高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布章末復(fù)習(xí)學(xué)案 新人教A版選修23

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1、 第二章 隨機(jī)變量及其分布 章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.2.理解離散型隨機(jī)變量及分布列，并掌握兩個(gè)特殊的分布列——二項(xiàng)分布和超幾何分布.3.理解離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念，并能應(yīng)用其解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.4.了解正態(tài)分布曲線特點(diǎn)及曲線所表示的意義． 1．離散型隨機(jī)變量的分布列 (1)如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用一個(gè)變量來(lái)表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量；所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量，稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量． (2)若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi

2、，則稱(chēng)表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡(jiǎn)稱(chēng)為X的分布列，具有性質(zhì)： ①pi ≥ 0，i＝1,2，…，n； ②pi＝1. 離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和． 2．兩點(diǎn)分布 如果隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 0 P p q 其中0

3、,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，則稱(chēng)分布列 X 0 1 … m P … 為超幾何分布列． 4．條件概率及其性質(zhì) (1)對(duì)于任何兩個(gè)事件A和B，在已知事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號(hào)P(B|A)來(lái)表示，其公式為P(B|A)＝(P(A)>0)． 在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個(gè)數(shù)，則P(B|A)＝. (2)條件概率具有的性質(zhì)： ①0≤P(B|A)≤1； ②如果B和C是兩個(gè)互斥事件， 則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． 5．相互獨(dú)立事件

4、(1)對(duì)于事件A，B，若A的發(fā)生與B的發(fā)生互不影響，則稱(chēng)A，B是相互獨(dú)立事件． (2)若A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)， P(AB)＝P(B|A)P(A)＝P(A)P(B)． (3)若A與B相互獨(dú)立，則A與，與B，與也都相互獨(dú)立． (4)若P(AB)＝P(A)P(B)，則A與B相互獨(dú)立． 6．二項(xiàng)分布 (1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是指在相同條件下可重復(fù)進(jìn)行的，各次之間相互獨(dú)立的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的． (2)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X

5、＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記為X～B(n，p)，并稱(chēng)p為成功概率． 7．離散型隨機(jī)變量的均值與方差 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 稱(chēng)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平． (2)方差 稱(chēng)D(X)＝ (xi－E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫(huà)了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差

6、． (3)均值與方差的性質(zhì) ①E(aX＋b)＝aE(X)＋b. ②D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b為常數(shù)) (4)兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 ①若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． ②若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 8．正態(tài)分布 (1)正態(tài)曲線：函數(shù)φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ為參數(shù)(σ>0，μ∈R)．我們稱(chēng)函數(shù)φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱(chēng)正態(tài)曲線． (2)正態(tài)曲線的性質(zhì)： ①曲線位于x軸上方，與x軸不相交； ②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱(chēng)； ③曲線在x＝μ處達(dá)到

7、峰值； ④曲線與x軸之間的面積為 1 ； ⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著 μ 的變化而沿x軸平移，如圖甲所示； ⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中； σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示． 　 (3)正態(tài)分布的定義及表示 如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)a，b (a

8、P(μ－3σ

9、c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點(diǎn)數(shù)， ∴當(dāng)先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5時(shí)， 若b＝5，則c＝1,2,3,4,5,6； 若c＝5，則b＝5,6.b＝5，c＝5只能算一種情況，從而P(MN)＝. ∴在先后兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)中有5的條件下，方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根的概率為P(N|M)＝＝. 反思與感悟　條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ)，計(jì)算條件概率時(shí)，必須搞清要求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率．一般地，計(jì)算條件概率常有兩種方法 (1)P(B|A)＝. (2)P(B|A)＝.在古典概型下，n(AB)指事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的基本事件個(gè)數(shù)；n(A)是指事件A發(fā)生的基本事件個(gè)數(shù)． 跟

