《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計》習(xí)題及答案

《《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計》習(xí)題及答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《機(jī)械優(yōu)化設(shè)計》習(xí)題及答案（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、機(jī)械優(yōu)化設(shè)計習(xí)題及參考答案 1-1.簡述優(yōu)化設(shè)計問題數(shù)學(xué)模型的表達(dá)形式。 答：優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型是實際優(yōu)化設(shè)計問題的數(shù)學(xué)抽象。 在明確設(shè)計 變量、約束條件、目標(biāo)函數(shù)之后，優(yōu)化設(shè)計問題就可以表示成一般數(shù)學(xué) 形式。求 設(shè)計變量向量x Xi X2 L Xn T使 f(x) min 且滿足約束條件 hk(x) 0 (k 1,2,L l) gj(x) 0 (j 1,2,L m) 2-1.何謂函數(shù)的梯度？梯度對優(yōu)化設(shè)計有何意義? 答：二元函數(shù)f( Xi,X2)在X0點處的方向?qū)?shù)的表達(dá)式可以改寫成下面的形 式：f c f f cos 1 cos 1 cos 2 d xo x1 xo

2、 x2 xo x1 x2 xo cos 2 令 f(x0)［卡］ fT x1 x2 xo x2 則稱它為函數(shù)f (X, X)在X0點處的梯度。 (1)梯度方向是函數(shù)值變化最快方向，梯度模是函數(shù)變化率的最大值。 (2)梯度與切線方向d垂直，從而推得梯度方向為等值面的法線方向。 梯度f(x0) 方向為函數(shù)變化率最大方向，也就是最速上升方向。負(fù)梯度 -f(x0)方向為函數(shù)變化 率最小方向，即最速下降方向 _ O O _ 2-2,求二元函數(shù) f (X, X)=2x 1 +X -2x i+X在X。［0,0］T處函數(shù)變化率 最 大的方向和數(shù)值。 解：由于函數(shù)變化率最大的方向就是梯度的

3、方向，這里用單位向量 f(xO)。求 f (x1, x2)在 x0 2-3.試求目標(biāo)函數(shù)f X1X 3x2 4x1x2 x2 在點 X0=[1,0] T處的最速卜降 方向，并求沿著該方向移動一個單位長度后新點的目標(biāo)函數(shù)值。 解：求目標(biāo)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 6x1 4X2,_ 4x1 2x2 X1 — X2 則函數(shù)在X0=[1,0] T處的最速下降方向是 P f( x0) 這個方向上的單位向量是 新點是 Xi 6x1 4x2 4x1 2x2 文 210 x2 x2； [6,4] [3,2]T (6)2 42 <13 表示，函數(shù)變化率最大和數(shù)值時梯度的模 點處的梯

4、度方向和數(shù)值，計算如下： f x0 x1 4x1 2 2 f 2x2 1 x0 1 x2 1 f2 f2_ 一 =5 11 f(x0) 11 v x1 x2 2 2 p f( x0) 1 5 f(x0) 5 1 新點的目標(biāo)函數(shù)值 X1 X0 13 2 -13 5 f（X1） 94 2 13 13 2-4.何謂凸集、凸函數(shù)、凸規(guī)劃？（要求配圖） 答：一個點集（或區(qū)域），如果 連接其中任意兩點x1、x2的線段都全部 包含在該集合內(nèi)，就稱該點集為凸集， 函數(shù)f （x）為凸集定義域內(nèi)的函數(shù)，若對任何的 0 1及凸集域內(nèi) 的任意兩點x1、x2,存在如下不

5、等式： x1 1 X2 f x1 1 x2 稱f （x）是定義在圖集上的一個凸函數(shù)。 對于約束優(yōu)化問題 歡迎下載 14 右 f (x)、g (x) j=1,2,…,m 都是凸函數(shù)，貝U稱此問題為凸規(guī)劃 3- 1.簡述一維搜索區(qū)間消去法原理。(要配圖) 答：搜索區(qū)間(a, b)確定之后，采用區(qū)間逐步縮短搜索區(qū)間，從而找 到極小點的數(shù)值近似解。假設(shè)搜索區(qū)間(a, b)內(nèi)任取兩點al , bl , a《b,并計算函 數(shù)值f (a) , f (b) o將有下列三種可能情形； 1) f (a) f (b)由于函數(shù)為單谷，

