高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 習(xí)題課 兩個計數(shù)原理與排列、組合學(xué)案 新人教A版選修23

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1、 習(xí)題課　兩個計數(shù)原理與排列、組合 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.進一步理解和掌握分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.進一步加深理解排列與組合的概念.3.能綜合運用排列、組合解決計數(shù)問題． 1．兩個計數(shù)原理 (1)分類加法計數(shù)原理 (2)分步乘法計數(shù)原理 2．排列、組合綜合題的一般解法 一般堅持先組后排的原則，即先選元素后排列，同時注意按元素性質(zhì)分類或按事件的發(fā)生過程分類． 3．解析受限制條件的排列、組合問題的一般策略 (1)特殊元素優(yōu)先安排的策略； (2)正難則反，等價轉(zhuǎn)化的策略； (3)相鄰問題，捆綁處理的策略； (4)不相鄰問題，插空處理的策略； (5)定序問題

2、，除法處理的策略； (6)“小集團”排列問題，先整體后局部的策略； (7)平均分組問題，除法處理的策略； (8)構(gòu)造模型的策略． 類型一　兩個計數(shù)原理的應(yīng)用 例1　電視臺在某節(jié)目中拿出兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有________種不同的結(jié)果． 考點　兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系 題點　兩個原理的簡單綜合應(yīng)用 答案　28 800 解析　在甲箱或乙箱中抽取幸運之星，決定了后邊選幸運伙伴是不同的，故要分兩類分別計算：(1)幸運之星

3、在甲箱中抽，先確定幸運之星，再在兩箱中各確定一名幸運伙伴，有302920＝17 400(種)結(jié)果；(2)幸運之星在乙箱中抽，同理有201930＝11 400(種)結(jié)果．因此共有17 400＋11 400＝28 800(種)不同結(jié)果． 反思與感悟　用流程圖描述計數(shù)問題，類中有步的情形如圖所示： 具體意義如下： 從A到B算作一件事的完成，完成這件事有兩類辦法，在第1類辦法中有3步，在第2類辦法中有2步，每步的方法數(shù)如圖所示． 所以，完成這件事的方法數(shù)為m1m2m3＋m4m5， “類”與“步”可進一步地理解為： “類”用“＋”號連接，“步”用“”號連接，“類”獨立，“步”連續(xù)，“類”

4、標(biāo)志一件事的完成，“步”缺一不可． 跟蹤訓(xùn)練1　現(xiàn)有4種不同顏色，要對如圖所示的四個部分進行著色，要求有公共邊界的兩部分不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有(　　) A．24種 B．30種 C．36種 D．48種 考點　涂色問題 題點　涂色問題 答案　D 解析　將原圖從上而下的4個區(qū)域標(biāo)為1,2,3,4.因為1,2,3之間不能同色，1與4可以同色，因此，要分類討論1,4同色與不同色這兩種情況．故不同的著色方法種數(shù)為432＋4321＝48.故選D. 例2　有4位同學(xué)在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，

5、每位同學(xué)上、下午各測試一個項目，且不重復(fù)．若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測一人，則不同的安排方式共有________種．(用數(shù)字作答) 考點　兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系 題點　兩個原理的簡單綜合應(yīng)用 答案　264 解析　上午總測試方法有4321＝24(種)；我們以A，B，C，D，E依次代表五個測試項目．若上午測試E的同學(xué)下午測試D，則上午測試A的同學(xué)下午只能測試B，C，確定上午測試A的同學(xué)后其余兩位同學(xué)上、下午的測試方法共有2種；若上午測試E的同學(xué)下午測試A，B，C之一，則上午測試A，B，C中任何一個的同學(xué)下午都可以測試D，安排完這位同學(xué)后其余兩位同學(xué)

