2018-2019學年高一數學 寒假訓練08 平行、垂直關系的證明.docx
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寒假訓練08平行、垂直關系的證明 [2018伊春二中]如圖,在直三棱柱中,已知,,設的中點為,. 求證:(1)平面; (2). 【答案】(1)見解析;(2)見解析. 【解析】(1)由題意知,為的中點, 又為的中點,因此. 又因為平面,平面,所以平面. (2)因為棱柱是直三棱柱,所以平面. 因為平面,所以. 又因為,平面,平面,, 所以平面, 又因為平面,所以. 因為,所以矩形是正方形,因此. 因為,平面,,所以平面. 又因為平面,所以. 一、選擇題 1.[2018東北育才]已知互不重合的直線,,互不重合的平面,,給出下列四個命題,正確命題的個數是() ①若,,,則 ②若,,,則 ③若,,,則 ④若,,則 A.1 B.2 C.3 D.4 2.[2018阜蒙二高]若、是兩個不同的平面,、是兩條不同的直線,則下列結論錯誤的是() A.如果,那么,與所成的角和與所成的角相等 B.如果,,那么 C.如果,,那么 D.如果,,那么 3.[2018南康中學]下列四個正方體圖形中,,,為正方體所在棱的中點,則能得出平面平面的是() A. B. C. D. 4.[2018安達田家炳中學]如圖所示,在正方體中,若是的中點,則直線垂直于() A. B. C. D. 5.[2018九江二中]如圖,在正方形中,、分別是、的中點,現在沿、、把這個正方形折成一個四面體,使、、重合,重合后的點記為.給出下列關系: ①平面;②平面;③;④平面.其中成立的有() A.①與② B.①與③ C.②與③ D.③與④ 6.[2018福州一中]如圖所示,在三棱錐中,平面平面,,,則() A.平面 B.平面 C.與平面相交但不垂直 D.平面 7.[2018福州期末]如下圖,梯形中,,,,,將沿對角線折起.設折起后點的位置為,并且平面平面.給出下面四個命題: ①;②三棱錐的體積為;③平面; ④平面平面.其中正確命題的序號是() A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 8.[2018鶴崗一中]如圖,正方體的棱長為1,線段上有兩個動點,, 且;則下列結論錯誤的是() A. B. C.三棱錐的體積為定值 D.的面積與的面積相等 9.[2018惠民縣二中]如圖,矩形,下列結論中不正確的是() A. B. C. D. 10.[2018東城二中]如圖,已知四邊形是正方形,,,,都是等邊三角形,、、、分別是線段、、、的中點, 分別以、、、為折痕將四個等邊三角形折起,使得、、、四點重合于一點,得到一個四棱錐.對于下面四個結論: ①與為異面直線;②直線與直線所成的角為; ③平面;④平面平面. 其中正確結論的個數有() A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 11.[2018泉州期末]某正方體的平面展開圖如圖所示,則在這個正方體中() A.與相交 B.與平行 C.與平行 D.與異面 12.[2018鄂州期中]如圖,所在的平面,是的直徑,是上的一點,于,,給出下列結論:①平面;②平面;③;④平面.其中正確命題的個數是() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空題 13.[2018姜堰期中]已知,是兩條不重合的直線,,,是三個兩兩不重合的平面給出下列四個命題: (1)若,,則 (2)若,,則 (3)若,,,則 (4)若,,則 其中正確的命題是________.(填上所有正確命題的序號) 14.[2018姜堰期中]如圖,直三棱柱中,,,,,為線段上的一動點,則當最小時,的面積為_______. 15.[2018南寧三中],是兩個平面,,是兩條直線,有下列四個命題: ①如果,,,,那么; ②如果,,那么; ③如果,,那么; ④如果,,那么與所成的角和與所成的角相等. 其中正確的命題有_________.(填寫所有正確命題的編號) 16.[2018洛陽名校]正方體中,,,分別是棱,,的中點,點在對角線上,給出以下命題: ①當在線段上運動時,恒有平面; ②當在線段上運動時,恒有平面; ③過點且與直線和所成的角都為的直線有且只有3條. 其中正確命題為________. 三、解答題 17.[2018桂林十八中]如圖,在四棱錐中,底面是正方形,,,,分別為,的中點. (1)證明:直線; (2)求三棱錐的體積. 18.[2018正定縣三中]如圖,三棱柱,底面,且為正三角形,,為中點. (1)求三棱錐的體積; (2)求證:平面平面; (3)求證:直線平面. 