2020高考數(shù)學刷題首選卷 考點測試14 變化率與導數(shù) 理(含解析).docx
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考點測試14 變化率與導數(shù)、導數(shù)的計算 一、基礎小題 1.下列求導運算正確的是( ) A.′=1+ B.(log2x)′= C.(3x)′=3xlog3e D.(x2cosx)′=-2xsinx 答案 B 解析 ′=1-;(3x)′=3xln 3;(x2cosx)′=(x2)′cosx+x2(cosx)′=2xcosx-x2sinx,所以A,C,D錯誤.故選B. 2.已知函數(shù)f(x)=xsinx+cosx,則f′的值為( ) A. B.0 C.-1 D.1 答案 B 解析 f′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx, ∴f′=cos=0,故選B. 3.設f(x)=xln x,f′(x0)=2,則x0=( ) A.e2 B.e C. D.ln 2 答案 B 解析 ∵f′(x)=1+ln x,∴f′(x0)=1+ln x0=2, ∴x0=e.故選B. 4.已知一個物體的運動方程為s=1-t+t2,其中s的單位是m,t的單位是s,那么物體在4 s末的瞬時速度是( ) A.7 m/s B.6 m/s C.5 m/s D.8 m/s 答案 A 解析 ==7+Δt,當Δt無限趨近于0時,無限趨近于7.故選A. 5.已知函數(shù)f(x)在R上可導,且f(x)=x2+2xf′(2),則函數(shù)f(x)的解析式為( ) A.f(x)=x2+8x B.f(x)=x2-8x C.f(x)=x2+2x D.f(x)=x2-2x 答案 B 解析 由題意得f′(x)=2x+2f′(2),則f′(2)=4+2f′(2),所以f′(2)=-4,所以f(x)=x2-8x. 6.已知函數(shù)y=f(x)的圖象如圖,則f′(xA)與f′(xB)的大小關系是( ) A.f′(xA)>f′(xB) B.f′(xA)<f′(xB) C.f′(xA)=f′(xB) D.不能確定 答案 B 解析 f′(xA)和f′(xB)分別表示函數(shù)圖象在點A,B處的切線的斜率,故f′(xA)<f′(xB). 7.設f(x)是可導函數(shù),且滿足=-1,則y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為( ) A.-1 B.1 C.2 D.-2 答案 A 解析?。剑?,即f′(1)=-1,由導數(shù)的幾何意義知,y=f(x)在點(1,f(1))處的切線的斜率為-1. 8.已知過點P(2,-2)的直線l與曲線y=x3-x相切,則直線l的方程為________. 答案 y=8x-18或y=-x 解析 設切點為(m,n),因為y′=x2-1,所以 解得或所以切線的斜率為8或-1,所以切線方程為y=8x-18或y=-x. 二、高考小題 9.(2018全國卷Ⅰ)設函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為( ) A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x 答案 D 解析 因為函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以a-1=0,解得a=1,所以f(x)=x3+x,f′(x)=3x2+1,所以f′(0)=1,f(0)=0,所以曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y-f(0)=f′(0)x,化簡可得y=x,故選D. 10.(2018全國卷Ⅱ)曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為________. 答案 y=2x 解析 ∵y′=,∴k==2,∴所求切線方程為y=2x. 11.(2018全國卷Ⅲ)曲線y=(ax+1)ex在點(0,1)處的切線的斜率為-2,則a=________. 答案?。? 解析 由y′=aex+(ax+1)ex, 則f′(0)=a+1=-2. 所以a=-3. 12.(2017天津高考)已知a∈R,設函數(shù)f(x)=ax-ln x的圖象在點(1,f(1))處的切線為l,則l在y軸上的截距為________. 答案 1 解析 由題意可知f′(x)=a-,所以f′(1)=a-1,因為f(1)=a,所以切點坐標為(1,a),所以切線l的方程為y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1. 令x=0,得y=1,即直線l在y軸上的截距為1. 13.(2016全國卷Ⅲ)已知f(x)為偶函數(shù),當x<0時,f(x)=ln (-x)+3x,則曲線y=f(x)在點(1,-3)處的切線方程是________. 答案 y=-2x-1 解析 令x>0,則-x<0,f(-x)=ln x-3x, 又f(-x)=f(x), ∴f(x)=ln x-3x(x>0),則f′(x)=-3(x>0), ∴f′(1)=-2,∴在點(1,-3)處的切線方程為y+3=-2(x-1),即y=-2x-1. 三、模擬小題 14.(2018江西重點中學盟校第一次聯(lián)考)函數(shù)y=x3的圖象在原點處的切線方程為( ) A.y=x B.x=0 C.y=0 D.不存在 答案 C 解析 函數(shù)y=x3的導數(shù)為y′=3x2,則在原點處的切線斜率為0,所以在原點處的切線方程為y-0=0(x-0),即y=0,故選C. 15.(2018福建福州八縣聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)是f′(x),且滿足f(x)=2xf′(1)+ln ,則f(1)=( ) A.-e B.2 C.-2 D.e 答案 B 解析 由已知得f′(x)=2f′(1)-,令x=1 得f′(1)=2f′(1)-1,解得f′(1)=1,則 f(1)=2f′(1)=2. 16.(2018廣東深圳二模)設函數(shù)f(x)=x++b,若曲線y=f(x)在點(a,f(a))處的切線經(jīng)過坐標原點,則ab=( ) A.1 B.0 C.-1 D.-2 答案 D 解析 由題意可得,f(a)=a++b,f′(x)=1-,所以f′(a)=1-,故切線方程是y-a--b=1-(x-a),將(0,0)代入得-a--b=1-(-a),故b=-,故ab=-2,故選D. 17.