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1、
第二章 圓錐曲線與方程
專題強化訓練(二)
(建議用時:45分鐘)
[基礎達標練]
一、選擇題
1.已知F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0),動點P滿足|PF1|-|PF2|=2a,當a分別為3和5時,點P的軌跡分別為 ( )
A.雙曲線和一條直線
B.雙曲線和一條射線
C.雙曲線的一支和一條射線
D.雙曲線的一支和一條直線
C [依題意,得|F1F2|=10.當a=3時,|PF1|-|PF2|=2a=6<|F1F2|,可知點P的軌跡為雙曲線的右支;當a=5時,|PF1|-|PF2|=2a=10=|F1F2|,可知點P的軌跡為以F2為端點的一條射線.故選C.]
2
2、.與橢圓9x2+4y2=36有相同焦點,且短軸長為2的橢圓的標準方程為 ( )
A.+=1 B.x2+=1
C.+y2=1 D.+=1
B [橢圓9x2+4y2=36可化為+=1,可知焦點在y軸上,焦點坐標為(0,±),故可設所求橢圓方程為+=1(a>b>0),則c=.又2b=2,即b=1,所以a2=b2+c2=6,則所求橢圓的標準方程為x2+=1.]
3.若雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線互相垂直,則雙曲線的離心率e=( )
【導學號:46342122】
A. B.2 C. D.3
A [由題意知-
3、5;=-1,即=1,
∴e2=1+=2,即e=.]
4.直線y=與雙曲線-y2=1交點的個數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
B [雙曲線的漸近線方程為y=±x,則直線y=與雙曲線的一條漸近線平行,所以直線與雙曲線只有一個交點.]
5.若直線mx+ny=4和圓O:x2+y2=4沒有交點,則過點P(m,n)的直線與橢圓+=1的交點個數(shù)為( )
A.2 B.1 C.0 D.0或1
A [由題意,得>2,所以m2+n2<4,則-2<m<2,-2<n<2,所以點P(m,n)在橢圓+=1內(nèi),則過點P(m,n)的直
4、線與橢圓+=1有2個交點.故選A.]
二、填空題
6.已知拋物線的離心率為e,焦點為(0,e),則拋物線的標準方程為________.
x2=4y [由題意知e=1,則=1,從而2p=4.拋物線方程為x2=4y.]
7.橢圓的兩個焦點為F1,F(xiàn)2,短軸的一個端點為A,且三角形F1AF2是頂角為120°的等腰三角形,則此橢圓的離心率為________.
[由題意知|F1A|=|F2A|=a,|F1F2|=2C.由余弦定理得4c2=a2+a2-2a2cos 120°.
即3a2=4c2,所以e2==.
所以e=.]
8.點P(8,1)平分雙曲線x2-4y2=4
5、的一條弦,則這條弦所在直線的方程是________.
2x-y-15=0 [設弦的兩個端點分別為A(x1,y1),B(x2,y2)
則
②-①整理得
=,又x1+x2=16,y1+y2=2.
所以=2,即弦所在的直線的斜率為2.
故弦所在的直線方程為2x-y-15=0.]
三、解答題
9.已知橢圓的一個頂點為A(0,-1),焦點在x軸上,右焦點到直線x-y+2=0的距離為3.
(1)求橢圓的方程.
(2)設橢圓與直線y=kx+m(k≠0)相交于不同的兩點M,N,當|AM|=|AN|時,求m的取值范圍.
【導學號:46342123】
[解] (1)依題意可設橢圓方程為
6、
+y2=1(a>1),
則右焦點F(,0),
由題設,知=3,
解得a2=3,故所求橢圓的方程為+y2=1.
(2)設點P為弦MN的中點,由
得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0,
由于直線與橢圓有兩個交點,
所以Δ>0,即m2<3k2+1, ①
所以xP==-,
從而yP=kxP+m=,
所以kAP==-,
又|AM|=|AN|,所以AP⊥MN,
則-=-,即2m=3k2+1, ②
把②代入①得2m>m2,解得0<m<2,
7、由②得k2=>0,解得m>,
故所求m的取值范圍是.
