2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第5講 課后作業(yè) 理（含解析）.doc

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第7章 立體幾何 第5講 A組　基礎(chǔ)關(guān) 1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點(diǎn)A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關(guān)系中，不一定成立的是(　　) A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β 答案　D 解析　如圖所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β，只有D不一定成立，故選D. 2．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有(　　) A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFH C．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF 答案　B 解析　根據(jù)折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變，∴AH⊥平面EFH，B正確；∵過(guò)A只有一條直線與平面EFH垂直，∴A不正確；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF?平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，過(guò)H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，∴C不正確；已證平面HAG⊥平面AEF，若證HG⊥平面AEF，只需證HG⊥AG，已證AH⊥HG，故HG⊥AG不成立，所以HG與平面AEF不垂直，∴D不正確．故選B. 3. 如圖，已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直線BC∥平面PAE D．直線PD與平面ABC所成的角為45 答案　D 解析　選項(xiàng)A，B，C顯然錯(cuò)誤．∵PA⊥平面ABC，∴∠PDA是直線PD與平面ABC所成的角．∵ABCDEF是正六邊形，∴AD＝2AB.∵tan∠PDA＝＝＝1，∴直線PD與平面ABC所成的角為45.故選D. 4．(2017江西南昌摸底)如圖，在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H必在(　　) A．直線AB上 B．直線BC上 C．直線AC上 D．△ABC內(nèi)部 答案　A 解析　因?yàn)锳B⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H必在直線AB上．故選A. 5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是C1C的中點(diǎn)，則直線BE與平面B1BD所成的角的正弦值為(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　B 解析　如圖，延長(zhǎng)BE與B1C1的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F， 連接FD1， 因?yàn)镋為C1C的中點(diǎn)， 四邊形BCC1B1是正方形， 所以C1F＝B1C1＝BC， 所以∠C1D1F＝∠C1D1B1＝45， 所以FD1⊥B1D1，易證FD1⊥平面BB1D1D. 所以∠BFD1是直線BE與平面B1BD所成的角． 設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，則 D1F＝B1D1＝a. BF＝＝a， 所以sin∠BFD1＝＝＝. 6．如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動(dòng)點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長(zhǎng)為(　　) A. B．1 C. D．2 答案　A 解析　設(shè)B1F＝x， 因?yàn)锳B1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF， 所以AB1⊥DF. 由已知可以得A1B1＝， 矩形ABB1A1中，tan∠FDB1＝， tan∠A1AB1＝＝. 又∠FDB1＝∠A1AB1，所以＝. 故B1F＝＝.故選A. 7．已知正方體ABCD－A1B1C1D1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是線段DC，D1D和D1B上的動(dòng)點(diǎn)，給出下列結(jié)論： ①對(duì)于任意給定的點(diǎn)E，存在點(diǎn)F，使得AF⊥A1E； ②對(duì)于任意給定的點(diǎn)F，存在點(diǎn)E，使得AF⊥A1E； ③對(duì)于任意給定的點(diǎn)G，存在點(diǎn)F，使得AF⊥B1G； ④對(duì)于任意給定的點(diǎn)F，存在點(diǎn)G，使得AF⊥B1G. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案　C 解析　因?yàn)镈E⊥平面A1D，根據(jù)三垂線定理，對(duì)于任意給定的點(diǎn)E，A1E在平面A1D的射影為A1D，所以存在點(diǎn)F，使得AF⊥A1D，所以AF⊥A1E，①正確；如果對(duì)于任意給定的點(diǎn)F，存在點(diǎn)E，使得AF⊥A1E；那么AF⊥A1D，又AD1⊥A1D，得到過(guò)A有兩條直線與A1D垂直，故②錯(cuò)誤；只有AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影時(shí)，AF⊥B1G，所以當(dāng)G位于D1B的上半部分時(shí)，在D1D上不存在F點(diǎn)，使AF垂直B1G在平面BCC1B1中的射影，③錯(cuò)誤；對(duì)任意給定的點(diǎn)F，存在平面BCC1B1上的線段B1G′和AF垂直，且B1G′為B1G的投影，所以④正確，所以C正確． 