6、的測試方式就確定了，故共有33＝9(種)測試方法，即下午的測試方法共有11種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，總的測試方法共有2411＝264(種)． 反思與感悟　用流程圖描述計數(shù)問題，步中有類的情形如圖所示： 從計數(shù)的角度看，由A到D算作完成一件事，可簡單地記為A→D. 完成A→D這件事，需要經(jīng)歷三步，即A→B，B→C，C→D.其中B→C這步又分為三類，這就是步中有類． 其中mi(i＝1,2,3,4,5)表示相應(yīng)步的方法數(shù)． 完成A→D這件事的方法數(shù)為m1(m2＋m3＋m4)m5. 以上給出了處理步中有類問題的一般方法． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，使電路接通，開關(guān)不同的開閉方式共有(　

7、　) A．11 B．12 C．20 D．21 考點　兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系 題點　兩個原理的簡單綜合應(yīng)用 答案　D 解析　根據(jù)題意，設(shè)5個開關(guān)依次為1,2,3,4,5，若電路接通，則開關(guān)1,2與3,4,5中至少有1個接通， 對于開關(guān)1,2，共有22＝4(種)情況，其中全部斷開的有1種情況，則其至少有1個接通的有4－1＝3(種)情況， 對于開關(guān)3,4,5，共有222＝8(種)情況，其中全部斷開的有1種情況，則其至少有1個接通的有8－1＝7(種)情況， 則電路接通的情況有37＝21(種)．故選D. 類型二　有限制條件的排列問題 例3　3個女生和5個男生排成一排．

8、 (1)如果女生必須全排在一起，有多少種不同的排法？ (2)如果女生必須全分開，有多少種不同的排法？ (3)如果兩端都不能排女生，有多少種不同的排法？ (4)如果兩端不能都排女生，有多少種不同的排法？ (5)如果甲必須排在乙的右面(可以不相鄰)，有多少種不同的排法？ 考點　排列的應(yīng)用 題點　有限制條件的排列問題 解　(1)(捆綁法)因為3個女生必須排在一起，所以可先把她們看成一個整體，這樣同5個男生合在一起共有6個元素，排成一排有A種不同排法．對于其中的每一種排法，3個女生之間又有A種不同的排法，因此共有AA＝4 320(種)不同的排法． (2)(插空法)要保證女生全分開，可

9、先把5個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空，這樣共有4個空，加上兩邊兩個男生外側(cè)的兩個位置，共有6個位置，再把3個女生插入這6個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰．由于5個男生排成一排有A種不同的排法，對于其中任意一種排法，從上述6個位置中選出3個來讓3個女生插入有A種方法，因此共有AA＝14 400(種)不同的排法． (3)方法一　(特殊位置優(yōu)先法)因為兩端不能排女生，所以兩端只能挑選5個男生中的2個，有A種不同排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有A種排法，所以共有AA＝14 400(種)不同的排法． 方法二　(間接法)3個女生和5個男生排

10、成一排共有A種不同的排法，從中扣除女生排在首位的AA種排法和女生排在末位的AA種排法，但這樣兩端都是女生的排法在扣除女生排在首位時被扣去一次，在扣除女生排在末位時又被扣去一次，所以還需加一次，由于兩端都是女生有AA種不同的排法，所以共有A－2AA＋AA＝14 400(種)不同的排法． 方法三　(特殊元素優(yōu)先法)從中間6個位置中挑選出3個讓3個女生排入，有A種不同的排法，對于其中的任意一種排法，其余5個位置又都有A種不同的排法，所以共有AA＝14 400(種)不同的排法． (4)方法一　因為只要求兩端不能都排女生，所以如果首位排了男生，則末位就不再受條件限制了，這樣可有AA種不同的排法；如果

11、首位排女生，有A種排法，這時末位就只能排男生，這樣可有AAA種不同的排法． 因此共有AA＋AAA＝36 000(種)不同的排法． 方法二　3個女生和5個男生排成一排有A種排法，從中扣去兩端都是女生的排法有AA種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)．因此共有A－AA＝36 000(種)不同的排法． (5)(順序固定問題)因為8人排隊，其中兩人順序固定，共有＝20 160(種)不同的排法． 反思與感悟　(1)排列問題的限制條件一般表現(xiàn)為：某些元素不能在某個位置，某個位置只能放某些元素等．要先處理特殊元素或先處理特殊位置，再去排其他元素．當(dāng)用直接法比較麻煩時，可以用間接法，先不考慮限制條件，把

