2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式章末復(fù)習(xí)學(xué)案 北師大版選修4-5.docx

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第一章 不等關(guān)系與基本不等式 章末復(fù)習(xí) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.梳理本章的重要知識要點(diǎn)，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).2.進(jìn)一步強(qiáng)化對平均值不等式的理解和應(yīng)用，尤其注意等號成立的條件.3.鞏固對絕對值不等式的理解和掌握，進(jìn)一步熟練絕對值不等式的應(yīng)用.4.熟練掌握不等式的證明方法． 1．實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)與大小順序的關(guān)系：a＞b?a－b＞0，a＝b?a－b＝0，a＜b?a－b＜0，由此可知要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，判斷差的符號即可． 2．不等式的4個(gè)基本性質(zhì)及5個(gè)推論． 3．絕對值不等式 (1)絕對值不等式的解法 解含絕對值的不等式的基本思想是通過去掉絕對值符號，把含絕對值的不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式或一元二次不等式．去絕對值符號常見的方法有： ①根據(jù)絕對值的定義； ②分區(qū)間討論(零點(diǎn)分段法)； ③圖像法． (2)絕對值三角不等式 ①|(zhì)a|的幾何意義表示數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，|a－b|的幾何意義表示數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離； ②|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0時(shí)等號成立)； ③|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0時(shí)等號成立)； ④||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左邊“＝”成立的條件是ab≤0，右邊“＝”成立的條件是ab≥0)； ⑤||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左邊“＝”成立的條件是ab≥0，右邊“＝”成立的條件是ab≤0)． 4．平均值不等式 (1)定理1：若a，b∈R，則a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”)． (2)定理2：若a，b∈R＋，則≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”)． (3)定理3：若a，b，c∈R＋，則a3＋b3＋c3≥3abc(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”)． (4)定理4：若a，b，c∈R＋，則≥(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”)． (5)推論：若a1，a2，…，an∈R＋，則≥.當(dāng)且僅當(dāng)a1＝a2＝…＝an時(shí)取“＝”． 5．不等式的證明方法 (1)比較法．(2)分析法．(3)綜合法．(4)反證法．(5)幾何法．(6)放縮法． 類型一　絕對值不等式的解法 例1　解下列關(guān)于x的不等式． (1)|x＋1|＞|x－3|； (2)|x－2|－|2x＋5|＞2x. 解　(1)方法一　|x＋1|＞|x－3|， 兩邊平方得(x＋1)2＞(x－3)2，∴8x＞8，∴x＞1. ∴原不等式的解集為{x|x＞1}． 方法二　分段討論： 當(dāng)x≤－1時(shí)，有－x－1＞－x＋3，此時(shí)x∈?； 當(dāng)－1＜x≤3時(shí)，有x＋1＞－x＋3， 即x＞1， ∴此時(shí)1＜x≤3； 當(dāng)x＞3時(shí)，有x＋1＞x－3，∴x＞3. ∴原不等式解集為{x|x＞1}． (2)分段討論：①當(dāng)x＜－時(shí)， 原不等式變形為2－x＋2x＋5＞2x，解得x＜7， ∴不等式解集為. ②當(dāng)－≤x≤2時(shí)，原不等式變形為2－x－2x－5＞2x，解得x＜－， ∴不等式解集為. ③當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式變形為x－2－2x－5＞2x， 解得x＜－，∴原不等式無解． 綜上可知，原不等式的解集為. 