6、所以極小點必在區(qū)間(a, b)內(nèi) 2) f (a)》f (bi),同理，極小點應(yīng)在區(qū)間(a, b)內(nèi) 3) f(a。=f (b),這是極小點應(yīng)在(a, b)內(nèi) ftbl) ■ ak f 1 b f 3 fCbi) f W) J —-VS- 3) a J tl b a bl K a ml 2) 2 a (ba) 3-2.簡述黃金分割法搜索過程及程序框圖 i b (ba) 其中，為待定常數(shù) ?- P 1 T ?4 C q a /(I - >0 . 1 * 3-3.對函數(shù)f() 2 2,當(dāng)給定搜索區(qū)間5 5時，寫出用黃金 分割法求極小點 的

7、前三次搜索過程。(要列表) 黃金分割法的搜索過程 序號 a ai a2 b 丫 1 比較 Y 2 0 -5 -1.18 1.18 5 -0.9676 < 3.7524 1 -5 -2.639 -1.181 ? o 1.686 > -0.967 2 ? o -1.18 -0.279 ? 1.18 -0.9676 < -0.48 3 ? -2.639 -1.737 -1.181 ? -0.457 > -0.482 3-4.使用二次插值法求f(x)=sin( x)在區(qū)間［2,6］的極小點，寫出計算步驟和 迭

8、代公 式，給定初始點 Xi=2, X2=4, X3=6, e=10”4。 ■ i 2 3 4 Xi 2 4 4.55457 4.55457 X2 4 4.55457 4.73656 4.72i25 X3 6 6 6 4.73656 yi 0.909297「 -0.756802 -0.987572 -0.987572 y2 -0.756802 -0.987572 -0.999708 -0.99996i y3 -0.2794i5 -0.2794i5 -0.2794i5 -0.999708 Xp 4.55457 4.73

9、656 4.72i25 4.7i236 yp -0.987572 -0.999708 -0.99996i ■ -i c j , C2 j , C3 C^-Ci J X3 Xi X2 Xi X2 X3 解: 迭代次數(shù)K= _4—,極小點為 4.71236 ,最小值為J Xp 2 (Xi X3 收斂的條件： 4- 1.簡述無約束優(yōu)化方法中梯度法、 共苑梯度法、鮑威爾法的主要區(qū)別 答

10、：梯度法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，使函數(shù)值下降最快，相鄰兩個迭代點上的函數(shù) 相互垂直即是 相鄰兩個搜索方向相互垂直。這就是說在梯度法中， 迭代點向函數(shù)極小點靠近的 過程，走的是曲折的路線。這一次的搜索方向與前一次的搜索過程互相垂直，形成“之”字形的 鋸齒現(xiàn)象。 從直觀上可以看到，在遠(yuǎn)離極小點的位置，每次迭代可使函數(shù)值有較多的下降?？?是在接近極小點的位置， 由于鋸齒現(xiàn)象使每次迭代行進(jìn)的距離縮短，因而收斂速度減慢。這種 情況似乎與“最速下降”的名稱矛盾， 其實不然，這是因為梯度是函數(shù)的局部性質(zhì)。 從局部上看, 在一點附近函數(shù)的下降是最快的，但從整體上看則走了許多彎路，因此函數(shù)的下降