12、所有的排列數(shù)算出，再從中減去全部不符合條件的排列數(shù)，這種方法也稱為“去雜法”，但必須注意要不重復(fù)，不遺漏(去盡)． (2)對于某些特殊問題，可采取相對固定的特殊方法，如相鄰問題，可用“捆綁法”，即將相鄰元素看成一個整體與其他元素排列，再進行內(nèi)部排列；不相鄰問題，則用“插空法”，即先排其他元素，再將不相鄰元素排入形成的空位中． 跟蹤訓(xùn)練3　為迎接中共十九大，某校舉辦了“祖國，你好”詩歌朗誦比賽．該校高三年級準(zhǔn)備從包括甲、乙、丙在內(nèi)的7名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加，要求甲、乙、丙這3名學(xué)生中至少有1人參加，且當(dāng)這3名學(xué)生都參加時，甲和乙的朗誦順序不能相鄰，那么選派的4名學(xué)生不同的朗誦順序的種數(shù)為(

13、　　) A．720 B．768 C．810 D．816 考點　排列的應(yīng)用 題點　有限制條件的排列問題 答案　B 解析　根據(jù)題意，在7名學(xué)生中選派4名學(xué)生參加詩歌朗誦比賽，有A＝840(種)情況， 其中甲、乙、丙都沒有參加，即選派其他四人參加的情況有A＝24(種)， 則甲、乙、丙這3名學(xué)生中至少有1人參加的情況有840－24＝816(種)； 其中當(dāng)甲乙丙都參加且甲和乙相鄰的情況有CAA＝48(種)， 則滿足題意的朗誦順序有816－48＝768(種)． 故選B. 類型三　排列與組合的綜合應(yīng)用 例4　有4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的紅色卡片和4張分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3

14、,4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標(biāo)的數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有多少種？ 考點　排列組合綜合問題 題點　排列與組合的綜合應(yīng)用 解　分三類： 第一類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4時，不同的排法有CCCCA種． 第二類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,1,4,4時，不同的排法有CCA種． 第三類，當(dāng)取出的4張卡片分別標(biāo)有數(shù)字2,2,3,3時，不同的排法有CCA種． 故滿足題意的所有不同的排法種數(shù)為CCCCA＋2CCA＝432. 反思與感悟　解答排列、組合綜合問題的思路及注意點 (1)解排列、組合綜合問題的一般思路是“先選

15、后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進行排列． (2)解排列、組合綜合問題時要注意以下幾點： ①元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法，無序的問題是組合問題，有序的問題是排列問題． ②對于有多個限制條件的復(fù)雜問題，應(yīng)認真分析每個限制條件，然后再考慮是分類還是分步，這是處理排列、組合綜合問題的一般方法． 跟蹤訓(xùn)練4　某科室派出4名調(diào)研員到3個學(xué)校，調(diào)研該校高三復(fù)習(xí)備考近況，要求每個學(xué)校至少一名，則不同的分配方案種數(shù)為________． 考點　排列組合綜合問題 題點　排列與組合的綜合應(yīng)用 答案　36 解析　先從4名調(diào)研員中選2名去同一所學(xué)校有C種方案，然后與另外

16、兩名調(diào)研員進行全排列對應(yīng)三所學(xué)校，有A種方案，故共有CA＝36(種)分配方案． 1．給一些書編號，準(zhǔn)備用3個字符，其中首字符用A，B，后兩個字符用a，b，c(允許重復(fù))，則不同編號的書共有(　　) A．8本 B．9本 C．12本 D．18本 考點　分步乘法計數(shù)原理 題點　分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用 答案　D 解析　由分步乘法計數(shù)原理得，不同編號的書共有233＝18(本)． 2．在100件產(chǎn)品中，有3件是次品，現(xiàn)從中任意抽取5件，其中至少有2件次品的取法種數(shù)為(　　) A．CC B．CC＋CC C．C－CC D．C－C 考點　組合的應(yīng)用 題點　有限制條件的組合