10、蹤訓(xùn)練1　已知男人中有5%患色盲，女人中有0.25%患色盲，從100個(gè)男人和100個(gè)女人中任選一人． (1)求此人患色盲的概率； (2)如果此人是色盲，求此人是男人的概率．(以上各問(wèn)結(jié)果寫(xiě)成最簡(jiǎn)分式形式) 考點(diǎn)　條件概率的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　條件概率的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用 解　設(shè)“任選一人是男人”為事件A，“任選一人是女人”為事件B，“任選一人是色盲”為事件C. (1)此人患色盲的概率 P(C)＝P(AC)＋P(BC) ＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B) ＝＋＝. (2)由(1)得P(AC)＝，又因?yàn)镻(C)＝， 所以P(A|C)＝＝＝. 類(lèi)型二　相互獨(dú)立事件的概率與

11、二項(xiàng)分布 例2　天氣預(yù)報(bào)，在元旦期間甲、乙兩地都降雨的概率為，至少有一個(gè)地方降雨的概率為，已知甲地降雨的概率大于乙地降雨的概率，且在這段時(shí)間甲、乙兩地降雨互不影響． (1)分別求甲、乙兩地降雨的概率； (2)在甲、乙兩地3天假期中，僅有一地降雨的天數(shù)為X，求X的分布列、均值與方差． 考點(diǎn)　二項(xiàng)分布的計(jì)算及應(yīng)用 題點(diǎn)　求二項(xiàng)分布的分布列 解　(1)設(shè)甲、乙兩地降雨的事件分別為A，B，且P(A)＝x，P(B)＝y(tǒng). 由題意得解得 所以甲地降雨的概率為，乙地降雨的概率為. (2)在甲、乙兩地中，僅有一地降雨的概率為P＝P(A )＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B) ＝＋＝.

12、 X的可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝C3＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C2＝， P(X＝3)＝C3＝， 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 P 所以E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 方差D(X)＝2＋2＋2＋2＝. 反思與感悟　(1)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率需注意的三個(gè)問(wèn)題 ①“P(AB)＝P(A)P(B)”是判斷事件是否相互獨(dú)立的充要條件，也是解答相互獨(dú)立事件概率問(wèn)題的唯一工具． ②涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問(wèn)題，務(wù)必分清事件間的相互關(guān)系． ③公式“P(A∪B)＝1－P( )”常應(yīng)用于相互獨(dú)立

13、事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率． (2)二項(xiàng)分布的判定 與二項(xiàng)分布有關(guān)的問(wèn)題關(guān)鍵是二項(xiàng)分布的判定，可從以下幾個(gè)方面判定： ①每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的． ②各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的． ③每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生． ④隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)． 跟蹤訓(xùn)練2　在一次抗洪搶險(xiǎn)中，準(zhǔn)備用射擊的辦法引爆從上游漂流而下的一個(gè)巨大汽油罐，已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是. (1)求油灌被引爆的概率； (2)如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為ξ，求ξ不小于4的概率．

14、 考點(diǎn)　互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題 題點(diǎn)　互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問(wèn)題 解　(1)油罐引爆的對(duì)立事件為油罐沒(méi)有引爆，沒(méi)有引爆的可能情況是：射擊5次只擊中一次或一次也沒(méi)有擊中，故該事件的概率為 P＝C4＋5， 所以所求的概率為 1－P＝1－＝. (2)當(dāng)ξ＝4時(shí)，記事件為A， 則P(A)＝C2＝， 當(dāng)ξ＝5時(shí)，意味著前4次射擊只擊中一次或一次也未擊中，記為事件B. 則P(B)＝C3＋4＝， 所以所求概率為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 類(lèi)型三　離散型隨機(jī)變量的均值與方差 例3　為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1 000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，

15、規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額． (1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求： ①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率； ②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及均值； (2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由． 考點(diǎn)　均值與方差的應(yīng)用 題點(diǎn)　均值與方差的綜合應(yīng)用

16、解　(1)設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X， ①依題意，得P(X＝60)＝＝， 即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率為. ②依題意得X的所有可能取值為20,60， P(X＝20)＝＝，P(X＝60)＝， 即X的分布列為 X 20 60 P 所以這位顧客所獲獎(jiǎng)勵(lì)額的均值為E(X)＝20＋60＝40. (2)根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每位顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元，所以先尋找均值為60元的可能方案． 對(duì)于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以均值不可能為60元． 如果選擇(50,50,50,10)的方案，因?yàn)?0元是

