高中數(shù)學(xué) 章末綜合測評(píng)1 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 新人教A版選修22

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1、 章末綜合測評(píng)(一)　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 (滿分：150分　時(shí)間：120分鐘) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(　　) A．(cos x)′＝sin x B．′＝cos C．′＝－ D．′＝ D　[A錯(cuò)誤，(cos x)′＝－sin x；B錯(cuò)誤；′＝0；C錯(cuò)誤；′＝－；D正確．] 2．如果物體的運(yùn)動(dòng)方程為s＝＋2t(t＞1)，其中s的單位是米，t的單位是秒，那么物體在2秒末的瞬時(shí)速度是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062115】 A.米/秒 B.米/秒 C.米/

2、秒 D.米/秒 A　[∵s＝s(t)＝＋2t，∴s′(t)＝－＋2. 故物體在2秒末的瞬時(shí)速度s′(2)＝－＋2＝.] 3．曲線y＝在點(diǎn)(－1，－1)處的切線方程為(　　) A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1 C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2 A　[∵y′＝＝， ∴k＝y(tǒng)′|x＝－1＝＝2， ∴切線方程為：y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.] 4．若函數(shù)f(x)＝x3－f′(1)x2－x，則f′(1)的值為(　　) A．0 B．2 C．1 D．－1 A　[∵f(x)＝x3－f′(1)x2－x， ∴f′(x)＝x2－2f′(1)x－1， ∴f′(1)＝1－

3、2f′(1)－1，∴f′(1)＝0.] 5．函數(shù)f(x)＝xe－x的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A．[－1,0] B．[2,8] C．[1,2] D．[0,2] A　[f(x)＝xe－x，則f′(x)＝＝， 令f′(x)＞0，得x＜1，故增區(qū)間為(－∞，1)， 又因?yàn)閇－1,0]?(－∞，1)，故選A.] 6．函數(shù)f(x)＝exsin x在區(qū)間上的值域?yàn)?　　) A．[0，e] B．(0，e) C．[0，e) D．(0，e] A　[f′(x)＝ex(sin x＋cos x)．∵x∈，f′(x)＞0. ∴f(x)在上是單調(diào)增函數(shù)， ∴f(x)min＝f(0)＝0，f(x)

4、max＝f＝e.] 7．一物體以速度v＝3t2＋2t(單位：m/s)做直線運(yùn)動(dòng)，則它在t＝0 s到t＝3 s時(shí)間段內(nèi)的位移是(　　) A．31 m B．36 m C．38 m D．40 m B　[S＝(3t2＋2t)dt＝(t3＋t2)|＝33＋32＝36(m)．] 8．函數(shù)f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062116】 A．2 B．1 C．0 D．由a確定 C　[f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3(x＋1)2≥0，∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，無極值．故選C.] 9．已知f(x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R

5、且ab≠0)的圖象如圖1所示，若|x1|＞|x2|，則有(　　) 圖1 A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＜0，b＜0 C．a(chǎn)＜0，b＞0 D．a(chǎn)＞0，b＜0 B　[∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋1有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且|x1|＞|x2|， 由圖可知x1＋x2＝－＜0，且x1是極小值點(diǎn)，∴a＜0，b＜0.] 10．若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為(　　) A．－1 B．－2e－3 C．5e－3 D．1 A　[f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1， 則f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]e－3＝0?a＝

6、－1， 則f(x)＝(x2－x－1)ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1， 令f′(x)＝0， 得x＝－2或x＝1， 當(dāng)x＜－2或x＞1時(shí)，f′(x)＞0， 當(dāng)－2＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0， 則f(x)極小值為f(1)＝－1.] 11．設(shè)函數(shù)f(x)＝x－ln x(x＞0)，則y＝f(x)(　　) A．在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均有零點(diǎn) B．在區(qū)間，(1，e)內(nèi)均無零點(diǎn) C．在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點(diǎn) D．在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn) D　[f′(x)＝－＝，令f′(x)＝0，得x＝3，當(dāng)0＜x＜3時(shí)，f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在區(qū)

7、間(0,3)上為減函數(shù)．又f(1)＝＞0，f(e)＝－1＜0，f＝＋1＞0，所以y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點(diǎn)．] 12．設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′(x)－f(x)＜0，則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062117】 A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞) A　[當(dāng)x＞0時(shí)，令F(x)＝，則F′(x)＝＜0， ∴當(dāng)x＞0時(shí)， F(x)＝為減函數(shù)． ∵f(x)為奇函數(shù)，且由f(

8、－1)＝0，得f(1)＝0，故F(1)＝0. 在區(qū)間(0,1)上，F(xiàn)(x)＞0；在(1，＋∞)上，F(xiàn)(x)＜0. 即當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f(x)＞0； 當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＜0. 又f(x)為奇函數(shù)， ∴當(dāng)x∈(－∞，－1)時(shí)，f(x)＞0； 當(dāng)x∈(－1,0)時(shí)，f(x)＜0. 綜上可知，f(x)＞0的解集為(－∞，－1)∪(0,1)．] 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，將答案填在題中的橫線上) 13． (3x＋sin x)dx＝__________. [解析]　 ＝－(0－cos 0)＝＋1. [答案]　＋1 14．若曲線y＝e－x上點(diǎn)P處的切線平