17、問題 答案　B 解析　根據(jù)題意，“至少有2件次品”可分為“有2件次品”與“有3件次品”兩種情況，“有2件次品”的抽取方法有CC種，“有3件次品”的抽取方法有CC種，則共有CC＋CC種不同的抽取方法，故選B. 3．從4男3女志愿者中選1女2男分別到A，B，C三地去執(zhí)行任務(wù)，則不同的選派方法有(　　) A．36種 B．108種 C．210種 D．72種 考點　排列組合綜合問題 題點　排列與組合的綜合應(yīng)用 答案　B 解析　從4男3女志愿者中選1女2男有CC＝18(種)方法，分別到A，B，C地執(zhí)行任務(wù)，有A＝6(種)方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得不同的選派方法有186＝108(種

18、)． 4．8次投籃中，投中3次，其中恰有2次連續(xù)命中的情形有________種． 考點　排列的應(yīng)用 題點　排列的簡單應(yīng)用 答案　30 解析　將2次連續(xù)命中當(dāng)作一個整體，和另一次命中插入另外5次不命中留下的6個空檔里進行排列有A＝30(種)． 5．某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段，傳遞活動分別由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能從甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生，則不同的傳遞方法共有________種．(用數(shù)字作答) 考點　排列的應(yīng)用 題點　元素“在”與“不在”問題 答案　96 解析　甲傳第一棒，乙傳最后一棒，共有A種方法．乙傳第一棒，甲傳最后

19、一棒，共有A種方法．丙傳第一棒，共有CA種方法．由分類計數(shù)原理得，共有A＋A＋CA＝96(種)方法． 1．分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是兩個最基本、也是最重要的原理，是解答排列、組合問題，尤其是較復(fù)雜的排列、組合問題的基礎(chǔ)． 2．解排列、組合綜合題一般是先選元素、后排元素，或充分利用元素的性質(zhì)進行分類、分步，再利用兩個基本計數(shù)原理作最后處理． 3．對于較難直接解決的問題則可用間接法，但應(yīng)做到不重不漏． 4．對于分配問題，解題的關(guān)鍵是要搞清楚事件是否與順序有關(guān)，對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏． 一、選擇題 1．按ABO血型系統(tǒng)學(xué)說，每個人的血型為A，

20、B，O，AB型四種之一．依血型遺傳學(xué)，當(dāng)且僅當(dāng)父母中至少有一人的血型是AB型時，子女的血型一定不是O型．若某人的血型為O型，則其父母血型的所有可能情況有(　　) A．12種 B．6種 C．10種 D．9種 考點　分步乘法計數(shù)原理 題點　分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用 答案　D 解析　由題意，他的父母的血型都是A，B，O三種之一，由分步乘法計數(shù)原理知，其父母血型的所有可能情況共有33＝9(種)． 2．若C＝C，則的值為(　　) A．1 B．20 C．35 D．7 考點　排列數(shù)公式 題點　利用排列數(shù)公式計算 答案　C 解析　若C＝C，則 ＝，可得n＝7， 所以＝＝＝3

21、5. 3．在100,101,102，…，999這些數(shù)中，各位數(shù)字按嚴格遞增(如“145”)或嚴格遞減(如“321”)順序排列的數(shù)的個數(shù)是(　　) A．120 B．204 C．168 D．216 考點　排列的應(yīng)用 題點　數(shù)字的排列問題 答案　B 解析　由題意知本題是一個計數(shù)原理的應(yīng)用，首先對數(shù)字分類， 當(dāng)數(shù)字不含0時，從9個數(shù)字中選三個，則這三個數(shù)字遞增或遞減的順序可以確定兩個三位數(shù)，共有2C＝168(個)， 當(dāng)三個數(shù)字中含有0時，從9個數(shù)字中選2個數(shù)，它們只有遞減一種結(jié)果，共有C＝36(個)， 根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有168＋36＝204(個)，故選B. 4．有三對

