下修改求解題目的初始點(diǎn)，以體現(xiàn)牛頓方法的典型步驟。
以非最優(yōu)點(diǎn)x(0)=[1,2]T作為初始點(diǎn)，重新采用牛頓法計(jì)算
牛頓法的搜索方向?yàn)?因此首先
14、求出當(dāng)前迭代點(diǎn)x(0)
的梯度向量、以及海色矩陣及其逆矩陣
梯度函數(shù)：
初始點(diǎn)梯度向量：
海色矩陣：
海色矩陣逆矩陣：
當(dāng)前步的搜索方向?yàn)椋?
＝
新的迭代點(diǎn)位于當(dāng)前的搜索方向上 ：
==
＝＝
把新的迭代點(diǎn)帶入目標(biāo)函數(shù)，目標(biāo)函數(shù)將成為一個(gè)關(guān)于單變量的函數(shù)
令 ，可以求出當(dāng)前搜索方向上的最優(yōu)步長
新的迭代點(diǎn)為
當(dāng)前梯度向量的長度, 因此繼續(xù)進(jìn)行迭代。
第二迭代步：
15、
因此不用繼續(xù)計(jì)算，第一步迭代已經(jīng)到達(dá)最優(yōu)點(diǎn)。
這正是牛頓法的二次收斂性。對(duì)正定二次函數(shù)，牛頓法一步即可求出最優(yōu)點(diǎn)。
3、設(shè)有函數(shù) f(X)=x12+2x22-2x1x2-4x1，試?yán)脴O值條件求其極值點(diǎn)和極值。
解：首先利用極值必要條件
找出可能的極值點(diǎn)：
令
＝
求得,是可能的極值點(diǎn)。
再利用充分條件正定（或負(fù)定）確認(rèn)極值點(diǎn)。
因此正定, 是極小點(diǎn)，極值為f(X*)=-8
4、求目標(biāo)函數(shù)f( X )=x12+x1x2+2x22 +
16、4x1+6x2+10的極值和極值點(diǎn)。
解法同上
5、試證明函數(shù) f( X )=2x12+5x22 +x32+2x3x2+2x3x1-6x2+3在點(diǎn)[1，1，-2]T處具有極小值。
解： 必要條件：
將點(diǎn)[1，1，-2]T帶入上式，可得
充分條件
＝40
正定。
因此函數(shù)在點(diǎn)[1，1，-2]T處具有極小值
6、給定約束優(yōu)化問題
min f(X)=(x1-3)2+(x2-2)2
s.t. g1(X)=－x12－x22＋5≥0
g2(X)=－x1－2x2＋4≥0
17、
g3(X)= x1≥0
g4(X)=x2≥0
驗(yàn)證在點(diǎn)Kuhn-Tucker條件成立。
解：首先，找出在點(diǎn)起作用約束：
g1(X) ＝0
g2(X) ＝0
g3(X) ＝2
g4(X) ＝1
因此起作用約束為g1(X)、g2(X)。
然后，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)、起作用約束函數(shù)的梯度，檢查目標(biāo)函數(shù)梯度是否可以表示為起作用約束函數(shù)梯度的非負(fù)線性組合。
＝
＝,
求解線性組合系數(shù)
得到 均大于0
因此在點(diǎn)Kuhn-Tucker條件成立
7、設(shè)非線性規(guī)劃問題
18、
用K-T條件驗(yàn)證為其約束最優(yōu)點(diǎn)。
解法同上
8、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)= x1+x2，受約束于：
g1(X)=-x12+x2≥0
g2(X)=x1≥0
寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。
解：
內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)的一般公式為
其中： r(1)>r(2) >r(3)… >r(k) … >0 是一個(gè)遞減的正值數(shù)列
r(k)＝Cr(k-1)， 0＜C＜1
因此 罰函數(shù)為：
9、已知目標(biāo)函數(shù)為f(X)=( x1-1)2+(x2+2)2
受約束于：g1(X)=-x2-x1-1≥0
g2(X)=2-x1-x2≥0
g3(X)=x1≥0
g4(X)=x2≥0
19、
試寫出內(nèi)點(diǎn)罰函數(shù)。
解法同上
10、如圖，有一塊邊長為6m的正方形鋁板，四角截去相等的邊長為x的方塊并折轉(zhuǎn)，造一個(gè)無蓋的箱子，問如何截法（x取何值）才能獲得最大容器的箱子。試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。
11、某廠生產(chǎn)一個(gè)容積為8000cm3的平底無蓋的圓柱形容器，要求設(shè)計(jì)此容器消耗原材料最少，試寫出這一優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。
12、一根長l的鉛絲截成兩段，一段彎成圓圈，另一段彎折成方形，問應(yīng)以怎樣的比例截?cái)嚆U絲，才能使圓和方形的面積之和為最大，試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的
20、程序。
13、求表面積為300m2的體積最大的圓柱體體積。試寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。
14、薄鐵板寬20cm，折成梯形槽，求梯形側(cè)邊多長及底角多大，才會(huì)使槽的斷面積最大。寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型，并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出M文件和求解命令）。
15、已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長度為c，高度為h，面積A=64516mm2，斜邊與底邊的夾角為θ，見圖1。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長s的倒數(shù)成比例關(guān)系（s只包括底邊和兩側(cè)邊，不計(jì)頂邊）。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。寫出這一優(yōu)化設(shè)計(jì)問題的數(shù)學(xué)模型。并用matlab軟件的優(yōu)化工具箱求解（寫出M文件和求解命令）。
16、某電線電纜車間生產(chǎn)力纜和話纜兩種產(chǎn)品。力纜每米需用材料9kg，3個(gè)工時(shí)，消耗電能4kWh，可得利潤60元；話纜每米需用材料4kg，10個(gè)工時(shí)，消耗電能5kWh，可得利潤120元。若每天材料可供應(yīng)360kg，有300個(gè)工時(shí)消耗電能200kWh可利用。如要獲得最大利潤，每天應(yīng)生產(chǎn)力纜、話纜各多少米？寫出該優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型以及用MATLAB軟件求解的程序。
《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)》復(fù)習(xí)題-答案要點(diǎn)(總13頁)