17、面值之和的最小值，所以均值也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)記為方案1，對(duì)于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)， 記為方案2， 以下是對(duì)這兩個(gè)方案的分析： 對(duì)于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1，則X1的分布列為 X1 20 60 100 P X1的均值E(X1)＝20＋60＋100＝60. X1的方差D(X1)＝(20－60)2＋(60－60)2＋(100－60)2＝， 對(duì)于方案2，即方

18、案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2，則X2的分布列為 X2 40 60 80 P X2的均值E(X2)＝40＋60＋80＝60， X2的方差D(X2)＝(40－60)2＋(60－60)2＋(80－60)2＝. 由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的均值都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1小，所以應(yīng)該選擇方案2. 反思與感悟　求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟 (1)理解X的意義，寫(xiě)出X可能的全部取值； (2)求X取每個(gè)值的概率或求出函數(shù)P(X＝k)； (3)寫(xiě)出X的分布列； (4)由分布列和均值的定義求出E(X)； (5)由方差的定義，求D

19、(X)，若X～B(n，p)，則可直接利用公式求，E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 跟蹤訓(xùn)練3　某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí)，等級(jí)系數(shù)X依次為1,2，…，8，其中X≥5為標(biāo)準(zhǔn)A，X≥3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)． (1)已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X1的分布列如下表： X1 5 6 7 8 P 0.4 a b 0.1 且X1的均值E(X1)＝6，求a，b的值； (2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，

20、相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本，數(shù)據(jù)如下： 　3　5　3　3　8　5　5　6　3　4 　6　3　4　7　5　3　4　8　5　3 　8　3　4　3　4　4　7　5　6　7 用該樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級(jí)系數(shù)X2的均值； (3)在(1)(2)的條件下，若以“性?xún)r(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具有可購(gòu)買(mǎi)性？說(shuō)明理由． 注：①產(chǎn)品的“性?xún)r(jià)比”＝； ②“性?xún)r(jià)比”高的產(chǎn)品更具有可購(gòu)買(mǎi)性． 考點(diǎn)　均值與方差的應(yīng)用 題點(diǎn)　均值與方差的綜合應(yīng)用 解　(1)∵E(X1)＝6， ∴50.4＋6a＋7b＋80.1＝6， 即6a＋7b＝3.2， 又由X1的分布列得0.4

21、＋a＋b＋0.1＝1， 即a＋b＝0.5. 由解得 (2)由已知得，樣本的頻率分布表如下： X2 3 4 5 6 7 8 f 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 用該樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級(jí)系數(shù)X2的分布列如下： X2 3 4 5 6 7 8 P 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 ∴E(X2)＝30.3＋40.2＋50.2＋60.1＋70.1＋80.1＝4.8，即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的均值為4.8. (3)乙廠的產(chǎn)品更具有可購(gòu)買(mǎi)性，理由如下： 甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的均

22、值為6，價(jià)格為6元/件， 其性?xún)r(jià)比為＝1， 乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的均值等于4.8，價(jià)格為4元/件， 其性?xún)r(jià)比為＝1.2. ∴乙廠的產(chǎn)品更具有可購(gòu)買(mǎi)性． 類(lèi)型四　正態(tài)分布的應(yīng)用 例4　為了評(píng)估某大米包裝生產(chǎn)設(shè)備的性能，從該設(shè)備包裝的大米中隨機(jī)抽取100袋作為樣本，稱(chēng)其重量為 重量kg 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 合計(jì) 包數(shù) 1 1 3 5 6 19 34 18 3 4 2 1 2 1 100 經(jīng)計(jì)算：樣本的平均值μ＝

23、10.10，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝0.21. (1)為評(píng)判該生產(chǎn)線的性能，從該生產(chǎn)線中任抽取一袋，設(shè)其重量為X(kg)，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判． ①P(μ－σ