22、師徒共6個人，站成一排照相，每對師徒相鄰的站法共有(　　) A．72種 B．54種 C．48種 D．8種 考點　排列的應(yīng)用 題點　元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案　C 解析　用分步乘法計數(shù)原理：第一步：先排每對師徒有AAA，第二步：將每對師徒當(dāng)作一個整體進行排列有A種，由分步乘法計數(shù)原理可知共有A(A)3＝48(種)． 5．用1,2,3,4,5這五個數(shù)字可以組成比20 000大，且百位數(shù)字不是3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的個數(shù)為(　　) A．96 B．78 C．72 D．64 考點　排列的應(yīng)用 題點　數(shù)字的排列問題 答案　B 解析　比20 000大含兩層含義：一

23、是萬位不是1，二是5個數(shù)字全用上，故問題等價于“由1,2,3,4,5這五個數(shù)字組成萬位不是1，百位不是3的無重復(fù)數(shù)字的個數(shù)”，萬位是3時，有A個，萬位不是3時，有33A個，所以共有A＋33A＝78(個)，故選B. 6．用六種不同的顏色給如圖所示的六個區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有(　　) A．4 320種 B．2 880種 C．1 440種 D．720種 考點　涂色問題 題點　涂色問題 答案　A 解析　第一個區(qū)域有6種不同的涂色方法，第二個區(qū)域有5種不同的涂色方法，第三個區(qū)域有4種不同的涂色方法，第四個區(qū)域有3種不同的涂色方法，第五個區(qū)域有4種不同的涂

24、色方法，第六個區(qū)域有3種不同的涂色方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，共有654343＝4 320(種)涂色方法． 7．某藥品研究所研制了5種消炎藥a1，a2，a3，a4，a5,4種退燒藥b1，b2，b3，b4，現(xiàn)從中取出兩種消炎藥和一種退燒藥同時使用進行療效實驗，但又知a1，a2兩種藥必須同時使用，且a3，b4兩種藥不能同時使用，則不同的實驗方案共有(　　) A．56種 B．28種 C．21種 D．14種 考點　組合的應(yīng)用 題點　有限制條件的組合問題 答案　D 解析　分3類：當(dāng)取a1，a2時，再取退燒藥有C種方案；取a3時，取另一種消炎藥的方法有C種，再取退燒藥有C種，共有CC種

25、方案；取a4，a5時，再取退燒藥有C種方案．故共有C＋CC＋C＝14(種)不同的實驗方案． 8．某班班會準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，當(dāng)甲、乙同時參加時，他們兩人的發(fā)言不能相鄰，那么不同發(fā)言順序的排法種數(shù)為(　　) A．360 B．520 C．600 D．720 考點　排列的應(yīng)用 題點　排列的簡單應(yīng)用 答案　C 解析　根據(jù)題意，可分兩種情況討論：①甲、乙兩人中只有一人參加，有CCA＝480(種)情況；②甲、乙兩人都參加，有CCA＝240(種)情況，其中甲、乙兩人的發(fā)言相鄰的情況有CCAA＝120(種)．故不同發(fā)言順序的排法種數(shù)為480

26、＋240－120＝600. 二、填空題 9．小明、小紅等4位同學(xué)各自申請甲、乙兩所大學(xué)的自主招生考試資格，則每所大學(xué)恰有兩位同學(xué)申請，且小明、小紅沒有申請同一所大學(xué)的可能性有________種． 考點　分類加法計數(shù)原理 題點　分類加法計數(shù)原理的應(yīng)用 答案　4 解析　設(shè)小明、小紅等4位同學(xué)分別為A，B，C，D，小明、小紅沒有申請同一所大學(xué)，則組合為(AC，BD)與(AD，BC)．若AC選甲學(xué)校，則BD選乙學(xué)校，若AC選乙學(xué)校，則BD選甲學(xué)校；若AD選甲學(xué)校，則BC選乙學(xué)校，若AD選乙學(xué)校，則BC選甲學(xué)校．故共有4種方法． 10．現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加某項服務(wù)活動，每人

