《高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 3.2 復數(shù)代數(shù)形式的四則運算 3.2.1 復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算及其幾何意義學案 新人教A版選修22》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學 第三章 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 3.2 復數(shù)代數(shù)形式的四則運算 3.2.1 復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算及其幾何意義學案 新人教A版選修22(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
3.2.1 復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算及其幾何意義
學習目標:1.掌握復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算法則.(重點)2.了解復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義.(易錯點)
[自 主 預 習探 新 知]
1.復數(shù)加法與減法的運算法則
(1)設(shè)z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個復數(shù),則
①z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
②z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
(2)對任意z1,z2,z3∈C,有
①z1+z2=z2+z1;
②(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
2.復數(shù)加減法的幾何意義
如圖321,設(shè)復數(shù)z1,z2對應(yīng)向量分別為1,2,四邊形OZ1ZZ2為
2、平行四邊形,向量與復數(shù)z1+z2對應(yīng),向量與復數(shù)z1-z2對應(yīng).
圖321
思考:類比絕對值|x-x0|的幾何意義,|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義是什么?
[提示] |z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義是復平面內(nèi)點Z到點Z0的距離.
[基礎(chǔ)自測]
1.思考辨析
(1)復數(shù)加法的運算法則類同于實數(shù)的加法法則.( )
(2)復數(shù)與復數(shù)相加減后結(jié)果為復數(shù).( )
(3)復數(shù)加減法的幾何意義類同于向量加減法運算的幾何意義.( )
[答案] (1) √ (2)√ (3) √
2.已知復數(shù)z1=3+4i,z2=3-4i,則z1+z2= ( )
【導學號:31
3、062210】
A.8i B.6
C.6+8i D.6-8i
B [z1+z2=3+4i+3-4i=(3+3)+(4-4)i=6.]
3.復數(shù)(1-i)-(2+i)+3i等于( )
A.-1+i B.1-i
C.i D.-i
A [(1-i)-(2+i)+3i=(1-2)+(-i-i+3i)=-1+i.故選A.]
4.已知復數(shù)z+3i-3=3-3i,則z=( )
A.0 B.6i
C.6 D.6-6i
D [∵z+3i-3=3-3i,
∴z=(3-3i)-(3i-3)=6-6i.]
5.已知向量1對應(yīng)的復數(shù)為2-3i,向量2對應(yīng)的復數(shù)為3-4i,則
4、向量對應(yīng)的復數(shù)為________.
[解析]?。剑?3-4i)-(2-3i)=1-i.
[答案] 1-i
[合 作 探 究攻 重 難]
復數(shù)加減法的運算
(1)計算:(2-3i)+(-4+2i)=________.
(2)已知z1=(3x-4y)+(y-2x)i,z2=(-2x+y)+(x-3y)i,x,y為實數(shù),若z1-z2=5-3i,則|z1+z2|=________.
[解析] (1)(2-3i)+(-4+2i)=(2-4)+(-3+2)i=-2-i.
(2)z1-z2=[(3x-4y)+(y-2x)i]-[(-2x+y)+(x-3y)i]=[(3x-4y)-(-
5、2x+y)]+[(y-2x)-(x-3y)]i=(5x-5y)+(-3x+4y)i=5-3i,
所以
解得x=1,y=0,
所以z1=3-2i,z2=-2+i,則z1+z2=1-i,
所以|z1+z2|=.
[答案] (1)-2-i (2)
[規(guī)律方法] 復數(shù)與復數(shù)相加減,相當于多項式加減法的合并同類項,將兩個復數(shù)的實部與實部相加(減),虛部與虛部相加(減).
[跟蹤訓練]
1.計算:
(1)(3+5i)+(3-4i)=________.
(2)(-3+2i)-(4-5i)=________.
(3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=________. 【導學號
6、:31062211】
[解析] (1)(3+5i)+(3-4i)
=(3+3)+(5-4)i=6+i.
(2)(-3+2i)-(4-5i)=(-3-4)+(2+5)i=-7+7i.
(3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=(5-2-3)+(-6-2-3)i=-11i.
[答案] (1)6+i (2)-7+7i (3)-11i
復數(shù)加減運算的幾何意義
(1)復數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=.則|z1-z2|=________.
(2)如圖322,平行四邊形OABC的頂點O、A、C對應(yīng)復數(shù)分別為0、3+2i、-2+4i,試求
圖322
7、
①所表示的復數(shù),所表示的復數(shù);
②對角線所表示的復數(shù);
③對角線所表示的復數(shù)及的長度.
[解析] (1)由|z1|=|z2|=1,|z1+z2|=,知z1,z2,z1+z2對應(yīng)的點是一個邊長為1的正方形的三個頂點,所求|z1-z2|是這個正方形的一條對角線長,所以|z1-z2|=.
(2)①=-,∴所表示的復數(shù)為-3-2i.
∵=,∴所表示的復數(shù)為-3-2i.
②∵=-.
∴所表示的復數(shù)為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
③對角線=+,它所對應(yīng)的復數(shù)z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,||==.
[規(guī)律方法] 1.用復數(shù)加、減運算的幾何意義解題的技巧
8、
(1)形轉(zhuǎn)化為數(shù):利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復數(shù)運算去處理.
(2)數(shù)轉(zhuǎn)化為形:對于一些復數(shù)運算也可以給予幾何解釋,使復數(shù)作為工具運用于幾何之中.
