高中數(shù)學 課時分層作業(yè)12 拋物線及其標準方程 新人教A版選修21

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1、 課時分層作業(yè)(十二) 拋物線及其標準方程 (建議用時：40分鐘) [基礎達標練] 一、選擇題 1．準線與x軸垂直，且經(jīng)過點(1，－)的拋物線的標準方程是(　　) A．y2＝－2x　　　　 B．y2＝2x C．x2＝2y D．x2＝－2y B　[由題意可設拋物線的標準方程為y2＝ax，則(－)2＝a，解得a＝2，因此拋物線的標準方程為y2＝2x，故選B．] 2．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸為x軸，焦點在雙曲線－＝1上，則拋物線的方程為(　　) 【導學號：46342108】 A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝2x D．y2＝8x D　[由題意拋物線的焦點坐標

2、為(2,0)或(－2,0)，因此拋物線方程為y2＝8x.] 3．設拋物線y2＝8x上一點P到y(tǒng)軸的距離是4，則點P到該拋物線焦點的距離是(　　) A．4　　 B．6　　　　C．8　　　　D．12 B　[拋物線y2＝8x的準線方程為x＝－2，則點P到準線的距離為6，即點P到拋物線焦點的距離是6.] 4．已知點A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為(　　) A．－ B．－1 C．－ D．－ C　[拋物線的準線方程為x＝－2，則焦點為F(2,0)．從而kAF＝＝－.] 5．如圖242，南北方向的公路l，A地在公路正東2 km處，

3、B地在A東偏北30方向2km處，河流沿岸曲線PQ上任意一點到公路l和到A地距離相等．現(xiàn)要在曲線PQ上建一座碼頭，向A、B兩地運貨物，經(jīng)測算，從M到A、到B修建費用都為a萬元/km，那么，修建這條公路的總費用最低是(　　)萬元． 圖242 A．(2＋)a B．2(＋1)a C．5a D．6a C　[依題意知曲線PQ是以A為焦點、l為準線的拋物線，根據(jù)拋物線的定義知：欲求從M到A，B修建公路的費用最低，只須求出B到直線l距離即可，因B地在A地東偏北30方向2km處， ∴B到點A的水平距離為3(km)， ∴B到直線l距離為：3＋2＝5(km)， 那么修建這兩條公路的總費用最低為：5

4、a(萬元)，故選C．] 二、填空題 6．拋物線y＝2x2的準線方程為________． y＝－　[化方程為標準方程為x2＝y(tǒng)，故＝，開口向上， ∴準線方程為y＝－.] 7．拋物線y＝－x2上的動點M到兩定點F(0，－1)，E(1，－3)的距離之和的最小值為________． 4　[拋物線標準方程為x2＝－4y，其焦點坐標為(0，－1)，準線方程為y＝1，則|MF|的長度等于點M到準線y＝1的距離，從而點M到兩定點F，E的距離之和的最小值為點E(1，－3)到直線y＝1的距離．即最小值為4.] 8．對于標準形式的拋物線，給出下列條件： ①焦點在y軸上；②焦點在x軸上；③拋物線上橫坐

5、標為1的點到焦點的距離等于6；④由原點向過焦點的某直線作垂線，垂足坐標為(2,1)． 其中滿足拋物線方程為y2＝10x的是________．(要求填寫適合條件的序號) ②④　[拋物線y2＝10x的焦點在x軸上，②滿足，①不滿足；設M(1，y0)是y2＝10x上的一點，則|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不滿足；由于拋物線y2＝10x的焦點為，過該焦點的直線方程為y＝k，若由原點向該直線作垂線，垂足為(2,1)時，則k＝－2，此時存在，所以④滿足．] 三、解答題 9．設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，曲線y＝(k＞0)與C交于點P，PF⊥x軸，求k的值． [解]　根據(jù)拋物線的方程求出焦

6、點坐標，利用PF⊥x軸，知點P，F(xiàn)的橫坐標相等，再根據(jù)點P在曲線y＝上求出k. ∵y2＝4x，∴F(1,0)． 又∵曲線y＝(k＞0)與C交于點P，PF⊥x軸，∴P(1,2)． 將點P(1,2)的坐標代入y＝(k＞0)得k＝2. 10．如圖243是拋物線形拱橋，設水面寬|AB|＝18米，拱頂距離水面8米，一貨船在水面上的部分的橫斷面為一矩形CDEF.若|CD|＝9米，那么|DE|不超過多少米才能使貨船通過拱橋？ 【導學號：46342109】 圖243 [解]　如圖所示，以點O為原點，過點O且平行于AB的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，則B(9，－8

7、)． 設拋物線方程為x2＝－2py(p>0)． ∵B點在拋物線上，∴81＝－2p(－8)， ∴p＝，∴拋物線的方程為x2＝－y. 當x＝時，y＝－2，即|DE|＝8－2＝6. ∴|DE|不超過6米才能使貨船通過拱橋． [能力提升練] 1．已知P為拋物線y2＝4x上的一個動點，直線l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，則P到直線l1，l2的距離之和的最小值為(　　) A．2 B．4 C． D．＋1 A　[將P點到直線l1：x＝－1的距離轉化為點P到焦點F(1,0)的距離，過點F作直線l2的垂線，交拋物線于點P，此即為所求最小值點，∴P到兩直線的距離之和的最小值為＝2，

8、故選A．] 2．已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　) A．x2＝y(tǒng) B．x2＝y(tǒng) C．x2＝8y D．x2＝16y D　[由e2＝1＋＝4得＝，則雙曲線的漸近線方程為y＝x，即xy＝0 拋物線C2的焦點坐標為， 則有＝2，解得p＝8 故拋物線C2的方程為x2＝16y.] 3．拋物線y2＝2x上的兩點A，B到焦點的距離之和是5，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離是________． 2　[拋物線y2＝2x的焦點為F，準線方程為x＝－，設A(x1，y1)，B(x2，y

9、2)，則|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故線段AB的中點橫坐標為2.故線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2.] 4．在拋物線y2＝－12x上，與焦點的距離等于9的點的坐標是________． (－6,6)或(－6，－6)　[設所求點為P(x，y)，拋物線y2＝－12x的準線方程為x＝3，由題意知3－x＝9，即x＝－6. 代入y2＝－12x，得y2＝72，即y＝6. 因此P(－6,6)或P(－6，－6)．] 5．如圖244，已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4，且位于x軸上方的點，點A到拋物線準線的距離等于5，過點A作AB垂直于y軸，

10、垂足為點B，OB的中點為M. 圖244 (1)求拋物線的方程； (2)過點M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標. 【導學號：46342110】 [解]　(1)拋物線y2＝2px的準線方程為x＝－， 于是4＋＝5，p＝2， 所以拋物線的方程為y2＝4x. (2)由題意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)． 又F(1,0)，所以kAF＝，則FA的方程為y＝(x－1)． 因為MN⊥FA，所以kMN＝－， 則MN的方程為y＝－x＋2. 解方程組，得， 所以N. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375