11、弁不算快。 共軻梯度法是共軻方向法中的一種， 因為在該方法中每一個共軻的量都是依賴于迭代點處 的負(fù)梯度而構(gòu)造出來的，所以稱作共軻梯度法。該方法的第一個搜索方向取作負(fù)梯度方向，這 就是最速下降 法。其余各步的搜索方向是將負(fù)梯度偏轉(zhuǎn)一個角度，也就是對負(fù)梯度進(jìn)行修正。 所以共軻梯度法實質(zhì)上是對 最速下降法進(jìn)行的一種改進(jìn)，故它又被稱作旋轉(zhuǎn)梯度法。 鮑威爾法是直接利用函數(shù)值來構(gòu)造共軻方向的一種共軻方向法， 這種方法是在研究具有正 1 定矩陣G的二次函數(shù)f(x) XTGX bTx c的極小化問題時形成的。其基本思想是在不用 2 導(dǎo)數(shù)的前提下，在迭代中逐次構(gòu)造 G的共軻方向。在該算法中，每一輪

12、迭代都用連結(jié)始點和終 點所產(chǎn)生出的 搜索方向去替換原向量組中的第一個向量，而不管它的“好壞”，這是產(chǎn)生向量組 線性相關(guān)的原因所在。因 此在改進(jìn)的算法中首先判斷原向量組是否需要替換。如果需要替換， 還要進(jìn)一步判斷原向量組中哪個向量最 壞，然后再用新產(chǎn)生的向量替換這個最壞的向量，以保 證逐次生成共軻方向。 4-2.如何確定無約束優(yōu)化問題最速下降法的搜索方向? 答：優(yōu)化設(shè)計是追求目標(biāo)函數(shù)值最小，因此搜所方向 d取該點的負(fù)梯度方向-f (x)。使 函數(shù)值在該點附近的范圍下降最快。按此規(guī)律不斷走步，形成以下迭代的算法 k 1 k k x x f (x ) (k=0 , 1,2，…) k

13、 由于最速下降法是以負(fù)梯度方向作為搜索方向，所以最速下降法有稱為梯度法 k 為了使目標(biāo)函數(shù)值沿搜索方向 -f(x )能獲得最大的下降值，其步長因子 a應(yīng)取一維搜 k 索的最佳步長。即有 k 1 k k k k f x f x a f (x ) min f x a f(x ) min () k 根據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件和多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式得； k 1 T k k 1 T k f (x ) f (x ) 0 或?qū)懗?d d 0 由此可知，在最速下降法中，相鄰兩個迭代點上的函數(shù)梯度相互垂直。而搜索方向就是負(fù) 梯度方向，因此相鄰的兩個搜索方向相互垂直。這就是說在最速下降

14、法中，迭代點向函數(shù)極小 點靠近的過 程。 4-3.給定初始值X0=[-7,11] T,使用牛頓法求函數(shù)f （Xi,X2）（Xi 2） 2 （Xi2x2）2的極小 值點和極小值。 解：梯度函數(shù)、 海賽矩陣分別為 f （Xi,X2） 2 心莊） 2X2)2X2 2 ( X1 2 ) 2 ) 1 1 2 4 1 1 4 4 假設(shè)初始值 X0=[-7,11] T 76 f （ X0） （ 1 分） 116， X1 X0 f（ X0 ） （ 2 分） f （ X1） （ 1 分） X1 滿足極值的必要條件，海賽矩陣是正定的，所以是極小點 1 * 1,f（ X ）

15、 （ 2 分） 4-4. 以二元函數(shù) f （ x 「 X2 ） 為例說明單形替換法的基本原理。 答：如圖所示在平面上取不在同一直線上的三個點 X1, X2, X3, 以它們?yōu)轫旤c組成一單純 形。 計算各頂點函數(shù)值，設(shè) f （ X1 ） >f （ X2 ） >f （ X3 ） , 這說明 X3 點最好， x1 點最差。 為了尋找極小點，一般來說。應(yīng)向最差點的反對稱方向進(jìn)行搜索，即通過 x1 并穿過 x2x3 的中點 x4 的方向上進(jìn)行搜索。在此方向上取點 x5 使 x5=x4+ （ x4-x1 ） x5 稱作 x1 點相對于 x4 點的反射點，計算反射點的函數(shù)值 f （ X5 ）

16、, 可能出現(xiàn)以下幾種情 形； 1 ） f（ x5 ） f(x1),反射點比最差點還差，說明收縮應(yīng)該多一些。將新點收縮在 x1x4之間 5) f(x)>f(x1),說明x1x4方向上所有點都比最差點還要差