反思與感悟　含有兩個(gè)以上絕對值符號的不等式，可先求出使每個(gè)含絕對值符號的代數(shù)式等于零的未知數(shù)的值，將這些值依次在數(shù)軸上標(biāo)注出來，它們把數(shù)軸分成若干個(gè)區(qū)間，討論每一個(gè)絕對值符號內(nèi)的代數(shù)式在每一個(gè)區(qū)間的符號，轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式去解．這種方法通常稱為零點(diǎn)分段法． 跟蹤訓(xùn)練1　已知函數(shù)f(x)＝|x－a|，其中a＞1. (1)當(dāng)a＝2時(shí)，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集； (2)已知關(guān)于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2}，求a的值． 解　(1)當(dāng)a＝2時(shí)，f(x)＋|x－4|＝ 當(dāng)x≤2時(shí)，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，解得x≤1； 當(dāng)2＜x＜4時(shí)，f(x)≥4－|x－4|無解； 當(dāng)x≥4時(shí)，由f(x)≥4－|x－4|，得2x－6≥4，解得x≥5. 所以f(x)≥4－|x－4|的解集為{x|x≤1或x≥5}． (2)記h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)， 則h(x)＝ 由|h(x)|≤2，解得≤x≤. 又已知|h(x)|≤2的解集為{x|1≤x≤2}， 所以解得a＝3. 類型二　不等式的證明 例2　已知a＞b＞c＞d，求證：＋＋≥. 證明　∵a＞b＞c＞d， ∴a－b＞0，b－c＞0，c－d＞0， ∴(a－d)＝[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)] ≥33＝9. ∴＋＋≥. 反思與感悟　不等式證明的基本方法是比較法，分析法，綜合法，在證明時(shí)注意對所證不等式恰當(dāng)分組，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行證明． 跟蹤訓(xùn)練2　已知a，b，c∈R＋，且ab＋bc＋ca＝1，求證： (1)a＋b＋c≥； (2)＋＋≥(＋＋)． 證明　(1)要證a＋b＋c≥，由于a，b，c∈R＋， 因此只需證(a＋b＋c)2≥3， 即證a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 根據(jù)條件，只需證a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca， 由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2可知， 原不等式成立． (2)＋＋＝， 在(1)中已證a＋b＋c≥， ∴要證原不等式成立， 只需證≥＋＋， ∵ab＋bc＋ca＝1， 即證a＋b＋c≤1＝ab＋bc＋ca. ∵a，b，c∈R＋，a＝≤， b≤，c≤， ∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號)成立， ∴原不等式成立． 類型三　利用平均值不等式求最值 例3　已知x，y，z∈R＋，x－2y＋3z＝0，則的最小值為______． 答案　3 解析　由x－2y＋3z＝0，得y＝， 則＝≥＝3， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝3z時(shí)取“＝”． 反思與感悟　利用基本不等式求最值問題一般有兩種類型 (1)當(dāng)和為定值時(shí)，積有最大值． (2)當(dāng)積為定值時(shí)，和有最小值，在具體應(yīng)用基本不等式解題時(shí)，一定要注意適用的范圍和條件：“一正、二定、三相等”． 跟蹤訓(xùn)練3　當(dāng)0＜x＜時(shí)，函數(shù)f(x)＝的最小值為________． 答案　4 解析　f(x)＝＝＋， ∵x∈，∴cos x＞0，sin x＞0. 故f(x)＝＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)tan x＝時(shí)取“＝”． 類型四　恒成立問題 例4　設(shè)函數(shù)f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－a. (1)當(dāng)a＝1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值； (2)若f(x)≥＋1對任意的實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　(1)當(dāng)a＝1時(shí)， f(x)＝|x＋1|＋|x－4|－1≥|x＋1＋4－x|－1＝4， ∴f(x)min＝4. (2)f(x)≥＋1對任意的實(shí)數(shù)x恒成立 ?