9、行于直線2x＋y＋1＝0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________． [解析]　設(shè)P(x0，y0)，∵y＝e－x，∴y′＝－e－x， ∴點(diǎn)P處的切線斜率為k＝－e－x0＝－2， ∴－x0＝ln 2，∴x0＝－ln 2，∴y0＝eln 2＝2， ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－ln 2,2)． [答案]　(－ln 2,2) 15．直線y＝a與函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖象有三個(gè)相異的公共點(diǎn)，則a的取值范圍是__________． [解析]　令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝1， 可求得f(x)的極大值為f(－1)＝2， 極小值為f(1)＝－2， 如圖所示，－2

10、答案]　(－2,2) 16．用長為18 cm的鋼條圍成一個(gè)長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為2∶1，則該長方體的長、寬、高分別為________時(shí)，其體積最大. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062118】 [解析]　設(shè)長、寬、高分別2x，x，h，則4(2x＋x＋h)＝18，h＝－3x，∴V＝2xxh＝2x2＝－6x3＋9x2，由V′＝0得x＝1或x＝0(舍去)． ∴x＝1是函數(shù)V在(0，＋∞)上唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，故長、寬、高分別為2 cm,1 cm， cm時(shí)，體積最大． [答案]　2　1　 三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 1

11、7．(本小題滿分10分)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是折線段ABC，其中A(0,0)，B，C(1,0)，求函數(shù)y＝xf(x)(0≤x≤1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積． [解]　根據(jù)題意，得到 f(x)＝， 從而得到y(tǒng)＝xf(x)＝ 所以圍成的面積為S＝ (－2x2＋2x)dx ＝. 18．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3－3(a＋1)x2＋6ax＋8，其中a∈R.已知f(x)在x＝3處取得極值． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)在點(diǎn)A(1,16)處的切線方程． [解]　(1)f′(x)＝6x2－6(a＋1)x＋6a. ∵f(x)在x＝3處取得極值，

12、∴f′(3)＝69－6(a＋1)3＋6a＝0， 解得a＝3. ∴f(x)＝2x3－12x2＋18x＋8. (2)A點(diǎn)在f(x)上， 由(1)可知f′(x)＝6x2－24x＋18， f′(1)＝6－24＋18＝0， ∴切線方程為y＝16. 19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex＋a(x－1)2.討論f(x)的單調(diào)性. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062119】 [解]　f′(x)＝(x－1)ex＋2a(x－1)＝(x－1)(ex＋2a)． (1)設(shè)a≥0，則當(dāng)x∈(－∞，1)時(shí)，f′(x)＜0； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0. 所以f(x)在(－∞，1)上

13、單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增． (2)設(shè)a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)． ①若a＝－，則f′(x)＝(x－1)(ex－e)， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增． ②若a＞－，則ln(－2a)＜1， 故當(dāng)x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0； 當(dāng)x∈(ln(－2a)，1)時(shí)，f′(x)＜0. 所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(ln(－2a)，1)上單調(diào)遞減． ③若a＜－，則ln(－2a)＞1， 故當(dāng)x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0； 當(dāng)x∈(1，ln(－2a

14、))時(shí)，f′(x)＜0. 所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，ln(－2a))上單調(diào)遞減． 20．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2時(shí)取得極值． (1)求a，b的值； (2)若對(duì)任意的x∈[0,3]，都有f(x)

15、2)． 當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，f′(x)>0； 當(dāng)x∈[1,2]時(shí)，f′(x)<0； 當(dāng)x∈(2,3]時(shí)，f′(x)>0. 所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極大值f(1)＝5＋8c，當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得極小值f(2)＝4＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c. 所以當(dāng)x∈[0,3]時(shí)，f(x)的最大值為f(3)＝9＋8c. 因?yàn)閷?duì)于任意的x∈[0,3]，有f(x)9. 故c的取值范圍為(－∞，－1)∪(9，＋∞)． 21．(本小題滿分12分)某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高

16、為h米，體積為V m3.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/m2，底面的建造成本為160元/m2，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)． (1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域； (2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大． [解]　(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為1002πrh＝200πrh(元)， 底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元． 又根據(jù)題意200πrh＋160πr2＝12 000π， 所以h＝(300－4r2)，從而 V(r)＝πr2h＝(300r－

17、4r3)． 因?yàn)閞>0，又由h>0可得r<5， 故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,5)． (2)因?yàn)閂(r)＝(300r－4r3)， 所以V′(r)＝(300－12r2)． 令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(因?yàn)閞2＝－5不在定義域內(nèi)，舍去)． 當(dāng)r∈(0,5)時(shí)，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)； 當(dāng)r∈(5,5)時(shí)，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上為減函數(shù)． 由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時(shí)h＝8. 即當(dāng)r＝5，h＝8時(shí)，該蓄水池的體積最大． 22．(本小題滿分12分)拋物線y＝ax2＋bx在第一象限內(nèi)與直線x＋y＝4相切．此拋

18、物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S.求使S達(dá)到最大值的a，b值，并求S的最大值. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：31062120】 [解]　由題設(shè)可知拋物線為凸形，它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1＝0，x2＝－， 所以S＝， ① 又直線x＋y＝4與拋物線y＝ax2＋bx相切，即它們有唯一的公共點(diǎn)， 由方程組得 ax2＋(b＋1)x－4＝0，其判別式Δ＝0， 即(b＋1)2＋16a＝0. 于是a＝－(b＋1)2，代入①式得： S(b)＝(b>0)，S′(b)＝； 令S′(b)＝0，得b＝3，且當(dāng)00； 當(dāng)b>3時(shí)，S′(b)<0. 故在b＝3時(shí)，S(b)取得極大值，也是最大值， 即a＝－1，b＝3時(shí)，S取得最大值， 且Smax＝. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375