27、從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項工作之一，每項工作至少有一人參加．甲、乙不會開車但能從事其他三項工作，丙、丁、戊都能勝任四項工作，則不同安排方案的種數(shù)是________． 考點　排列組合綜合問題 題點　分組分配問題 答案　126 解析　按從事司機工作的人數(shù)進行分類： ①有1人從事司機工作：CCA＝108(種)； ②有2人從事司機工作：CA＝18(種)． ∴不同安排方案的種數(shù)是108＋18＝126. 11．連接正三棱柱的6個頂點，可以組成________個四面體． 考點　組合的應(yīng)用 題點　與幾何有關(guān)的組合問題 答案　12 解析　從正三棱柱的6個頂點中任取4個，有C種方法，其

28、中4個點共面的有3種情況，故可以組成C－3＝12(個)四面體． 12．用1,2,3,4這四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中恰有一個偶數(shù)夾在兩個奇數(shù)之間的四位數(shù)的個數(shù)為________． 考點　排列組合綜合問題 題點　排列與組合的綜合應(yīng)用 答案　8 解析　首先排兩個奇數(shù)1,3，有A種排法，再在2,4中取一個數(shù)放在1,3之間，有C種排法，然后把這3個數(shù)作為一個整體與剩下的另一個偶數(shù)全排列，有A種排法，即滿足條件的四位數(shù)的個數(shù)為ACA＝8. 三、解答題 13．有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)，求： (1)5名同學(xué)站成一排，有多少種不同的方法？ (2)5名同學(xué)站成一排，要求甲、乙必須相

29、鄰，丙、丁不能相鄰，有多少種不同的方法？ (3)將5名同學(xué)分配到三個班，每班至少1人，共有多少種不同的分配方法？ 考點　排列的應(yīng)用 題點　排列的簡單應(yīng)用 解　(1)有A＝120(種)不同的方法． (2)5名同學(xué)站成一排，要求甲、乙必須相鄰，丙、丁不能相鄰，故有AAA＝24(種)不同的方法． (3)按人數(shù)分配方式分類： ①3,1,1，有A＝60(種)方法； ②2,2,1，有A＝90(種)方法． 故共有60＋90＝150(種)分配方法． 四、探究與拓展 14．已知xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6，則滿足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的數(shù)組(x1，x2

30、，x3，x4，x5，x6)的個數(shù)為________． 考點　排列組合綜合問題 題點　分組分配問題 答案　90 解析　根據(jù)題意，∵x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2，xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5,6， ∴xi中有2個1和4個0，或3個1、1個－1和2個0，或4個1和2個－1，共有C＋CC＋C＝90(個)，∴滿足x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝2的數(shù)組(x1，x2，x3，x4，x5，x6)的個數(shù)為90. 15．4位同學(xué)參加辯論賽，比賽規(guī)則如下：每位同學(xué)必須從甲、乙兩道題中任選一題作答，選甲題答對得100分，答錯得－100分；選乙題答對得90分，答錯得－90分．

31、若4位同學(xué)的總分為0分，則這4位同學(xué)有多少種不同的得分情況？ 考點　排列組合綜合問題 題點　排列與組合的綜合應(yīng)用 解　本題分兩種情況討論． (1)如果4位同學(xué)中有2人選甲，2人選乙．若這4位同學(xué)的總分為0分，則必須是選甲的2人一人答對，另一人答錯，選乙的2人一人答對，另一人答錯．有CAA＝24(種)不同的情況． (2)如果4位同學(xué)都選甲或者都選乙．若這4位同學(xué)的總分為0分，則必須是2人答對，另2人答錯，有CCC＝12(種)不同的情況． 綜上可知，一共有24＋12＝36(種)不同的情況． 我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。