8．如圖，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90，且AB＝AC＝a，則AD＝________. 答案　a 解析　作BC中點(diǎn)E，連接AE，DE，則在Rt△ABC中， AB＝AC＝a，由勾股定理得 BC＝2AE＝a，且有AE⊥BC， 又平面ABC⊥平面BDC，平面ABC∩平面BDC＝BC且直線AE在平面ABC內(nèi)， ∴由面面垂直的性質(zhì)定理得AE⊥平面BCD， ∵DE?平面BCD內(nèi)，∴AE⊥DE， 又在Rt△BCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)， ∴DE＝＝a， ∴在Rt△ADE中，AE＝a， 由勾股定理得AD＝＝a. 9．(2016全國(guó)卷Ⅱ)α，β是兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，有下列四個(gè)命題： ①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β； ②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n； ③如果α∥β，m?α，那么m∥β； ④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等． 其中正確的命題有________．(填寫所有正確命題的編號(hào)) 答案?、冖邰? 解析　對(duì)于①，由m⊥n，m⊥α可得n∥α或n在α內(nèi)，當(dāng)n∥β時(shí)，α與β可能相交，也可能平行，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，過(guò)直線n作平面與平面α交于直線c，由n∥α可知n∥c，∵m⊥α，∴m⊥c，∴m⊥n，故②正確；對(duì)于③，由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知正確；對(duì)于④，由線面所成角的定義和等角定理可知其正確，故正確的有②③④. 10．(2018蘭州實(shí)戰(zhàn)考試)α，β是兩平面，AB，CD是兩條線段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一個(gè)條件，就能得出BD⊥EF.現(xiàn)有下列條件：①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF. 其中能成為增加條件的序號(hào)是________． 答案　①③ 解析　由題意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四點(diǎn)共面． ①中，∵AC⊥β，EF?β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF?α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD， 又∵BD?平面ABCD，∴BD⊥EF，故正確；②不能得到BD⊥EF，故錯(cuò)誤；③中，由AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上可知平面ABCD⊥β，又AB⊥α，AB?平面ABCD，∴平面ABCD⊥α.∵平面ABCD⊥α，平面ABCD⊥β，α∩β＝EF，∴EF⊥平面ABCD，又BD?平面ABCD，∴BD⊥EF，故正確；④中，由①知，若BD⊥EF，則EF⊥平面ABCD，則EF⊥AC，故錯(cuò)誤，故填①③. B組　能力關(guān) 1．(2018靜海月考)如圖所示，三棱錐P－ABC的底面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點(diǎn)P，A，B是定點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是(　　) A．一條線段 B．一條直線 C．一個(gè)圓 D．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn) 答案　D 解析　∵平面PAC⊥平面PBC，而平面PAC∩平面PBC＝PC. 又AC?平面PAC，且AC⊥PC，∴AC⊥平面PBC， 而BC?平面PBC，∴AC⊥BC，∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上， ∴點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)圓，但是要去掉A和B兩點(diǎn)．故選D. 2．如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為A1D1的中點(diǎn)，Q為A1B1上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為CD上任意兩點(diǎn)，且EF的長(zhǎng)為定值，則下面的四個(gè)值中不為定值的是(　　) A．點(diǎn)P到平面QEF的距離 B．三棱錐P－QEF的體積 C．直線PQ與平面PEF所成的角 D．二面角P－EF－Q的大小 答案　C 解析　A中，因?yàn)槠矫鍽EF也就是平面A1B1CD，顯然點(diǎn)P到平面A1B1CD的距離是定值，所以點(diǎn)P到平面QEF的距離為定值；B中，因?yàn)椤鱍EF的面積是定值(EF為定長(zhǎng)，點(diǎn)Q到EF的距離就是點(diǎn)Q到CD的距離，也是定長(zhǎng)，即底和高都是定值)，再根據(jù)A的結(jié)論，即點(diǎn)P到平面QEF的距離也是定值，所以三棱錐P－QEF的高也是定值，于是其體積固定，所以三棱錐P－QEF的體積是定值；C中，因?yàn)镼是動(dòng)點(diǎn)，PQ的長(zhǎng)不固定，而Q到平面PEF的距離為定值，所以PQ與平面PEF所成的角不是定值；D中，因?yàn)锳1B1∥CD，Q為A1B1上任意一點(diǎn)，E，F(xiàn)為CD上任意兩點(diǎn)，所以二面角P－EF－Q的大小即為二面角P－CD－A1的大小，為定值． 