寒假訓練08平行、垂直關系的證明 一、選擇題 1.【答案】C 【解析】由題意,已知互不重合的直線,和互不重合的平面,, 在A中,由于,,,過直線與平面,都相交的平面, 記,,則且,所以,又,所以, 故A是正確的; 在B中,若,,,則由面面垂直和線面垂直的性質得, 所以是正確; 在C中,若,,,則由線面垂直的判定定理得, 所以是正確; 在D中,若,,則或,所以是不正確的,故選C. 2.【答案】B 【解析】A,如果,,根據線面角的定義可知,與所成的角和,與所成的角均相等,故A正確; B,如果,,,、可平行也可以相交,不能得出, 故B錯誤; C,如果,,那么與無公共點,則,故C正確; D,如果,則存在直線,使,由,可得,那么, 故D正確,故選B. 3.【答案】B 【解析】B中,可證,,故可以證明平面, 平面.又,所以平面平面.故選B. 4.【答案】B 【解析】以為原點,,,所在直線分別為,,軸建立空間直角坐標系,設正方體棱長為1,則,,,,,,,,,,,,則,即,故選B. 5.【答案】B 【解析】∵,,∴,,∴平面, 故①正確; 同理可得平面,又∵平面,根據線面垂直的性質定理, 得,故③正確,故選B. 6.【答案】B 【解析】∵,,∴. 又∵平面平面,平面平面,∴平面,故選B. 7.【答案】B 【解析】①,,, ,,, 平面平面,且平面平面,平面, 平面,,故不成立,故①錯誤; ②棱錐的體積為,故②錯誤; ③由①知平面,故③正確; ④由①知平面,又平面,, 又,且、平面,, 平面,又平面, 平面平面,故④正確.故選B. 8.【答案】D 【解析】在正方體中,平面, 而平面,故,故A正確. 又平面,因此平面,故B正確. 當變化時,三角形的面積不變,點到平面的距離就是到平面的距離,它是一個定值,故三棱錐的體積為定值(此時可看成三棱錐的體積),故C正確. 在正方體中,點到的距離為,而到的距離為1,D是錯誤的. 綜上,故選D. 9.【答案】A 【解析】∵矩形,∴, 若,則平面, 又平面,則過平面外一面有兩條直線與平面垂直,不成立, 故不正確,故A不正確; ∵矩形,∴,, ∴平面,∴,故B正確; ∵矩形,∴由三垂線定理得,故C正確; ∵矩形,∴由直線與平面垂直的性質得,故D正確.故選A. 10.【答案】D 【解析】①錯誤.所得四棱錐中,設中點為,則、兩點重合, ∵,即,即與不是異面直線; ②正確.∵,與重合,且與所成角為, 說明與所成角為; ③正確.∵,平面,平面, ∴平面,∴平面; ④正確.∵平面,平面,點, ∴平面平面,即平面平面,故選D. 11.【答案】B 【解析】根據題意得到立體圖如圖所示: A.與是異面直線,故不相交; B.與平行,由立體圖知是正確的; C.與位于兩個平行平面內,故不正確; D.與是相交的. 故答案為B. 12.【答案】C 【解析】因為所在的平面,所在的平面,所以, 而,,所以平面,故①正確; 又因為平面,所以,而,, 所以平面,故②正確; 而平面,所以,而,, 所以平面,而平面,所以,故③正確; 因為平面,假設平面,所以,顯然不成立,故④不正確;故選C. 二、填空題 13.【答案】(1) 【解析】(1)根據線面垂直的性質可知若,,則成立; (2)若,,則或與相交;故(2)不成立; (3)根據面面平行的可知,當與相交時,,若兩直線不相交時,結論不成立; (4)若,,則或,故(4)不成立. 故正確的是(1),故答案為(1). 14.【答案】 【解析】將直三棱柱沿棱展開成平面連接,與的交點即為滿足最小時的點, 由于,,,再結合棱柱的性質,可得, 由圖形及棱柱的性質,可得,,,.∴, 的面積為,故答案為. 15.【答案】②③④ 【解析】①如果,不一定相交,不能得出,故錯誤; ②如果,則存在直線,使,由,可得,那么.故正確; ③如果,,那么與無公共點,則.故正確; ④如果,,那么,與所成的角和,與所成的角均相等.故正確; 故答案是②③④. 16.【答案】②③ 【解析】①當位于與平面的交點處時,在平面內, ②因為垂直于和,所以成立, ③和成角,過點與兩直線成的直線有三條 故答案為②③. 三、解答題 17.【答案】(1)詳見解析;(2). 【解析】(1)證明:取的中點,連,, ∵為的中點,∴,, 又,,∴為平行四邊形,∴, ,,∴. (2)∵,為的中點,∴點. 又,∴, 即三棱錐的體積為. 18.【答案】(1);(2)見解析;(3)見解析. 【解析】(1)∵為正三角形,為中點,∴, 由可知,,,∴. 又∵底面,且,∴底面,且, ∴. (2)∵底面,∴. 又,∴平面. 又平面,∴平面平面. (3)連接交于,連接, 在中,為中點,為中點,所以, 又平面,∴直線平面.- 配套講稿:
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