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1、
《反證法》教材解讀
一、重點(diǎn)知識梳理
反證法(間接證明)是不同于綜合法與分析法(直接證明)的又一種證明方法,它不是從原命題的條件逐步推得命題成立。反證法就是一種常用的間接證明方法。反證法的證明過程可以概括為“否定—推理—否定”,即從否定結(jié)論開始,經(jīng)過正確的推理,導(dǎo)致邏輯矛盾,從而達(dá)到新的否定(即肯定原命題)的過程。用反證法證明“若p則q”的過程可以用以下框圖表示:
肯定條件p
否定結(jié)論q
導(dǎo) 致
邏輯矛盾
“若p則q”
為 真
“p且┐q”
為 假
這個(gè)過程包括下面三個(gè)步驟:
(1)反設(shè)——假設(shè)命題的結(jié)論不
2、成立,即假定原結(jié)論的反面為真;
(2)歸謬——從反設(shè)和已知條件出發(fā),經(jīng)過一系列正確的邏輯推理,得出矛盾結(jié)果;
(3)存真——由矛盾結(jié)果,斷定反設(shè)不真,從而肯定原結(jié)論成立。
說明:1、反證法的原理:否定之否定等于肯定
2、反證法的實(shí)質(zhì):原命題和它的逆否命題是等價(jià)命題
二、疑、難點(diǎn)解析
利用反證法證明不等式,如何依據(jù)題設(shè)條件和不等式的結(jié)論制造矛盾是本節(jié)內(nèi)容的一個(gè)難點(diǎn)。
例1、若、,且,求證:與至少有一個(gè)小于
證明:假設(shè)與均不小于,即,且
∵ 、,∴且
∴ ,∴
這與已知相矛盾
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∴假設(shè)不成立,故原命題正確
點(diǎn)評:證明的結(jié)論中若
3、有“至多”“至少”等字詞時(shí),??梢钥紤]用反證法解決。
注意:(1)利用反證法證明時(shí),第一步“假設(shè)”不要寫成“設(shè)”。
(2)應(yīng)用反證法證題要充分理解兩個(gè)否定:第一個(gè)否定是指“否定結(jié)論”;第二個(gè)否定是指“邏輯推理結(jié)果否定了假設(shè)”。
例2、已知函數(shù)
試用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根。
證法1 假設(shè)存在滿足,則
∵ ∴,即與假設(shè)矛盾,
故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根。
證法2 假設(shè)存在滿足,
①若,則,
∴,這與矛盾;
4、 ②若,則,
∴,這與矛盾。
故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根。
點(diǎn)評: 命題中含有否定詞時(shí),常用反證法。
注意:(1)由以上證明過程可以看出,用反證法證明問題時(shí),推出矛盾的途徑多種多樣。一定要明確矛盾的所在,不可稀里糊涂。
總之無論是在日常生活中還是在數(shù)學(xué)中,都經(jīng)常應(yīng)用反證法.而且對于處理正面復(fù)雜性問題、至多至少性問題、否定性問題、唯一性問題、存在性問題以及無理性問題等,反證法都具有特殊的優(yōu)越性。
反證法的證題過程其實(shí)是證明原命題“若p則q”的否定“若p則 q”是錯(cuò)誤的
我們在學(xué)習(xí)反證法時(shí)會出現(xiàn)兩方面的困難:
1
5、“否定結(jié)論”部分,把握不清結(jié)論的“反”是什么。
使用反證法證明問題時(shí),準(zhǔn)確地做出反設(shè)(即否定結(jié)論)是正確運(yùn)用反證法的前提,常用的“結(jié)論詞”與“反設(shè)詞”列表如下:
詞
語
等于
大于
小于
都是
一定是
至少有一個(gè)
至
少
n
個(gè)
至多一個(gè)
至
多
n
個(gè)
只有一個(gè)
P或q
P且q
對所
有x
成立
詞
語的否定
不等于
小于等于
大于等于
不都是
一定不是
一個(gè)也沒有
至
多n-1個(gè)
至少兩個(gè)
至
少n+1個(gè)
沒有或至少有兩個(gè)
P且 q
P或q
存在
某個(gè)x不
成立
2、“導(dǎo)出矛盾”部分,有時(shí)與已知條件相矛盾;有時(shí)與假設(shè)相矛盾;而有時(shí)又是與某個(gè)定義、公理、定理或事實(shí)相矛盾,還有的是自相矛盾.因此我們有時(shí)弄不明白究竟是與什么矛盾.
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