高中數(shù)學(xué)（北師大版）選修2-2教案：第1章 反證法 第一課時(shí)參考教案

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1、 反證法 一、教學(xué)目標(biāo)：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過(guò)程與特點(diǎn)。 二、教學(xué)重點(diǎn)：了解反證法的思考過(guò)程與特點(diǎn)。 教學(xué)難點(diǎn)：正確理解、運(yùn)用反證法。 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過(guò)程 （一）、復(fù)習(xí)：綜合法與分析法 綜合法與分析法各有其特點(diǎn).從需求解題思路來(lái)看，分析法執(zhí)果索因，常常根底漸近，有希望成功；綜合法由因?qū)Ч?jié)橫生，不容易奏效。 就表達(dá)過(guò)程而論，分析法敘述煩瑣，文辭冗長(zhǎng)；綜合法形式簡(jiǎn)潔，條理清晰.也就是說(shuō)，分析法利于思考，綜合法宜于表述。 因此，在實(shí)際解題時(shí)，常常把分析法和綜合法結(jié)合起來(lái)運(yùn)用，先以分

2、析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述解題過(guò)程。 （二）、探究新課 1、反證法 反證法是一種間接證法，它是先提出一個(gè)與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。用反證法證明一個(gè)命題的步驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。 反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于

3、；都是/不都是；至少有一個(gè)/一個(gè)也沒(méi)有；至少有n個(gè)/至多有(n一1)個(gè)；至多有一個(gè)/至少有兩個(gè)；唯一/至少有兩個(gè)。 歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過(guò)程沒(méi)有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無(wú)源之水，無(wú)本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。 - 2 - / 5 2、例題探析 例1、已知a是整數(shù)，2能整除，求證：2能整除a. 證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即“2不能整除a”。 因?yàn)閍是整數(shù)，故a是奇數(shù)，a可表示為2m+1（m為整數(shù)），則 ，即是奇數(shù)。 所以，2不能整除。這與已知“2能整除

4、”相矛盾。于是，“2不能整除a”這個(gè)假設(shè)錯(cuò)誤，故2能整除a. 例2、在同一平面內(nèi)，兩條直線a，b都和直線c垂直。求證：a與b平行。 證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即“直線a與b相交”。 設(shè)直線a，b的交點(diǎn)為M，a，c的交點(diǎn)為P，b，c的交點(diǎn)為Q， 如圖所示，則。 這樣的內(nèi)角和 。 這與定理“三角形的內(nèi)角和等于”相矛盾，這說(shuō)明假設(shè)是錯(cuò)誤的。 所以直線a與b不相交，即a與b平行。 例3、求證：是無(wú)理數(shù)。 證明： 不是無(wú)理數(shù)，即是有理數(shù)，那么它就可以表示成兩個(gè)整數(shù)之比， 設(shè)，且p，q互素，則。所以 。 ① 故是偶數(shù)，

5、q也必然為偶數(shù)。設(shè)q=2k，代入①式，則有，即， 所以p也為偶數(shù)。P和q都是偶數(shù)，它們有公約數(shù)2，這與p，q互素相矛盾。 因此，假設(shè)不成立，即“是無(wú)理數(shù)”。 （三）、小結(jié)：反證法的證題步驟是：（1）作出否定結(jié)論的假設(shè)；（2）進(jìn)行推理，導(dǎo)出矛盾；（3）否定假設(shè)，肯定結(jié)論。 應(yīng)用關(guān)鍵：在正確的推理下得出矛盾（與已知條件矛盾，或與假設(shè)矛盾，或與定義、公理、定理、事實(shí)矛盾等）. 方法實(shí)質(zhì)：反證法是利用互為逆否的命題具有等價(jià)性來(lái)進(jìn)行證明的，即由一個(gè)命題與其逆否命題同真假，通過(guò)證明一個(gè)命題的逆否命題的正確，從而肯定原命題真實(shí). 注：結(jié)合準(zhǔn)備題分析以上知識(shí)。 反證法的適應(yīng)范圍（“至

6、多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的問(wèn)題） （四）、練習(xí)：1、課本練習(xí)1. 2、“過(guò)在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C不能作圓”. 討論如何證明這個(gè)命題？ 證法：先假設(shè)可以作一個(gè)⊙O過(guò)A、B、C三點(diǎn)， 則O在AB的中垂線l上，O又在BC的中垂線m上， 即O是l與m的交點(diǎn)。 但 ∵A、B、C共線，∴l(xiāng)∥m(矛盾) ∴ 過(guò)在同一直線上的三點(diǎn)A、B、C不能作圓。 （五）、作業(yè)：課本習(xí)題1-3： （3）、（4） 補(bǔ)充題：若、， (1)求證：； (2)令，寫出、、、的值，觀察并歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式； (3)證明：存在不等于零的常數(shù)p，使是等比數(shù)列，并求出公比q的值. 解：（1）（采用反證法）. 若，即, 解得 從而與題設(shè),相矛盾， 故成立. (2) 、、、、, . （3）因?yàn)?又, 所以, 因?yàn)樯鲜绞顷P(guān)于變量的恒等式，故可解得、 五、教后反思： 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！