2019高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明單元測試（一）新人教A版選修1 -2.doc

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第二章 推理與證明 注意事項(xiàng)： 1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。 2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。 一、選擇題(本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．實(shí)數(shù)、b、c不全為0等價(jià)于（ ） A．、b、c均不為0 B．、b、c中至多有一個(gè)為0 C．、b、c中至少有一個(gè)為0 D．、b、c中至少有一個(gè)不為0 2．用火柴棒擺“金魚”，如圖所示： 按照上面的規(guī)律，第n個(gè)“金魚”圖形需要火柴棒的根數(shù)為（ ） A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 3．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，而，通過計(jì)算、、，猜想（ ） A． B． C． D． 4．觀察數(shù)列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特點(diǎn)，則第100項(xiàng)為（ ） A．10 B．14 C．13 D．100 5．用分析法證明：欲使①A>B，只需②Cf(x2)”的是（ ） A．f(x)＝ B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1) 7．已知對(duì)一切n∈N*都成立，那么、b、c的值為（ ） A．＝，b＝c＝ B．＝b＝c＝ C．＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的、b、c 8．已知，，，，，，則等于（ ） A． B． C． D． 9．已知各項(xiàng)均不為零的數(shù)列，定義向量，，．下列命題中真命題是（ ） A．若總有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列 B．若總有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列 C．若總有成立，則數(shù)列是等差數(shù)列 D．若總有成立，則數(shù)列是等比數(shù)列 10．用反證法證明命題“若整數(shù)系數(shù)一元二次方程x2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”，下列各假設(shè)中正確的是（ ） A．假設(shè)、b、c都是偶數(shù) B．假設(shè)、b、c都不是偶數(shù) C．假設(shè)、b、c中至多有一個(gè)是偶數(shù) D．假設(shè)、b、c中至多有兩個(gè)偶數(shù) 11．已知函數(shù)f(x)＝lg，若，則等于（ ） A．b B．－b C． D．－ 12．已知f(x)＝x3＋x，、b、c∈R，且，，b＋c>0，則的值（ ） A．一定大于零 B．一定等于零 C．一定小于零 D．正負(fù)都有可能 二、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上） 13．“∵AC、BD是菱形ABCD的對(duì)角線，∴AC、BD互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________． 14．設(shè)函數(shù)(x>0)，觀察： ， ， ， ， … 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，________． 15．由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則： ①“mn＝nm”類比得到“”； ②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“”； ③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“，”； ④“|mn|＝|m||n|”類比得到“”； ⑤“(mn)t＝m(nt)”類比得到“”； ⑥“”類比得到“”． 以上類比得到的結(jié)論正確的是________． 16．觀察下列等式： 1＝1　　　　　　　　　13＝1 1＋2＝3 13＋23＝9 1＋2＋3＝6 13＋23＋33＝36 1＋2＋3＋4＝10 13＋23＋33＋43＝100 1＋2＋3＋4＋5＝15 13＋23＋33＋43＋53＝225 … … 可以推測：13＋23＋33＋…＋n3＝________．(n∈N*，用含有n的代數(shù)式表示) 三、解答題(本大題共6個(gè)小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．（10分）觀察下面所示的“三角數(shù)陣” 記第n行的第2個(gè)數(shù)為(n≥2，n∈N*)，請(qǐng)仔細(xì)觀察上述“三角數(shù)陣”的特征，完成下列各題： （1）第6行的6個(gè)數(shù)依次為________、________、________、________、________、________； （2）依次寫出、、、； （3）歸納出與的關(guān)系式． 18．（12分）已知函數(shù)，求證：函數(shù)在上為增函數(shù)． 19．（12分）已知橢圓具有以下性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，若直線PM、PN的斜率都存在，并記為、，那么與之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線，寫出具有類似的性質(zhì)，并加以證明． 20．（12分）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C為等差數(shù)列，且，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊．求證：(＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(＋b＋c)－1． 21．（12分）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，＝1＋，S3＝9＋3． （1）求數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和Sn； （2）設(shè)bn＝(n∈N＋)，求證：數(shù)列中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列． 22．