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1、
第43章 開放型問題
1. （2011四川宜賓,22,7分）如圖，飛機(jī)沿水平方向（A，B兩點(diǎn)所在直線）飛行，前方有一座高山，為了避免飛機(jī)飛行過低，就必須測(cè)量山頂M到飛行路線AB的距離MN．飛機(jī)能夠測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和飛行距離（因安全因素，飛機(jī)不能飛到山頂?shù)恼戏絅處才測(cè)飛行距離），請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)求距離MN的方案，要求：
（1）指出需要測(cè)量的數(shù)據(jù)（用字母表示，并在圖中標(biāo)出）；
（2）用測(cè)出的數(shù)據(jù)寫出求距離MN的步驟．
【答案】解：此題為開放題，答案不惟一，只要方案設(shè)計(jì)合理，可參照給分
⑴如圖，測(cè)出飛機(jī)在A處對(duì)山頂?shù)母┙菫?，測(cè)出飛機(jī)在B處對(duì)山頂?shù)母┙菫椋?/p>
2、測(cè)出AB的距離為d，連接AM，BM．
⑵第一步，在中， ∴
第二步，在中， ∴
其中，解得．
（第25題解答圖）
2. （2011山東濟(jì)寧，22，8分）數(shù)學(xué)課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖，正方形 的邊長(zhǎng)為，為邊延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，的垂直平分線交邊于，交邊的延長(zhǎng)線于.當(dāng)時(shí)，與的比值是多少？
經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過作直線平行于交，分別于，，如圖，則可得：，因?yàn)椋?可求出和的值，進(jìn)而可求得與的比值.
(1) 請(qǐng)按照小明的思路寫出求解過程.
(2) 小東又對(duì)此題作了進(jìn)一步探究，得出了的結(jié)論.你認(rèn)為小東的這個(gè)結(jié)論正確嗎？如果正
3、確，請(qǐng)給予證明；如果不正確，請(qǐng)說明理由.
(第22題)
（1）解：過作直線平行于交，分別于點(diǎn)，，
則，，.
∵，∴. 2分
∴，.
∴. 4分
（2）證明：作∥交于點(diǎn)， 5分
則，.
∵，
∴.
∵，，
∴.∴. 7分
∴. 8分
(第22題)
3. （2011山東威海，24，11分）如圖，ABCD是一張矩形紙片，AD=BC=1,AB=CD=5．在矩形ABCD的邊AB上取一點(diǎn)M，在CD上取一點(diǎn)N，將紙片沿MN折疊，使MB與DN交于點(diǎn)K，得到△MNK．
（1）若∠1=70，求∠MNK的度數(shù)．
（2）△MNK
4、的面積能否小于？若能，求出此時(shí)∠1的度數(shù)；若不能，試說明理由．
（3）如何折疊能夠使△MNK的面積最大？請(qǐng)你利用備用圖探究可能出現(xiàn)的情況，求出最大值．
（備用圖）
【答案】 解：∵ABCD是矩形，
∴AM∥DN，
∴∠KNM=∠1．
∵∠KMN=∠1，
∴∠KNM=∠KMN．
∵∠1=70，
∴∠KNM=∠KMN=70．
∴∠MNK=40．
（2）不能．
過M點(diǎn)作ME⊥DN，垂足為點(diǎn)E，則ME=AD=1,
由（1）知∠KNM=∠KMN．
∴MK=NK．
又MK≥ME,
∴NK≥1．
∴．
∴△MNK的面積最小值為，不可能小于．
（3）分兩種情況：
5、情況一：將矩形紙片對(duì)折，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，此時(shí)點(diǎn)K也與點(diǎn)D重合．
設(shè)MK=MD=x，則AM=5-x，由勾股定理，得
,
解得，．
即．
∴． （情況一）
情況二：將矩形紙片沿對(duì)角線AC對(duì)折，此時(shí)折痕為AC．
設(shè)MK=AK= CK=x，則DK=5-x，同理可得
即．
∴．
∴△MNK的面積最大值為1.3． （情況二）
4. （2011山東煙臺(tái)，24,10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90，CD⊥AD，AD2＋CD2＝2AB2．
（1）
6、求證：AB＝BC；
A
B
C
D
E
（2）當(dāng)BE⊥AD于E時(shí)，試證明：BE＝AE＋CD．
【答案】（1）證明：連接AC，
∵∠ABC＝90，
∴AB2＋BC2＝AC2.
∵CD⊥AD，∴AD2＋CD2＝AC2.
∵AD2＋CD2＝2AB2，∴AB2＋BC2＝2AB2，
∴AB＝BC.
（2）證明：過C作CF⊥BE于F.
∵BE⊥AD，∴四邊形CDEF是矩形.
∴CD＝EF.
∵∠ABE＋∠BAE＝90，∠ABE＋∠CBF＝90，
∴∠BAE＝∠CBF，∴△BAE≌△CBF.
∴AE＝BF.
∴BE＝BF＋EF ＝AE＋CD.
4. （2011湖北襄陽，21，6分）
如圖6，點(diǎn)D，E在△ABC的邊BC上，連接AD，AE. ①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE.以此三個(gè)等式中的兩個(gè)作為命題的題設(shè)，另一個(gè)作為命題的結(jié)論，構(gòu)成三個(gè)命題：①②③；①③②；②③①.
（1）以上三個(gè)命題是真命題的為（直接作答） ；
（2）請(qǐng)選擇一個(gè)真命題進(jìn)行證明（先寫出所選命題，然后證明）.
圖6
【答案】（1）①②③；①③②；②③①. 3分
（2）（略） 6分
中考數(shù)學(xué)試題分類43 開放型問題