2.常見結(jié)論?jù)?
在復平面內(nèi),z1,z2對應(yīng)的點分別為A,B,z1+z2對應(yīng)的點為C,O為坐標原點,則四邊形OACB 為平行四邊形;若|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為矩形;若|z1|=|z2|,則四邊形OACB為菱形;若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,則四邊形OACB為正方形.
[跟蹤訓練]
2.復數(shù)z1=1+2i,z2=-2+i,z3=-1-2i,它們在復平面上的對應(yīng)點是一個正方形
9、的三個頂點,求這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復數(shù).
【導學號:31062212】
[解] 設(shè)復數(shù)z1,z2,z3在復平面內(nèi)所對應(yīng)的點分別為A,B,C,正方形的第四個頂點D對應(yīng)的復數(shù)為x+yi(x,y∈R),如圖.
則=-=(x,y)-(1,2)=(x-1,y-2).
=-=(-1,-2)-(-2,1)=(1,-3).
∵=,∴,解得,故點D對應(yīng)的復數(shù)為2-i.
復數(shù)模的最值問題
[探究問題]
1.滿足|z|=1的所有復數(shù)z對應(yīng)的點組成什么圖形?
提示:滿足|z|=1的所有復數(shù)z對應(yīng)的點在以原點為圓心,半徑為1的圓上.
2.若|z-1|=|z+1|,則復數(shù)z對應(yīng)的點組成什
10、么圖形?
提示:∵|z-1|=|z+1|,∴點Z到(1,0)和(-1,0)的距離相等,即點Z在以(1,0)和(-1,0)為端點的線段的中垂線上.
3.復數(shù)|z1-z2|的幾何意義是什么?
提示:復數(shù)|z1-z2|表示復數(shù)z1,z2對應(yīng)兩點Z1與Z2間的距離.
(1)如果復數(shù)z滿足|z+i|+|z-i|=2,那么|z+i+1|的最小值是( )
A.1 B.
C.2 D.
(2)若復數(shù)z滿足|z++i|≤1,求|z|的最大值和最小值.
(1)A [設(shè)復數(shù)-i,i,-1-i在復平面內(nèi)對應(yīng)的點分別為Z1,Z2,Z3,因為|z+i|+|z-i|=2, |Z1Z2|
11、=2,所以點Z的集合為線段Z1Z2.
問題轉(zhuǎn)化為:動點Z在線段Z1Z2上移動,求|ZZ3|的最小值,因為|Z1Z3|=1.
所以|z+i+1|min=1.]
(2)如圖所示, ||==2.
所以|z|max=2+1=3,|z|min=2-1=1.
母題探究:1.(變條件)若本例題(2)條件改為“設(shè)復數(shù)z滿足|z-3-4i|=1”,求|z|的最大值.
[解] 因為|z-3-4i|=1,所以復數(shù)z所對應(yīng)的點在以C(3,4)為圓心,半徑為1的圓上,由幾何性質(zhì)得|z|的最大值是+1=6.
2.(變條件)若本例題(2)條件改為已知|z|=1且z∈C,求|z-2-2i|(i為虛數(shù)單位)的
12、最小值.
[解] 因為|z|=1且z∈C,作圖如圖:
所以|z-2-2i|的幾何意義為單位圓上的點M到復平面上的點P(2,2)的距離,所以|z-2-2i|的最小值為|OP|-1=2-1.
[規(guī)律方法] |z1-z2|表示復平面內(nèi)z1,z2對應(yīng)的兩點間的距離.利用此性質(zhì),可把復數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為復平面內(nèi)兩點間的距離問題,從而進行數(shù)形結(jié)合,把復數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何圖形問題求解.
[當 堂 達 標固 雙 基]
1. a,b為實數(shù),設(shè)z1=2+bi,z2=a+i,當z1+z2=0時,復數(shù)a+bi為
( ) 【導學號:31062213】
A.1+i B.2+i
C.3 D.-2-i
D
13、[∵z1=2+bi,z2=a+i,∴z1+z2=2+bi+(a+i)=0,所以a=-2,b=-1,即a+bi=-2-i]
2.已知z1=2+i,z2=1+2i,則復數(shù)z=z2-z1對應(yīng)的點位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
B [z=z2-z1=(1+2i)-(2+i)=-1+i,實部小于零,虛部大于零,故位于第二象限.]
3.計算|(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=________.
[解析] |(3-i)+(-1+2i)-(-1-3i)|=|(2+i)-(-1-3i)|=|3+4i|==5.
[答案] 5
4.已知復數(shù)z1=(a
14、2-2)+(a-4)i,z2=a-(a2-2)i(a∈R),且z1-z2為純虛數(shù),則a=________.
[解析] z1-z2=(a2-a-2)+(a-4+a2-2)i(a∈R)為純虛數(shù),∴
解得a=-1.
[答案]?。?
5.在復平面內(nèi),復數(shù)-3-i與5+i對應(yīng)的向量分別是與,其中O是原點,求向量+,對應(yīng)的復數(shù)及A,B兩點間的距離.
【導學號:31062214】
[解] 向量+對應(yīng)的復數(shù)為(-3-i)+(5+i)=2.
∵=-,∴向量對應(yīng)的復數(shù)為
(-3-i)-(5+i)=-8-2i.
∴A,B兩點間的距離為
|-8-2i|==2.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375