3．(2018全國(guó)卷Ⅰ)已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線與平面α所成的角相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為(　　) A. B． C． D． 答案　A 解析　根據(jù)相互平行的直線與平面所成的角是相等的，所以在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面AB1D1與線AA1，A1B1，A1D1所成的角是相等的，所以平面AB1D1與正方體的每條棱所在的直線所成角都是相等的，同理平面C1BD也滿足與正方體的每條棱所在的直線所成的角都是相等的，要求截面面積最大，則截面的位置為夾在兩個(gè)面AB1D1與C1BD中間的，且過(guò)棱的中點(diǎn)的正六邊形，邊長(zhǎng)為，所以其面積為S＝62＝，故選A. 4．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90，AB＝AC＝2，AA1＝4，過(guò)A1作底面ABC的垂線，垂足為BC的中點(diǎn)，D為B1C1的中點(diǎn)． (1)證明：A1D⊥平面A1BC； (2)求直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值． 解　(1)證明：如圖，設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接AE，DE，A1E. 由題意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE. 因?yàn)锳B＝AC，所以AE⊥BC.所以AE⊥平面A1BC. 由D，E分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，得DE∥BB1，且DE＝BB1，從而DE∥AA1，且DE＝AA1， 所以四邊形AA1DE是平行四邊形，所以A1D∥AE. 又因?yàn)锳E⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC. (2)如圖，作A1F⊥DE，垂足為F，連接BF. 因?yàn)锳1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E. 因?yàn)锽C⊥AE，AE∩A1E＝E， 所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F. 又因?yàn)镈E∩BC＝E，所以A1F⊥平面BB1C1C. 所以∠A1BF為直線A1B與平面BB1C1C所成的角． 由AB＝AC＝2，∠CAB＝90，得EA＝EB＝. 由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝. 由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝，∠DA1E＝90， 得A1F＝.所以sin∠A1BF＝＝. C組　素養(yǎng)關(guān) 1．如圖1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)．將△ABE沿BE折起到圖2中△A1BE的位置，得到四棱錐A1－BCDE. (1)證明：CD⊥平面A1OC； (2)當(dāng)平面A1BE⊥平面BCDE時(shí)，四棱錐A1－BCDE的體積為36，求a的值． 解　(1)證明：在圖1中，連接EC(圖略)， 因?yàn)锳B＝BC＝AD＝a，∠BAD＝90，AD∥BC， E是AD的中點(diǎn)， 所以四邊形ABCE為正方形， 所以BE⊥AC， 即在圖2中，BE⊥A1O，BE⊥OC， 又A1O∩OC＝O，從而BE⊥平面A1OC， 又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC. (2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE， 且平面A1BE∩平面BCDE＝BE， 又由(1)可知A1O⊥BE， 所以A1O⊥平面BCDE， 即A1O是四棱錐A1－BCDE的高， 由圖1知，A1O＝AB＝a， 平行四邊形BCDE的面積S＝BCAB＝a2， 從而四棱錐A1－BCDE的體積 V＝SA1O＝a2a＝a3， 由a3＝36，解得a＝6. 2．如圖，直角三角形ABC中，∠BAC＝60，點(diǎn)F在斜邊AB上，且AB＝4AF，D，E是平面ABC同一側(cè)的兩點(diǎn)，AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，AD＝3，AC＝BE＝4. (1)求證：平面CDF⊥平面CEF； (2)點(diǎn)M在線段BC上，異面直線CF與EM所成角的余弦值為，求CM的長(zhǎng)． 解　(1)證明：連接DE.∵AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC， ∴AD∥BE，即AD，BE在同一平面上，且AD⊥AB，BE⊥AB. 在Rt△ABC中，∠BAC＝60，AC＝4， ∴AB＝8，BC＝4. ∵AB＝4AF，∴AF＝2，由余弦定理可得CF＝2. ∵AD＝3，BE＝4，∴DE＝＝. 在Rt△ADF中，DF＝＝. 在Rt△ACD中，DC＝＝5. 在Rt△BEF中，EF＝＝＝. ∴DF2＋CF2＝DC2，DF2＋EF2＝DE2， ∴DF⊥CF，DF⊥EF.又CF∩EF＝F， ∴DF⊥平面CEF.∵DF?平面CDF， ∴平面CDF⊥平面CEF. (2)過(guò)點(diǎn)M在平面ABC中作MN∥CF交AB于點(diǎn)N，連接EN，則∠EMN即為異面直線CF與EM所成的角或其補(bǔ)角． 設(shè)＝k(0EN，∴cos∠EMN>0. ∴cos∠EMN＝＝＝， 解得k＝. ∴CM＝(1－k)BC＝.