10.已知橢圓C經(jīng)過點A,兩個焦點為(-1,0),(1,0).
(1)求橢圓C的方程;
(2)E,F(xiàn)是橢圓C上的兩個動點,如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個定值.
[解] (1)由題意,c=1,設橢圓的方程為+=1.
因為A在橢圓上,所以+=1,
解得b2=3或b2=-(舍去).
所以橢圓的方程為+=1.
(2)證明:設直線AE的方程為y=k(x-1)+,
代入+=1,
得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4-12=0,
設E(xE,yE),F(xiàn)(xF,yF
8、),
所以xE=,yE=kxE+-k.
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù),在上式中以-k代k,可得
xF=,yF=-kxF++k.
所以直線EF的斜率
kEF===.
即直線EF的斜率為定值,其值為.
[能力提升練]
1.設F為拋物線C:y2=4x的焦點,曲線y=(k>0)與C交于點P,PF⊥x軸,則k=( )
A. B.1 C. D.2
D [由題意得點P的坐標為(1,2).把點P的坐標代入y=(k>0)得k=1×2=2,故選D.]
2.已知雙曲線C的兩條漸近線為l1,l2,過右焦點F作FB∥l1且交l2于點B,過點B作BA
9、⊥l2且交l1于點A.若AF⊥x軸,則雙曲線C的離心率為( )
A. B. C. D.2
B [如圖,延長AF交l2于A1,則易得|OA|=|OA1|.在△OAA1中,F(xiàn)為AA1的中點,而BF∥OA,所以B為OA1的中點.
又AB⊥OA1,于是△OAA1中邊OA1上的高線與中線重合,從而△OAA1為等邊三角形,所以邊OA即直線l1與x軸的夾角為30°,所以e==.]
3.與雙曲線-=1有公共焦點,且過點(3,2)的雙曲線的標準方程為________.
【導學號:46342124】
-=1 [法一:設雙曲線的標準方程為-=1(a>0,b>0).
10、又點(3,2)在雙曲線上,故-=1.又a2+b2=16+4=20,得a2=12,b2=8,則雙曲線的標準方程為-=1.
法二:設雙曲線的標準方程為-=1(-4<k<16,且k≠0),將點(3,2)代入方程,得k=4,則雙曲線的標準方程為-=1.]
4.已知O為坐標原點,F(xiàn)為拋物線C:y2=4x的焦點,P為C上一點,若|PF|=4,則△POF的面積為________.
2 [設點P(x0,y0),則點P到準線x=-的距離為x0+,由拋物線的定義,得x0+=4,所以x0=3,則|y0|=2,故△POF的面積為××2=2.]
5.已知橢圓G:+y2=1.過點(
11、m,0)作圓x2+y2=1的切線l交橢圓G于A,B兩點.
(1)求橢圓G的焦點坐標和離心率;
(2)將|AB|表示為m的函數(shù),并求|AB|的最大值.
[解] (1)由已知得a=2,b=1,所以c==.
所以橢圓G的焦點坐標為(-,0),(,0),
離心率為e==.
(2)由題意知|m|≥1.
當m=1時,切線l的方程為x=1,點A,B的坐標分別為,.
此時|AB|=.
當m=-1時,同理可得|AB|=.
當|m|>1時,設切線l的方程為y=k(x-m).
由
得(1+4k2)x2-8k2mx+4k2m2-4=0.
設A,B兩點的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則
x1+x2=,x1x2=.
又由l與圓x2+y2=1相切,得=1,
即m2k2=k2+1.
所以|AB|=
=
==.
由于當m=±1時,|AB|=,
所以|AB|=,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞).
因為|AB|==≤2,
當且僅當m=±時,|AB|=2,
所以|AB|的最大值為2.
我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài),需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式,改變粗放式增長模式,不斷優(yōu)化經(jīng)濟結構,實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展,推進新型城鎮(zhèn)化,推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。