高中數(shù)學(北師大版)選修2-2教案:第1章 解題思想方法:反證法

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1、 反證法 與前面所講的方法不同,反證法是屬于“間接證明法”一類,是從反面的角度思考問題的證明方法,即:肯定題設而否定結(jié)論,從而導出矛盾推理而得。 法國數(shù)學家阿達瑪(Hadamard)對反證法的實質(zhì)作過概括:“若肯定定理的假設而否定其結(jié)論,就會導致矛盾”。 具體地講,反證法就是從否定命題的結(jié)論入手,并把對命題結(jié)論的否定作為推理的已知條件,進行正確的邏輯推理,使之得到與已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題等相矛,矛盾的原因是假設不成立,所以肯定了命題的結(jié)論,從而使命題獲得了證明。 反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中,兩個互相矛盾

2、的判斷不能同時都為真,至少有一個是假的,這就是邏輯思維中的“矛盾律”;兩個互相矛盾的判斷不能同時都假,簡單地說“A或者非A”,這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中,得到矛盾的判斷,根據(jù)“矛盾律”,這些矛盾的判斷不能同時為真,必有一假,而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的,所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”,結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假,必有一真,于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的,反證法是可信的。 反證法的證題模式可以簡要的概括我為“否定→推理→否定”。即從否定結(jié)論開始,經(jīng)過正

3、確無誤的推理導致邏輯矛盾,達到新的否定,可以認為反證法的基本思想就是“否定之否定”。 應用反證法證明的主要三步是:否定結(jié)論 → 推導出矛盾 → 結(jié)論成立。 實施的具體步驟是: 第一步,反設:作出與求證結(jié)論相反的假設; 第二步,歸謬:將反設作為條件,并由此通過一系列的正確推理導出矛盾; 第三步,結(jié)論:說明反設不成立,從而肯定原命題成立。 在應用反證法證題時,一定要用到“反設”進行推理,否則就不是反證法。用反證法證題時,如果欲證明的命題的方面情況只有一種,那么只要將這種情況駁倒了就可以,這種反證法又叫“歸謬法”;如果結(jié)論的方面情況有多種,那么必須將所有的反面情況一一駁倒,才能推斷原結(jié)論

4、成立,這種證法又叫 - 2 - / 7 “窮舉法”。 在數(shù)學解題中經(jīng)常使用反證法,牛頓曾經(jīng)說過:“反證法是數(shù)學家最精當?shù)奈淦髦弧?。一般來講,反證法常用來證明的題型有:命題的結(jié)論以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“無限”形式出現(xiàn)的命題;或者否定結(jié)論更明顯。具體、簡單的命題;或者直接證明難以下手的命題,改變其思維方向,從結(jié)論入手進行反面思考,問題可能解決得十分干脆。 Ⅰ、再現(xiàn)性題組: 1. 已知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是減函數(shù),則方程f(x)=0 ______。 A.至多一個實根 B.至少一個實根 C.一個實根 D.無實根 2. 已知a<0,-1

5、ab> ab B. ab>ab>a C. ab>a> ab D. ab> ab>a 3. 已知α∩β=l,a α,b β,若a、b為異面直線,則_____。 A. a、b都與l相交 B. a、b中至少一條與l相交 C. a、b中至多有一條與l相交 D. a、b都與l相交 4. 四面體頂點和各棱的中點共10個,在其中取4個不共面的點,不同的取法有_____。(97年全國理) A. 150種 B. 147種 C. 144種

6、 D. 141種 【簡解】1小題:從結(jié)論入手,假設四個選擇項逐一成立,導出其中三個與特例矛盾,選A; 2小題:采用“特殊值法”,取a=-1、b=-0.5,選D; 3小題:從逐一假設選擇項成立著手分析,選B; 4小題:分析清楚結(jié)論的幾種情況,列式是:C-C4-3-6,選D。 Ⅱ、示范性題組: 例1. 如圖,設SA、SB是圓錐SO的兩條母線,O是底面圓心,C是SB上一點。求證:AC與平面SOB不垂直。 【分析】結(jié)論是“不垂直”,呈“否定性”,考慮使用反證法,即假設“垂直”后再導出矛盾后,再肯定“不垂直”。 【證明】 假設AC⊥平面SOB, ∵ 直線SO在平面SOB內(nèi)

7、, ∴ AC⊥SO, ∵ SO⊥底面圓O, ∴ SO⊥AB, ∴ SO⊥平面SAB, ∴平面SAB∥底面圓O, 這顯然出現(xiàn)矛盾,所以假設不成立。 即AC與平面SOB不垂直。 【注】否定性的問題常用反證法。例如證明異面直線,可以假設共面,再把假設作為已知條件推導出矛盾。 例2. 若下列方程:x+4ax-4a+3=0, x+(a-1)x+a=0, x+2ax-2a=0至少有一個方程有實根。試求實數(shù)a的取值范圍。 【分析】 三個方程至少有一個方程有實根的反面情況僅有一種:三個方程均沒有實根。先求出反面情況時a的范圍,再所得范圍的補集就是正面情況的答案。 【解】 設三

8、個方程均無實根,則有: ,解得,即-

9、 【分析】“不平行”的否定是“平行”,假設“平行”后得出矛盾從而推翻假設。 【證明】 ① 設M(x,y)、M(x,y)是函數(shù)圖像上任意兩個不同的點,則x≠x,假設直線MM平行于x軸,則必有y=y(tǒng),即=,整理得a(x-x)=x-x∵x≠x ∴ a=1, 這與已知“a≠1”矛盾, 因此假設不對,即直線MM不平行于x軸。 ② 由y=得axy-y=x-1,即(ay-1)x=y(tǒng)-1,所以x=, 即原函數(shù)y=的反函數(shù)為y=,圖像一致。 由互為反函數(shù)的兩個圖像關于直線y=x對稱可以得到,函數(shù)y=的圖像關于直線y=x成軸對稱圖像。 【注】對于“不平行”的否定性結(jié)論使用反證法,在假

10、設“平行”的情況下,容易得到一些性質(zhì),經(jīng)過正確無誤的推理,導出與已知a≠1互相矛盾。第②問中,對稱問題使用反函數(shù)對稱性進行研究,方法比較巧妙,要求對反函數(shù)求法和性質(zhì)運用熟練。 Ⅲ、鞏固性題組: 1. 已知f(x)=,求證:當x≠x時,f(x)≠f(x)。 2. 已知非零實數(shù)a、b、c成等差數(shù)列,a≠c,求證:、、不可能成等差數(shù)列。 3. 已知f(x)=x+px+q,求證:|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于 。 4. 求證:拋物線y=-1上不存在關于直線x+y=0對稱的兩點。 5. 已知a、b∈R,且|a|+|b|<1,求證:方程x+ax+b=0的兩個根的絕對值均小于1。 6. 兩個互相垂直的正方形如圖所示,M、N在相應對角線上,且有EM=CN,求證:MN不可能垂直CF。 希望對大家有所幫助,多謝您的瀏覽!

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