（12分）已知函數(shù)f(x)＝(x－2)ex－x2＋x＋2． （1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； （2）證明：當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)>x3－x． 2018-2019學(xué)年選修1-2第二章訓(xùn)練卷 推理與證明（一） 答 案 一、選擇題 1．【答案】D 【解析】“不全為0”的含義是至少有一個(gè)不為0，其否定應(yīng)為“全為0”．故選D． 2．【答案】C 【解析】歸納“金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知，后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分，故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項(xiàng)為8，公差是6的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為．故選C． 3．【答案】B 【解析】，∴，， ∴．， ∴．由此猜想．故選B． 4．【答案】B 【解析】設(shè)n∈N*，則數(shù)字n共有n個(gè)，∴即n(n＋1)≤200， 又∵n∈N*，∴n＝13，到第13個(gè)13時(shí)共有＝91項(xiàng)，從第92項(xiàng)開始為14， 故第100項(xiàng)為14．故選B． 5．【答案】B 【解析】∵②?①，∴①是②的必要條件．故選B． 6．【答案】A 【解析】若滿足題目中的條件，則f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，在A、B、C、D四選項(xiàng)中，由基本函數(shù)性質(zhì)知，A是減函數(shù)，故選A． 7．【答案】A 【解析】令n＝1，2，3，得， ∴＝，b＝c＝．故選A． 8．【答案】A 【解析】由已知，有，，，，，，可以歸納出： ，，，． ∴．故選A． 9．【答案】A 【解析】∵對(duì)總有，則存在實(shí)數(shù)，使， ∴，∴是等差數(shù)列．故選A． 10．【答案】B 【解析】對(duì)命題的結(jié)論“、b、c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”進(jìn)行否定假設(shè)應(yīng)是“假設(shè)、b、c都不是偶數(shù)”．∵“至少有一個(gè)”即有一個(gè)、兩個(gè)或三個(gè)，因此它的否定應(yīng)是“都不是”．故選B． 11．【答案】B 【解析】f(x)定義域?yàn)?－1，1)， ． 故選B． 12．【答案】A 【解析】f(x)＝x3＋x是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)， 由得， ∴，即，同理，， ∴．故選A． 二、填空題 13．【答案】菱形對(duì)角線互相垂直且平分 14．【答案】 【解析】由已知可歸納如下：， ，， ，…，． 15．【答案】①② 【解析】①②都正確；③⑥錯(cuò)誤，∵向量不能相除； ④可由數(shù)量積定義判斷，∴錯(cuò)誤； ⑤向量中結(jié)合律不成立，∴錯(cuò)誤． 16．【答案】 【解析】由條件可知：，， ， ，不難得出． 三、解答題 17．【答案】（1）6，16，25，25，16，6；（2）2，4，7，11；（3）． 【解析】由數(shù)陣可看出，除首末兩數(shù)外，每行中的數(shù)都等于它上一行的肩膀上的兩數(shù)之和，且每一行的首末兩數(shù)都等于行數(shù)． （1）6，16，25，25，16，6． （2），，，． （3）∵，，， 由此歸納：． 18．【答案】見解析． 【解析】設(shè)，是上的任意兩實(shí)數(shù)，且， 則 ． ∵，且，∴，． 又∵，， ∴． ∴，∴． ∴函數(shù)在上為增函數(shù)． 19．【答案】見解析． 【解析】類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，若直線PM、PN的斜率都存在，并記為、，那么與之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值． 證明如下：設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)為、，則． ∵點(diǎn)M(m，n)在已知雙曲線上， ∴n2＝m2－b2．同理y2＝x2－b2． 則kPMkPN＝＝＝＝ (定值)． 20．【答案】見解析． 【解析】要證(＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(＋b＋c)－1， 即證， 只需證． 化簡得， 即c(b＋c)＋(＋b)＝(＋b)(b＋c)， ∴只需證c2＋2＝b2＋c． ∵△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列， ∴B＝60， ∴cosB＝＝， 即2＋c2－b2＝c成立． ∴(＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(＋b＋c)－1成立． 21．【答案】（1）＝2n＋－1，Sn＝n(n＋)；（2）見解析． 【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d， 則3＋d＝9＋3， 解得d＝2，∴＝1＋＋(n－1)2＝2n＋－1， Sn＝n＝n(n＋)． （2）bn＝＝n＋．用反證法證明． 設(shè)bn，bm，bk成等比數(shù)列(m，n，k互不相等)， 則bnbk＝b，即(n＋)(k＋)＝(m＋)2， 整理得：nk－m2＝(2m－n－k)，左邊為有理數(shù)，右邊是無理數(shù)，矛盾， 故任何不同三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列． 22．【答案】（1）見解析；（2）見解析． 【解析】（1）f ′(x)＝(x－1)(ex－1)， 當(dāng)x＜0或x＞1時(shí)，f ′(x)＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f ′(x)＜0， ∴f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(0，1)上單調(diào)遞減， 當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)有極大值f(0)＝0，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)有極小值f(1)＝－e． （2）設(shè)g(x)＝f(x)－x3＋x，則g′(x)＝(x－1)(ex－－)， 令u(x)＝ex－－，則u′(x)＝ex－， 當(dāng)x≥1時(shí)，u′(x)＝ex－>0，u(x)在[1,＋∞)上單調(diào)遞增，u(x)≥u(1)＝e－2>0， ∴g′(x)＝(x－1)(ex－－)≥0，g(x)＝f(x)－x3＋x在[1,＋∞)上單調(diào)遞增． g(x)＝f(x)－x3＋x≥g(1)＝－e>0， ∴f(x)>x3－x．