17、，不能沿此方向進(jìn)行搜索。 5-1.簡述約束優(yōu)化方法的分類。(簡述約束優(yōu)化問題的直接解法、間接 解法的原 理、特點及主要方法。) 答：直接解法通常適用于僅含不等式約束的問題， 它的基本思路是在 m個不等式約束條件 0 所確定的可行域內(nèi)選擇一個初始點 X,然后決定可行搜索方向 d,且以適當(dāng)?shù)牟介L 沿d方 i 向進(jìn)行搜索，得到一個使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行的新點 X,即完成一個迭代。再以新點為起點， 重復(fù)上述搜索過程，滿足收斂條件后，迭代終止。所謂可行搜索方向是指，當(dāng)設(shè)計點沿該方向 作微量移 動時，目標(biāo)函數(shù)值將下降，且不會越出可行域。產(chǎn)生可行搜索方向的方法將由直接解 法中的各種

18、算法決 ao 直接解法的原理簡單，方法實用。具特點是： 1)由于整個求解過程在可行域內(nèi)進(jìn)行，因 此迭代計算不論何時終點，都可以獲得一個比初始點好的設(shè)計點。 2)若目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)， 可行域為凸集，則可保證獲得全域最優(yōu)解。否則，因存在多個局部最優(yōu)解，當(dāng)選擇的初始點不 相同時， 可能搜索到不同的局部最優(yōu)解。為此，常在可行域內(nèi)選擇幾個差別較大的初始點分別 進(jìn)行計算，以便從 求得多個局部最優(yōu)解中選擇最好的最優(yōu)解。 3)要求可行域為有界的非空集， 即在有界可行域內(nèi)存在滿足全部約束條件的點，且目標(biāo)函數(shù)有定義。 直接解法有：隨機(jī)方向法、復(fù)合形法、可行方向法、廣義簡約梯度法等。 間接解法有不同

19、的求解策略，其中一種解法的基本思路是將約束優(yōu)化問題中的約束函數(shù)進(jìn) 行特殊的 加權(quán)處理后，和目標(biāo)函數(shù)結(jié)合起來，構(gòu)成一個新的目標(biāo)函數(shù)，即將原約束優(yōu)化問題轉(zhuǎn) 化成一個或一系列 的無約束優(yōu)化問題。再對新的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行無約束優(yōu)化計算，從而間接地搜 索到原約束問題的最優(yōu)解。 間接解法是目前在機(jī)械優(yōu)化設(shè)計中得到廣泛應(yīng)用的一種有效方法。其特點是： 1)由于無 約束優(yōu)化方法的研究日趨成熟， 已經(jīng)研究出不少有效的無約束最優(yōu)化方法和程序， 使得間接解 法有了可靠的基礎(chǔ)。目前，這類算法的計算效率和數(shù)值穩(wěn)定性也都有了較大提高。 2)可以有 效地處理具有等式約束的約束優(yōu)化問題。 3)間接算法存在的主要問題是

20、，選取加權(quán)因子比較 困難，加權(quán)因子選取不當(dāng)，不但影響收斂速度和計算精度，甚至?xí)?dǎo)致計算失敗。 間接解法有懲罰函數(shù)法和增廣乘子法。 5-2.用內(nèi)點法求下列問題的最優(yōu)解: 2 min f (x ) xi gi 3 x2 (提示：可構(gòu)造懲罰函數(shù) (x,r) f(x) 2 r In g u (x),然后用解析法求 u 1 解。 ) ［解］構(gòu)造內(nèi)點懲罰函 數(shù)： (x ,r) f (x) r In gu(x) 2 xi 2 X2 2x1 1 r ln(3 x2) 令懲罰函數(shù)對X的極值等于零: d_ dx 2xi xi 2X2 1 r)/(3 X2) 368r 得: X2 1 3TO 舍去負(fù)根后，得X2 0 時，x2 6 36 8r 4 3,該問題的最優(yōu)解為