24、 題點(diǎn)　正態(tài)分布的綜合應(yīng)用 解　(1)由題意得 P(μ－σ0.682 6， P(μ－2σ

25、＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]這三個(gè)區(qū)間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用上述區(qū)間的概率求出相應(yīng)概率，在此過(guò)程中依然會(huì)用到化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想． 跟蹤訓(xùn)練4　某市去年高考考生成績(jī)X服從正態(tài)分布N(500,502)，現(xiàn)有25 000名考生，試確定考生成績(jī)?cè)?50分～600分的人數(shù)． 考點(diǎn)　正態(tài)分布的應(yīng)用 題點(diǎn)　正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 解　∵考生成績(jī)X～N(500,502)，∴μ＝500，σ＝50， ∴P＝(550

26、成績(jī)?cè)?50分～600分的人數(shù)約為25 0000.135 9≈3 398. 1．拋擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若已知出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4，則出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　條件概率的定義及計(jì)算公式 題點(diǎn)　利用縮小基本事件空間求條件概率 答案　D 解析　設(shè)拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4為事件A，拋擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)為事件B，則P(B|A)＝＝＝.故選D. 2．國(guó)慶節(jié)放假，甲、乙、丙三人去北京旅游的概率分別是，，.假定三人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　

27、相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立事件與互斥事件的綜合應(yīng)用 答案　B 解析　設(shè)“國(guó)慶節(jié)放假，甲、乙、丙三人去北京旅游”分別為事件A，B，C，則A，B，C相互獨(dú)立且P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，∴至少有1人去北京旅游的概率為1－P( )＝1－P()P()P()＝1－＝1－＝，故選B. 3．某班有50名學(xué)生，一次考試后的數(shù)學(xué)成績(jī)?chǔ)巍玁(110,102)，若P(100≤ξ≤110)＝0.34，則估計(jì)該班學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上(含120分)的人數(shù)為(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 考點(diǎn)　正態(tài)分布的應(yīng)用 題點(diǎn)　正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 答案　C 解析　∵數(shù)學(xué)成

28、績(jī)?chǔ)畏恼龖B(tài)分布N(110,102)， 且P(100≤ξ≤110)＝0.34， ∴P(ξ≥120)＝P(ξ<100)＝(1－0.342)＝0.16， ∴該班數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?20分以上的人數(shù)為0.1650＝8. 4．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝k)＝mk，k＝1,2,3，則m的值為 ． 考點(diǎn)　離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　根據(jù)分布列的性質(zhì)求參數(shù) 答案　 解析　因?yàn)镻(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1， 即m＝1，所以m＝. 5．某畢業(yè)生參加人才招聘會(huì)，分別向甲、乙、丙三個(gè)公司投遞了個(gè)人簡(jiǎn)歷．假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試

29、的概率均為p，且三個(gè)公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的．記X為該畢業(yè)生得到面試的公司個(gè)數(shù)，若P(X＝0)＝，則隨機(jī)變量X的均值E(X)＝ . 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)及應(yīng)用 題點(diǎn)　獨(dú)立事件與分布列 答案　 解析　隨機(jī)變量X的可能取值是0,1,2,3. 由題意知P(X＝0)＝(1－p)2＝，所以p＝，于是P(X＝1)＝＋＋＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)＝1－－－＝，所以均值E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 1．條件概率的兩個(gè)求解策略 (1)定義法：計(jì)算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝求解． (2)縮小樣本

30、空間法：利用P(B|A)＝求解． 其中(2)常用于古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題． 2．求解實(shí)際問(wèn)題的均值與方差的解題思路：先要將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，然后求出隨機(jī)變量的分布列，同時(shí)要注意運(yùn)用兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等特殊分布的均值、方差公式以及均值與方差的線性性質(zhì)． 一、選擇題 1．已知某一隨機(jī)變量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，則a的值為(　　) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A.5 B．6 C．7 D．8 考點(diǎn)　離散型隨機(jī)變量的可能取值 題點(diǎn)　離散型隨機(jī)變量的結(jié)果 答案　C 解析　由題意和分布列的性質(zhì)得0.5＋0.1＋b＝1， 且E(X)＝40

