2019高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 大題提分 大題精做8 立體幾何：動(dòng)點(diǎn)與設(shè)未知量 理.docx

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大題精做8 立體幾何：動(dòng)點(diǎn)與設(shè)未知量 [2019遵義航天中學(xué)]如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，為正三角形，且側(cè)面底面，為線段的中點(diǎn)，在線段上． （1）當(dāng)是線段的中點(diǎn)時(shí)，求證：平面； （2）是否存在點(diǎn)，使二面角的大小為，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【答案】（1）見解析；（2）存在． 【解析】（1）證明：連接交于點(diǎn)，連接， ∵四邊形是菱形，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)， 又∵為的中點(diǎn)，∴， 又∵平面，平面，∴平面． （2）∵是菱形，，是的中點(diǎn)，∴， 又∵平面， 以為原點(diǎn)，分別以，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，． 假設(shè)棱上存在點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，， 則，∴， ∴，， 設(shè)平面的法向量為， 則，解得． 令，則，得． ∵平面，∴平面的法向量， ∴， ∵二面角的大小為， ∴，即，解得，或（舍去） ∴在棱上存在點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，二面角的大小為． 1．[2019躍華中學(xué)]如圖所示，正四棱椎中，底面的邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為． （1）若點(diǎn)為上的點(diǎn)，且平面，試確定點(diǎn)的位置； （2）在（1）的條件下，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)且，若平面和平面所成的銳二面角的余弦值為，求實(shí)數(shù)的值． 2．[2019湖北聯(lián)考]如圖，在四棱錐中，，，，且 ，． （1）證明：平面； （2）在線段上，是否存在一點(diǎn)，使得二面角的大小為？如果存在，求的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由． 3．[2019西城44中]如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，，側(cè)面底面，，，，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上． （1）求證：平面； （2）若為的中點(diǎn)，求證：平面； （3）如果直線與平面所成的角和直線與平面所在的角相等，求的值． 1．【答案】（1）為中點(diǎn)；（2）． 【解析】（1）設(shè)交于點(diǎn)，連結(jié)， ∵平面，平面平面，∴， 又為的中點(diǎn)，∴在中，為中點(diǎn)． （2）連結(jié)，由題意得平面，且， ∴以為原點(diǎn)，、、所成直線為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系， ， ∴，，，，， 則，，，， 設(shè)平面的法向量， 則，令，得平面的一個(gè)法向量， 設(shè)平面的法向量， 由，得，， ∴，令，得， ∵平面和平面所成的銳二面角的余弦值為， ∴，解得． 2．【答案】（1）見證明；（2）見解析． 【解析】（1）∵在底面中，，，且， ∴，，∴， 又∵，，平面，平面，∴平面， 又∵平面，∴， ∵，，∴， 又∵，，平面，平面， ∴平面． （2）方法一：在線段上取點(diǎn)，使，則， 又由（1）得平面，∴平面， 又∵平面，∴，作于， 又∵，平面，平面，∴平面， 又∵平面，∴， 又∵，∴是二面角的一個(gè)平面角， 設(shè)，則，， 這樣，二面角的大小為， 即， 即，∴滿足要求的點(diǎn)存在，且． 方法二：取的中點(diǎn)，則、、三條直線兩兩垂直 ∴可以分別以直線、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系， 且由（1）知是平面的一個(gè)法向量， 設(shè)，則，， ∴，， 設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則， ∴， 令，則，它背向二面角， 又∵平面的法向量，它指向二面角，這樣，二面角的大小為， 即， 即，∴滿足要求的點(diǎn)存在，且． 3．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）． 【解析】（1）證明：在平行四邊形中， ∵，，，∴， ∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，∴， ∵側(cè)面底面，且，∴底面，∴， 又∵，平面，平面，∴平面． （2）證明：∵為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，∴， 又∵平面，平面，∴平面， 同理，得平面， 又∵，平面，平面，∴平面平面， 又∵平面，∴平面． （3）解：∵底面，，∴，，兩兩垂直， 故以，，分別為軸，軸和軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，，， ∴，，， 設(shè)，則， ∴，， 易得平面的法向量， 設(shè)平面的法向量為，則， 即，令，得， ∴直線與平面所成的角和此直線與平面所成的角相等， ∴，即， ∴，解得或（舍去）， 故．