(2018湖南株洲高三教學質(zhì)量統(tǒng)一檢測二)設函數(shù)f(x)=xsinx+cosx的圖象在點(t,f(t))處切線的斜率為g(t),則函數(shù)y=g(t)的圖象一部分可以是( ) 答案 A 解析 由f(x)=xsinx+cosx可得f′(x)=sinx+xcosx-sinx=xcosx,即y=g(t)=tcost,是奇函數(shù),排除B,D;當t∈0,時,y=g(t)>0,排除C.故選A. 18.(2018湖南郴州第二次教學質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)=2ln x≤x≤e2,g(x)=mx+1,若f(x)與g(x)的圖象上存在關于直線y=1對稱的點,則實數(shù)m的取值范圍是________. 答案 [-2e-,3e] 解析 直線g(x)=mx+1關于直線y=1對稱的直線為y=-mx+1,因為f(x)與g(x)的圖象上存在關于直線y=1對稱的點,所以直線y=-mx+1與f(x)=2ln x的圖象在,e2上有交點,直線y=-mx+1過定點(0,1),當直線y=-mx+1經(jīng)過點,-2時,-2=-+1,解得m=3e,當直線y=-mx+1與y=2ln x≤x≤e2相切時,設切點為(x,y),則解得∴-≤m≤3e時,直線y=-mx+1與y=2ln x的圖象在,e2上有交點,即f(x)與g(x)的圖象上存在關于直線y=1對稱的點,故實數(shù)m的取值范圍是[-2e-,3e]. 一、高考大題 1.(2018全國卷Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=. (1)求曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程; (2)證明:當a≥1時,f(x)+e≥0. 解 (1)f′(x)=,f′(0)=2.因此曲線y=f(x)在點(0,-1)處的切線方程是y+1=2x,即2x-y-1=0. (2)證明:當a≥1時,f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,則g′(x)=2x+1+ex+1. 當x<-1時,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當x>-1時,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增; 所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0. 2.(2018北京高考)設函數(shù)f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex. (1)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與x軸平行,求a; (2)若f(x)在x=2處取得極小值,求a的取值范圍. 解 (1)因為f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,所以f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex. f′(1)=(1-a)e. 由題設知f′(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1. 此時f(1)=3e≠0. 所以a的值為1. (2)由(1)得f′(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex. 若a>,則當x∈,2時,f′(x)<0; 當x∈(2,+∞)時,f′(x)>0. 所以f(x)在x=2處取得極小值. 若a≤,則當x∈(0,2)時,x-2<0,ax-1≤x-1<0,所以f′(x)>0, 所以2不是f(x)的極小值點. 綜上可知,a的取值范圍是,+∞. 3.(2017北京高考)已知函數(shù)f(x)=excosx-x. (1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間0,上的最大值和最小值. 解 (1)因為f(x)=excosx-x,所以f′(x)=ex(cosx-sinx)-1,f′(0)=0. 又因為f(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=1. (2)設h(x)=ex(cosx-sinx)-1, 則h′(x)=ex(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2exsinx. 當x∈0,時,h′(x)<0, 所以h(x)在區(qū)間0,上單調(diào)遞減. 所以對任意x∈0,有h(x)<h(0)=0, 即f′(x)<0. 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間0,上單調(diào)遞減.因此f(x)在區(qū)間0,上的最大值為f(0)=1,最小值為f=-. 二、模擬大題 4.(2018福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-a(x-1). (1)當a=4時,求曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程; (2)若當x∈(1,+∞)時,f(x)>0,求a的取值范圍. 解 (1)f(x)的定義域為(0,+∞). 當a=4時,f(x)=(x+1)ln x-4(x-1), f′(x)=ln x+-3,f′(1)=-2,f(1)=0. 所以曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為2x+y-2=0. (2)當x∈(1,+∞)時, f(x)>0等價于ln x->0. 令g(x)=ln x-, 則g′(x)=-=,g(1)=0. ①當a≤2,x∈(1,+∞)時, x2+2(1-a)x+1≥x2-2x+1>0, 故g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,因此g(x)>g(1)=0; ②當a>2時,令g′(x)=0, 得x1=a-1-,x2=a-1+, 由x2>1和x1x2=1,得x1<1, 故當x∈(1,x2)時,g′(x)<0,g(x)在(1,x2)上單調(diào)遞減,此時g(x)- 配套講稿:
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