31、.5＋0.1a＋9b＝6.3， 解得b＝0.4，a＝7. 2．某工程施工在很大程度上受當(dāng)?shù)啬杲邓康挠绊?，施工期間的年降水量X(單位：mm)對(duì)工期延誤天數(shù)Y的影響及相應(yīng)的概率P如下表所示： 年降水量X X<100 100≤X<200 200≤X<300 X≥300 工期延誤天數(shù)Y 0 5 15 30 概率P 0.4 0.2 0.1 0.3 在年降水量X至少是100的條件下，工期延誤小于30天的概率為(　　) A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.2 考點(diǎn)　條件概率的定義及計(jì)算公式 題點(diǎn)　直接利用公式求條件概率 答案　B 解析　設(shè)

32、事件A為“年降水量X至少是100”，事件B為“工期延誤小于30天”，則P(B|A)＝＝＝0.5，故選B. 3．從應(yīng)屆高中畢業(yè)生中選拔飛行員，已知這批學(xué)生體型合格的概率為，視力合格的概率為，其他幾項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為，從中任選一名學(xué)生，則該生均合格的概率為(假設(shè)各項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響)(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算 題點(diǎn)　求多個(gè)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 答案　D 解析　該生各項(xiàng)均合格的概率為＝. 4．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,4)，則P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)成立的一個(gè)必要不充分條件是(　　) A．a(chǎn)＝1或2 B．

33、a＝1或2 C．a(chǎn)＝2 D．a(chǎn)＝ 考點(diǎn)　正態(tài)分布密度函數(shù)的概念 題點(diǎn)　正態(tài)曲線性質(zhì)的應(yīng)用 答案　B 解析　∵X～N(3,4)，P(X<1－3a)＝P(X>a2＋7)， ∴(1－3a)＋(a2＋7)＝23，∴a＝1或2.故選B. 5．(2017福建莆田二十四中高二期中)投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為(　　) A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312 考點(diǎn)　互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題 題點(diǎn)　互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問(wèn)題

34、 答案　A 解析　根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得，該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為C0.620.4＋C0.63＝0.648. 6．命題r：隨機(jī)變量ξ～N(3，σ2)，若P(ξ≤2)＝0.4，則P(ξ≤4)＝0.6.命題q：隨機(jī)變量η～B(n，p)，且E(η)＝200，D(η)＝100，則p＝0.5.則(　　) A．r正確，q錯(cuò)誤 B．r錯(cuò)誤，q正確 C．r錯(cuò)誤，q也錯(cuò)誤 D．r正確，q也正確 考點(diǎn)　正態(tài)分布的應(yīng)用 題點(diǎn)　正態(tài)分布的綜合應(yīng)用 答案　D 解析　因?yàn)殡S機(jī)變量ξ～N(3，σ2)，所以正態(tài)曲線關(guān)于x＝3對(duì)稱(chēng)，又P(ξ≤2)＝0.4，則P(ξ>4)＝P(ξ≤2)＝0.4，所以P(ξ≤4

35、)＝0.6，所以r是正確的；隨機(jī)變量η～B(n，p)，且E(η)＝np＝200，D(η)＝np(1－p)＝100，所以200(1－p)＝100，解得p＝0.5，所以q是正確的．故選D. 7．節(jié)日期間，某種鮮花進(jìn)貨價(jià)是每束2.5元，銷(xiāo)售價(jià)是每束5元；節(jié)日賣(mài)不出去的鮮花以每束1.6元價(jià)格處理．根據(jù)前五年銷(xiāo)售情況預(yù)測(cè)，節(jié)日期間這種鮮花的需求量X服從如表所示的分布列 X 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 若進(jìn)這種鮮花500束，則利潤(rùn)的均值為(　　) A．706元 B．690元 C．754元 D．720元 考點(diǎn)　離散型隨

36、機(jī)變量均值的概率與計(jì)算 題點(diǎn)　離散型隨機(jī)變量均值的計(jì)算 答案　A 解析　因?yàn)镋(X)＝2000.2＋3000.35＋4000.3＋5000.15＝340， 所以利潤(rùn)的均值為340(5－2.5)－(500－340)(2.5－1.6)＝706元，故選A. 8．某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績(jī)分組區(qū)間是[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．從樣本成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取2人，這2人中成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的人數(shù)為ξ，則ξ的均值為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　常

