高考數(shù)學大一輪復習 第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第四節(jié) 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入教師用書 理

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1、 第四節(jié)　數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 ☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆ 考綱要求 真題舉例 命題角度 1.理解復數(shù)的基本概念； 2.理解復數(shù)相等的充要條件； 3.了解復數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義； 4.會進行復數(shù)代數(shù)形式的四則運算； 5.了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義。 2016，全國卷Ⅰ，2,5分(復數(shù)的四則運算) 2016，全國卷Ⅱ，1,5分(復數(shù)的幾何意義) 2016，全國卷Ⅲ，2,5分(復數(shù)的四則運算) 2015，全國卷Ⅰ，1,5分(復數(shù)的乘除，模) 2015，全國卷Ⅱ，2,5分(復數(shù)的乘法，相等) 每年平均有一個小題，難度較低，重點考查復數(shù)的代數(shù)形

2、式的四則運算(特別是乘、除法)，也涉及復數(shù)的概念及幾何意義等知識。 微知識　小題練 自|主|排|查 1．復數(shù)的有關(guān)概念 (1)復數(shù)的概念： 形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做復數(shù)，其中a，b分別是它的實部和虛部。若b＝0，則a＋bi為實數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0，且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)。 (2)復數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)。 (3)共軛復數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)。 (4)復平面：建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面，叫做復平面。x軸叫做實軸，y軸除去原點叫做虛軸。實軸上的點都表

3、示實數(shù)；除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)；各象限內(nèi)的點都表示非純虛數(shù)。 (5)復數(shù)的模：向量的模r叫做復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝。 2．復數(shù)的幾何意義 (1)復數(shù)z＝a＋bi　復平面內(nèi)的點Z(a，b)(a，b∈R)。 (2)復數(shù)z＝a＋bi　平面向量(a，b∈R)。 3．復數(shù)的運算 (1)復數(shù)的加、減、乘、除運算法則 設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)則： ①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i； ②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－

4、d)i； ③乘法：z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； ④除法：＝＝(c＋di≠0)。 (2)復數(shù)加法的運算定律 復數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)。 微點提醒 1．i的乘方具有周期性 in＝(k∈Z)。 2．復數(shù)的模與共軛復數(shù)的關(guān)系： z＝|z|2＝||2。 3．兩個注意點： (1)兩個虛數(shù)不能比較大小。 (2)利用復數(shù)相等a＋bi＝c＋di列方程時，注意a，b，c，d∈R的前提條件。 小|題|快|練 一 、走進教材 1．(選修2－

5、2P106A組T2改編)若復數(shù)(a2－3a＋2)＋(a－1)i是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．1或2　　　 D．－1 【解析】　依題意，有解得a＝2。故選B。 【答案】　B 2．(選修2－2P112A組T5(3)改編)復數(shù)2的共軛復數(shù)是(　　) A．2－i B．2＋i C．3－4i D．3＋4i 【解析】　2＝2＝(2＋i)2＝3＋4i所以其共軛復數(shù)是3－4i。故選C。 【答案】　C 二、雙基查驗 1．(2016全國卷Ⅱ)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復平面內(nèi)對應的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－3,1)

6、 B．(－1,3) C．(1，＋∞) D．(－∞，－3) 【解析】　由已知可得復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點的坐標為(m＋3，m－1)，所以解得－3

7、＝1，b＝－1 【解析】　由(a＋i)i＝b＋i，得－1＋ai＝b＋i，根據(jù)兩復數(shù)相等的充要條件得a＝1，b＝－1。故選D。 【答案】　D 4．若復數(shù)z滿足＝2i，則z對應的點位于第______象限。 【解析】　z＝2i(1＋i)＝－2＋2i，因此z對應的點為(－2,2)，在第二象限內(nèi)。 【答案】　二 5．若復數(shù)z滿足z＋i＝，則|z|＝________。 【解析】　因為z＝－i＝1－3i－i＝1－4i，則|z|＝。 【答案】　 微考點　大課堂 考點一 復數(shù)的有關(guān)概念 【典例1】　(1)設x∈R，則“x＝1”是“復數(shù)z＝(x2－1)＋(x＋1)i為純虛數(shù)”的(

8、　　) A．充分不必要條件　　 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)若a＋bi＝(i是虛數(shù)單位，a，b∈R)，則ab＝(　　) A．－2　　　 B．－1　　　 C．1　　　 D．2 (3)設復數(shù)z＝－1－i(i為虛數(shù)單位)，z的共軛復數(shù)為，則|(1－z)|＝(　　) A. B．2 C. D．1 【解析】　(1)由純虛數(shù)的定義知： ?x＝1，故選C。 (2)a＋bi＝＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－2。 故選A。 (3)依題意得(1－z)＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，則|(1－z)|＝|－3＋i|＝＝。故選

