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1、
歸納推理知識歸納及應(yīng)用
1. 歸納推理定義:
由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).簡而言之,歸納推理是由部分到整體,由個(gè)別到一般的推理.例如由銅、鐵、鋁、金、銀等金屬能導(dǎo)電歸納出“一切金屬都能導(dǎo)電”,由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是1800,歸納出“所有三角形的內(nèi)角和都是1800”等等,這些都是歸納推理.在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,我們總是從所研究的全體對象中抽取一部分進(jìn)行觀測或試驗(yàn)以取得信息,從而對整體作出推斷,這也是歸納. 應(yīng)用歸納推理可以發(fā)現(xiàn)新的事實(shí),獲得新的結(jié)論.
2、說明:歸納推理的思維過程大致如下:
實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論。
2.歸納推理的一般模式:
具有P,
具有P,
……
具有P(,,…,是A類事物的對象),
所以,A類事物具有P。
3.歸納推理的特點(diǎn):
(1)歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象,歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象,該結(jié)論超越了前提所包容的范圍.
(2)由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì),結(jié)論是否真實(shí),還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)踐檢驗(yàn).因此,它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具.
(3)歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理.通過歸納推理得到的猜想,可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn),幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題.
4.歸納推理的一般步
3、驟:
第一步:通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律);
第二步:把這種相似性推廣為一個(gè)明確表述的一般命題(猜想);
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第三步:對所得出的一般性命題進(jìn)行檢驗(yàn)。
由歸納推理所得的結(jié)論雖然未必是可靠的,但它由特殊到一般,由具體到抽象的認(rèn)識功能,對于科學(xué)的發(fā)現(xiàn)卻是十分有用的。觀察、實(shí)驗(yàn),對有限的資料作歸納整理,提出帶有規(guī)律性的說法,乃是科學(xué)研究的最基本的方法之一。物理學(xué)中的波義耳—馬略特定律、化學(xué)中的門捷列夫元素周期表、天文學(xué)中開普勒行星運(yùn)動定律等,也都是在實(shí)驗(yàn)和觀察的基礎(chǔ)上,通過歸納發(fā)現(xiàn)的.在一般情況下,如果歸納的個(gè)別情況越多,越具有代表性,那么推廣的一般
4、性結(jié)論也就越可靠;需要特別注意的是,由歸納推理所獲得的結(jié)論僅僅是一種猜測,并不一定可靠,其可靠性需要通過證明.
一、數(shù)列問題中的歸納推理
例1 已知,根據(jù)的值,可推測出 .
分析:求出的值,發(fā)現(xiàn)它們都是分?jǐn)?shù),可通過分析分子、分母的特點(diǎn),推測.
解:∵,
∴,,.
根據(jù)分式特點(diǎn)把化為,可推測出.
評注:對于分式型的數(shù)列歸納通項(xiàng)公式問題,歸納時(shí)可從兩個(gè)角度出發(fā):一是分別看分子、分母的變化規(guī)律,一是看分子、分母的聯(lián)系,有時(shí)還需對其中的分式作適當(dāng)變形.數(shù)列中的歸納推理最為常見,一般有歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和(積)公式等.
二、函數(shù)問題中的歸納推理
例2 已知
5、,則 .
分析:正余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)比較特別,求導(dǎo)后會改變函數(shù)名稱,而且就在正余弦函數(shù)之間跳動取值,故我們猜想和呈周期性變化,可歸納前若干項(xiàng),看是否具有周期性,若有,問題就會迎刃而解.
解:依題意,
,由此可歸納出,從開始,函數(shù)每隔四個(gè)按循環(huán)出現(xiàn)一次,且每一個(gè)循環(huán)體中四個(gè)函數(shù)的和都等于0,所以
.
評注:對于項(xiàng)數(shù)比較多的問題,我們首先考慮的就是周期性,因?yàn)橹挥兄芷谛圆拍茌^好地處理此類問題.而周期性的探求方法就是歸納法.
三、不等式問題中的歸納推理
例3 由,可歸納出:若,則 .
分析:觀察各不等式中的分式特點(diǎn),可發(fā)現(xiàn)左邊分式都是右邊分式的分子、分母都加上同一個(gè)正數(shù)得到的,據(jù)此不難歸納出一般式.
解:由,可歸納出若,則.
評注:本題歸納出的是真分?jǐn)?shù)的一個(gè)重要性質(zhì):若一個(gè)真分?jǐn)?shù)的分子、分母都加上同一個(gè)正數(shù),分式的值增大.若把上面的分式取倒數(shù),則可得假分?jǐn)?shù)的一個(gè)相應(yīng)性質(zhì):若一個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子、分母都加上同一個(gè)正數(shù),分式的值減小.這個(gè)現(xiàn)象可稱為“真大假小”.
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