37、見(jiàn)的幾種均值 題點(diǎn)　與排列、組合有關(guān)的隨機(jī)變量的均值 答案　B 解析　由頻率分布直方圖知，30.00610＋0.0110＋0.05410＋10x＝1，解得x＝0.018，∴成績(jī)不低于80分的學(xué)生人數(shù)為(0.018＋0.006)1050＝12，成績(jī)?cè)?0分以上(含90分)的學(xué)生人數(shù)為0.0061050＝3， ∴ξ的可能取值為0,1,2，P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，∴E(ξ)＝0＋1＋2＝. 二、填空題 9．盒中有10支螺絲釘，其中3支是壞的，現(xiàn)在從盒中不放回地依次抽取兩支，那么在第一支抽取為好的條件下，第二支是壞的概率為 ． 考點(diǎn)　條件概率的

38、定義及計(jì)算公式 題點(diǎn)　直接利用公式求條件概率 答案　 解析　記事件A為“第一支抽取為好的”，事件B為“第二支是壞的”，則 P(A)＝， P(AB)＝＝， ∴P(B|A)＝＝. 10．甲、乙兩人進(jìn)行跳繩比賽，規(guī)定：若甲贏一局，比賽結(jié)束，甲勝出；若乙贏兩局，比賽結(jié)束，乙勝出．已知每一局甲、乙二人獲勝的概率分別為，，則甲勝出的概率為 ． 考點(diǎn)　互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題 題點(diǎn)　互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問(wèn)題 答案　 解析　方法一　甲勝的情況為：①舉行一局比賽，甲勝出，比賽結(jié)束，②舉行兩局比賽，第一局乙勝，第二局甲勝，其概率分別為，，且這兩個(gè)事件是互

39、斥的，所以甲勝出的概率為＋＝. 方法二　因?yàn)楸荣惤Y(jié)果只有甲勝出和乙勝出兩個(gè)結(jié)果，而乙勝出的情況只有一種，舉行兩局比賽都是乙勝出，其概率為＝，所以甲勝出的概率為1－＝. 11．一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)一件甲等品可獲得50元，生產(chǎn)一件乙等品可獲得30元，生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等品、乙等品和次品的概率分別為0.6,0.3和0.1，則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品平均預(yù)期獲利 元． 考點(diǎn)　離散型隨機(jī)變量的均值的概念與計(jì)算 題點(diǎn)　離散型隨機(jī)變量均值的計(jì)算 答案　37 解析　設(shè)生產(chǎn)一件該產(chǎn)品可獲利錢(qián)數(shù)為X，則隨機(jī)變量X的取值可以是－20,30,50.依題意，

40、X的分布列為 X －20 30 50 P 0.1 0.3 0.6 故E(X)＝－200.1＋300.3＋500.6＝37(元)． 12．一批玉米種子的發(fā)芽率是0.8，每穴只要有一粒發(fā)芽，就不需補(bǔ)種，否則需要補(bǔ)種．則每穴至少種 粒，才能保證每穴不需補(bǔ)種的概率大于98%.(lg 2＝0.301 0) 考點(diǎn)　互斥、對(duì)立、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題 題點(diǎn)　互斥事件、對(duì)立事件、獨(dú)立事件的概率問(wèn)題 答案　3 解析　記事件A為“種一粒種子，發(fā)芽”， 則P(A)＝0.8，P()＝1－0.8＝0.2. 因?yàn)槊垦ǚNn粒相當(dāng)于做了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，記事件B為“每穴至少有

41、一粒種子發(fā)芽”， 則P()＝C0.80(1－0.8)n＝0.2n， 所以P(B)＝1－P()＝1－0.2n. 根據(jù)題意，得P(B)>98%，即0.2n<0.02. 兩邊同時(shí)取以10為底的對(duì)數(shù)，得 nlg 0.2＝≈2.43. 因?yàn)閚∈N*， 所以n的最小正整數(shù)值為3. 三、解答題 13．一盒中裝有9張各寫(xiě)有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片． (1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率； (2)用X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的

