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1、
專題11 等差、等比數(shù)列
一、基礎(chǔ)過關(guān)題
1.（2018北京高考）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．
若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為：．
故選：D．
利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化求解即可．
本題考
2、查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查計算能力．
2．(2016重慶一診)在數(shù)列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，則{an}的前4項(xiàng)和為( )
A．9 B．22
C．24 D．32
【答案】 C
3．(2017佛山調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}滿足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，則n的值為( )
A．8 B．9
C．10 D．11
【答案】 C
【解析】 由Sn－Sn－3＝51，得an－2＋an－1＋an＝51，
所以an－1＝17，又a2＝3，
Sn＝＝100，解得n＝10.
4．(2016珠海模擬)在等比數(shù)列{an}中
3、，若a1<0，a2＝18，a4＝8，則公比q等于( )
A. B.
C．－ D.或－
【答案】 C
【解析】 由解得或
又a1<0，因此q＝－.
5．在等差數(shù)列{an}中，a9＝a12＋6，則數(shù)列{an}的前11項(xiàng)和S11等于( )
A．24 B．48
C．66 D．132
【答案】 D
6．已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an－，且a1＝5，設(shè){an}的前n項(xiàng)和為Sn，則使得Sn取得最大值的序號n的值為( )
A．7 B．8
C．7或8 D．8或9
【答案】 C
【解析】 由題意可知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為5，公差為－的等差數(shù)列，
4、所以an＝5－(n－1)＝，該數(shù)列前7項(xiàng)是正數(shù)項(xiàng)，第8項(xiàng)是0，從第9項(xiàng)開始是負(fù)數(shù)項(xiàng)，
所以Sn取得最大值時，n＝7或n＝8，故選C.
7．已知數(shù)列{an}中，a1＝1且＝＋(n∈N*)，則a10＝________.
【答案】
【解析】 由已知得＝＋(10－1)＝1＋3＝4，
故a10＝.
8．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
【答案】 130
9．設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對任意自然數(shù)n都有＝，則＋的值為________．
【答案】
【解析】 ∵{an}
5、，{bn}為等差數(shù)列，
∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，
∴＋＝.
10．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3＝－1，a5＝＋1，則a＋2a2a6＋a3a7等于( )
A．4 B．6
C．8 D．8－4
【答案】 C
【解析】 在等比數(shù)列中，a3a7＝a，a2a6＝a3a5，所以a＋2a2a6＋a3a7＝a＋2a3a5＋a＝(a3＋a5)2＝(－1＋＋1)2＝(2)2＝8.
11．(2016銅仁質(zhì)檢)在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，若a3a4a5＝3π，則sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)的值為( )
A. B.
C．1 D．－
6、
【答案】 B
【解析】 因?yàn)閍3a4a5＝3π＝a，所以a4＝.
log3a1＋log3a2＋…＋log3a7＝log3(a1a2…a7)＝log3a＝7log3＝，
所以sin(log3a1＋log3a2＋…＋log3a7)＝.
12．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知3S3＝a4－2，3S2＝a3－2，則公比q＝________.
【答案】 4
【解析】 因?yàn)?
由①－②，得3a3＝a4－a3，即4a3＝a4，
則q＝＝4.
13．設(shè)各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{an}，Sn為前n項(xiàng)和且S10＝10，S30＝70，那么S40＝________.
【答案】 150
7、
14．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足an＋Sn＝1(n∈N*)，則通項(xiàng)an＝________.
【答案】
【解析】 ∵an＋Sn＝1，①
∴a1＝，an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，②
由①－②，得an－an－1＋an＝0，即＝(n≥2)，
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
則an＝()n－1＝.
15．在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值．
【答案】：(1) an＝3－2n.
(2) k＝7.
16．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a
8、n＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
【答案】：(1) 見解析 (2) an＝
(1)證明 當(dāng)n≥2時，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
又＝＝2，
故是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．
(2)解 由(1)可得＝2n，∴Sn＝.
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.
當(dāng)n＝1時，a1＝不適合上式．
故an＝
17．已知{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn表示{an}的前n項(xiàng)和．
(1)求an及Sn；
(2)設(shè){bn}是首項(xiàng)為2的等比
9、數(shù)列，公比q滿足q2－(a4＋1)q＋S4＝0，求{bn}的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Tn.
【答案】：(1) an＝2n－1. Sn＝n2.
(2) bn＝22n－1. Tn＝(4n－1)．
18．(2016全國丙卷)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通項(xiàng)公式．
【答案】：(1) a2＝，a3＝. (2) an＝.
【解析】(1)由題意，得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因?yàn)閧an}的各
10、項(xiàng)都為正數(shù)，所以＝.
故{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
因此an＝.
19（2018全國高考II卷17）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）求，并求的最小值．
【解析】（1）設(shè)的公差為d，由題意得.
由得d=2.
所以的通項(xiàng)公式為.
（2）由（1）得.
所以當(dāng)n=4時,取得最小值,最小值為?16.
二、能力提高題
1.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足a1＝1，an>0(n∈N*)，其前n項(xiàng)和為Sn，若數(shù)列{}也為等差數(shù)列，則的最大值是( )
A．310 B．212
C．180 D．121
【答案】 D
2.(2015福建
11、)若a，b是函數(shù)f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的兩個不同的零點(diǎn)，且a，b，－2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p＋q的值等于( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】 D
【解析】 由題意知：a＋b＝p，ab＝q，∵p＞0，q＞0，∴a＞0，b＞0.在a，b，－2這三個數(shù)的6種排序中，成等差數(shù)列的情況有a，b，－2；b，a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比數(shù)列的情況有a，－2，b；b，－2，a.
∴或解得或
∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9，故選D.
3．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，anan＋1＝n，記T2n為{an}的
12、前2n項(xiàng)的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
(1)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并求出bn；
(2)求T2n.
【答案】：(1) bn＝. (2) T2n＝3－.
(2)由(1)可知，an＋2＝an，
∴a1，a3，a5，…是以a1＝1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；
a2，a4，a6，…是以a2＝為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，
∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＋＝3－.
4.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．
(1)求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的
13、通項(xiàng)公式．
【答案】：(1)見解析 (2) an＝n＋2.
(2)解 由(1)知a1＝3，d＝1，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3＋(n－1)1＝n＋2，
即an＝n＋2.
5．（2018江蘇高考20）設(shè)是首項(xiàng)為，公差為d的等差數(shù)列，是首項(xiàng)為，公比為q的等比數(shù)列．
（1）設(shè)，若對均成立，求d的取值范圍；
（2）若，證明：存在，使得對均成立，并求的取值范圍（用表示）．
【解析】（1）由條件知：．
因?yàn)閷=1，2，3，4均成立，
即對n=1，2，3，4均成立，
即11，1d3，32d5，73d9，得．
因此，d的取值范圍為．
①當(dāng)時，，
當(dāng)時，有，從而．
因此，當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增，
故數(shù)列的最大值為．
②設(shè)，當(dāng)x>0時，，
所以單調(diào)遞減，從而
高考數(shù)學(xué) 25個必考點(diǎn) 專題11 等差、等比數(shù)列檢測