9、A。 【答案】　(1)C　(2)A　(3)A 反思歸納　1.復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復數(shù)的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可。 2．解題時一定要先看復數(shù)是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部。 【變式訓練】　(1)設i是虛數(shù)單位，若復數(shù)a－(a∈R)是純虛數(shù)，則a的值為(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 (2)若復數(shù)z＝1＋i(i為虛數(shù)單位)，是z的共軛復數(shù)，則z2＋2的虛部為(　　) A．0 B．－1 C．1 D．－2 【解析】　(1)∵a－＝a－＝

10、(a－3)－i為純虛數(shù)，∴a－3＝0，即a＝3。故選D。 (2)∵z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋2的虛部為0。故選A。 【答案】　(1)D　(2)A 考點二 復數(shù)的幾何意義 【典例2】　(1)(2016太原模擬)復數(shù)z＝(i為虛數(shù)單位)，z在復平面內(nèi)所對應的點在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)(2015陜西高考)設復數(shù)z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(　　) A.＋ B.＋ C.－ D.－ 【解析】　(1)因為z＝＝＝＝＝＋i，所以z在復平面內(nèi)所對應的點在第一象

11、限。故選A。 (2)由|z|≤1知復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點構(gòu)成的區(qū)域是以(1,0)為圓心，以1為半徑的圓及其內(nèi)部，右圖中陰影部分表示在圓內(nèi)(包括邊界)且滿足y≥x的區(qū)域，該區(qū)域的面積為π－11＝π－，故滿足y≥x的概率為＝－。故選D。 【答案】　(1)A　(2)D 反思歸納　1.復數(shù)z、復平面上的點Z及向量一一對應，即z＝a＋bi，(a，b∈R)?Z(a，b)?。 2．由于復數(shù)、點、向量之間建立了一一對應的關(guān)系，因此可把復數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數(shù)形結(jié)合的方法，使問題的解決更加直觀。 【變式訓練】　(1)如圖，若向量對應的復數(shù)為z，則z＋表示的復數(shù)為(　　)

12、 A．1＋3i 　　　 B．－3－i C．3－i 　　　 D．3＋i (2)已知復數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R，x≠0)且|z－2|＝，則的取值范圍為________。 【解析】　(1)由圖可得Z(1，－1)，即z＝1－i，所以z＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋＝1－i＋2＋2i＝3＋i。故選D。 (2)因為|z－2|＝|x－2＋yi|，|z－2|＝， 所以(x－2)2＋y2＝3。 設＝k，則y＝kx。聯(lián)立 化簡為(1＋k2)x2－4x＋1＝0。 因為直線y＝kx與圓有公共點，所以Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－≤k≤，所以的取值范圍為[－，]。 【答案】　(1)D　

13、(2)[－，] 考點三 復數(shù)的運算 【典例3】　(1)(2016全國卷Ⅲ)若z＝4＋3i，則＝(　　) A．1 B．－1 C.＋i D.－i (2)(2016全國卷Ⅲ)若z＝1＋2i，則＝(　　) A．1 B．－1 C．i D．－i (3)(2016全國卷Ⅰ)設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數(shù)，則|x＋yi|＝(　　) A．1 B. C. D．2 【解析】　(1)＝＝－i。故選D。 (2)＝＝i。 (3)因為(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y(tǒng)＝1， |x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故選B。 【答案】　(1)D　(

14、2)C　(3)B 反思歸納　(1)復數(shù)的乘法。復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別合并即可。 (2)復數(shù)的除法。除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式。 (3)利用復數(shù)相等求參數(shù)。a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)。 【變式訓練】　(1)＝(　　) A．1＋i B．－1＋i C．1－i D．－1－i (2)設復數(shù)z滿足(z－2i)(2－i)＝5，則z＝(　　) A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i 【解析】　(1)＝＝＝

15、－1－i，故選D。 (2)z＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i。 故選A。 【答案】　(1)D　(2)A 微考場　新提升 1．(2016山東高考)若復數(shù)z＝，其中i為虛數(shù)單位，則＝(　　) A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i 解析　易知z＝1＋i，所以＝1－i。故選B。 答案　B 2．(2016全國卷Ⅱ)設復數(shù)z滿足z＋i＝3－i，則＝(　　) A．－1＋2i B．1－2i C．3＋2i D．3－2i 解析　易知z＝3－2i，所以＝3＋2i。故選C。 答案　C 3．設z1，z2是復數(shù)，則下列命題中的假命題是(　　) A．

16、若|z1－z2|＝0，則1＝2 B．若z1＝2，則1＝z2 C．若|z1|＝|z2|，則z11＝z22 D．若|z1|＝|z2|，則z＝z 解析　對于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?1＝2，是真命題；對于B，C易判斷是真命題；對于D，若z1＝2，z2＝1＋i，則|z1|＝|z2|，但z＝4，z＝－2＋2i，是假命題。故選D。 答案　D 4．(2017浙江模擬)已知i是虛數(shù)單位，若＝b＋i(a，b∈R)，則ab的值為________。 解析　由＝b＋i，得＝＝3－ai＝b＋i，所以b＝3，a＝－1，則ab＝－3。 答案　－3 5．已知a∈R，若為實數(shù)，則a＝________。 解析?。剑剑剑玦， ∵為實數(shù)，∴＝0，∴a＝－。 答案?。? 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375