42、分布列與均值． (注：若三個(gè)數(shù)a，b，c滿(mǎn)足a≤b≤c，則稱(chēng)b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)) 考點(diǎn)　常見(jiàn)的幾種均值 題點(diǎn)　與排列、組合有關(guān)的隨機(jī)變量的均值 解　(1)由古典概型的概率計(jì)算公式知所求概率P＝＝. (2)X的所有可能取值為1,2,3， 則P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝. 故X的分布列為 X 1 2 3 P 從而E(X)＝1＋2＋3＝. 四、探究與拓展 14．某公司在迎新年晚會(huì)上舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)方案供員工選擇． 方案甲：?jiǎn)T工最多有兩次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為.第一次抽獎(jiǎng)，若未中獎(jiǎng)，則抽獎(jiǎng)結(jié)束．

43、若中獎(jiǎng)，則通過(guò)拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，決定是否繼續(xù)進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)．規(guī)定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎(jiǎng)金，不進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)；若正面朝上，員工則須進(jìn)行第二次抽獎(jiǎng)且在第二次抽獎(jiǎng)中，若中獎(jiǎng)，則獲得獎(jiǎng)金1 000元；若未中獎(jiǎng)，則所獲得的獎(jiǎng)金為0元． 方案乙：?jiǎn)T工連續(xù)三次抽獎(jiǎng)，每次中獎(jiǎng)率均為，每次中獎(jiǎng)均可獲得獎(jiǎng)金400元． (1)求某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列； (2)試比較某員工選擇方案乙與選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)．哪個(gè)方案更劃算？ 考點(diǎn)　均值、方差的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用 解　(1)由題意得，X的所有可能取值為0,500,1 000，則P(X＝0

44、)＝＋＝， P(X＝500)＝＝， P(X＝1 000)＝＝， 所以某員工選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X(元)的分布列為 X 0 500 1 000 P (2)由(1)可知，選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金X的均值E(X)＝500＋1 000＝520， 若選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)次數(shù)ξ～B， 則E(ξ)＝3＝，抽獎(jiǎng)所獲獎(jiǎng)金Y的均值E(Y)＝E(400ξ)＝400E(ξ)＝480，故選擇方案甲較劃算． 15．某花店每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價(jià)格出售．如果當(dāng)天賣(mài)不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理． (1)若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，求

45、當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，n∈N)的函數(shù)解析式； (2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率． ①若花店一天購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，求X的分布列、均值及方差； ②若花店計(jì)劃一天購(gòu)進(jìn)16枝或17枝玫瑰花，你認(rèn)為應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝還是17枝？請(qǐng)說(shuō)明理由． 考點(diǎn)　均值、方差的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　均值與方差在實(shí)際中的應(yīng)用 解　(

46、1)當(dāng)日需求量n≥16時(shí)，利潤(rùn)y＝80. 當(dāng)日需求量n<16時(shí)，利潤(rùn)y＝10n－80. 所以當(dāng)天的利潤(rùn)y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式為 y＝(n∈N) (2)①X可能的取值為60,70,80，并且P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7. 故X的分布列為 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 E(X)＝600.1＋700.2＋800.7＝76， D(X)＝(60－76)20.1＋(70－76)20.2＋(80－76)20.7＝44. ②方法一：花店一天應(yīng)購(gòu)進(jìn)16枝玫瑰花． 理由如下： 若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花，

47、Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么Y的分布列為 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 E(Y)＝550.1＋650.2＋750.16＋850.54＝76.4， D(Y)＝(55－76.4)20.1＋(65－76.4)20.2＋(75－76.4)20.16＋(85－76.4)20.54＝112.04. 由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，D(X)

48、玫瑰花，Y表示當(dāng)天的利潤(rùn)(單位：元)，那么Y的分布列為 Y 55 65 75 85 P 0.1 0.2 0.16 0.54 E(Y)＝550.1＋650.2＋750.16＋850.54＝76.4. 由以上的計(jì)算結(jié)果可以看出，E(X)