|x＋1|＋|x－4|－1≥a＋對任意的實(shí)數(shù)x恒成立 ?a＋≤4. 當(dāng)a＜0時(shí)，上式成立；當(dāng)a＞0時(shí)，a＋≥2＝4， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝2時(shí)上式取等號， 此時(shí)a＋≤4成立． 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，0)∪{2}． 反思與感悟　不等式恒成立問題，通常是分離參數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為求最大、最小值問題．當(dāng)然，根據(jù)題目特點(diǎn)，還可能用變更主次元、數(shù)形結(jié)合等方法． 跟蹤訓(xùn)練4　已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集為{x|－2≤x≤1}． (1)求a的值； (2)若|f(x)－2f|≤k恒成立，求k的取值范圍． 解　(1)由|ax＋1|≤3，得－4≤ax≤2， ∵f(x)≤3的解集為{x|－2≤x≤1}， ∴當(dāng)a≤0時(shí)，不合題意． 又當(dāng)a＞0時(shí)，－≤x≤， ∴a＝2. (2)令h(x)＝f(x)－2f＝|2x＋1|－|2x＋2|， ∴h(x)＝ ∴|h(x)|≤1， ∴k≥1，即k的取值范圍是[1，＋∞)． 1．給出下列四個(gè)命題： ①若a＞b，c＞1，則algc＞blgc；②若a＞b，c＞0，則algc＞blgc；③若a＞b，則a2c＞b2c；④若a＜b＜0，c＞0，則＞. 其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　C 解析?、僬_，c＞1，lg c＞0；②不正確，當(dāng)0＜c≤1時(shí)，lg c≤0；③正確，2c＞0；④正確，由a＜b＜0，得0＞＞，故＞. 2．設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，以下不等式恒成立的是(　　) ①＞；②a＞|a－b|－b；③a2＋b2＞4ab－3b2；④ab＋＞2. A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 答案　D 解析?、俨缓愠闪?，因?yàn)閍＝b時(shí)取“＝”；②恒成立，因?yàn)閍，b均為正數(shù)； ③不恒成立，當(dāng)a＝2，b＝1時(shí)，a2＋b2＝5,4ab－3b2＝5，a2＋b2＝4ab－3b2. ④是恒成立的，因?yàn)閍b＋≥2＞2. 3．若a＝，b＝，c＝，則(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c 答案　C 解析　a＝＝，b＝＝， ∵9＞8，∴b＞a. b＝＝，c＝＝， ∵35＞53，∴b＞c. a＝＝，c＝， ∵32＞25，∴a＞c.∴b＞a＞c，故選C. 4．求不等式＜1的解集． 解?。??－1＜1＋x＋＜1? ∴原不等式的解集為(－2,0)． 5．若不等式|x－a|＋|x－2|≥1對任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解　設(shè)y＝|x－a|＋|x－2|，則ymin＝|a－2|. 因?yàn)椴坏仁絴x－a|＋|x－2|≥1對任意x∈R恒成立． 所以|a－2|≥1，解得a≥3或a≤1. 1．本章的重點(diǎn)是平均值不等式、絕對值不等式和不等式的證明方法．要特別注意含絕對值不等式的解法． 2．重點(diǎn)題型有利用不等式的基本性質(zhì)、平均值不等式、絕對值不等式證明不等式或求函數(shù)最值問題；解絕對值不等式． 3．重點(diǎn)考查利用不等式的性質(zhì)、平均值不等式求函數(shù)的最值，含參數(shù)的絕對值不等式有解、解集是空集或恒成立問題． 4．證明不等式的基本方法及一題多證：證明不等式的基本方法主要有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等．證明不等式時(shí)既可探索新的證明方法，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，也可一題多證，開闊思路，活躍思維，目的是通過證明不等式發(fā)展邏輯思維能力，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)． 一、選擇題 1．a(chǎn)，b∈R＋，那么下列不等式中不正確的是(　　) A.＋≥2 B.＋≥a＋b C.＋≤ D.＋≥ 答案　C 解析　A滿足基本不等式；B可等價(jià)變形為(a－b)2(a＋b)≥0，正確；B選項(xiàng)中不等式的兩端同除以ab，不等式方向不變，所以C選項(xiàng)不正確；D選項(xiàng)是A選項(xiàng)中不等式的兩端同除以ab得到的，D正確． 2．設(shè)02>＝a， ∵－(x＋1)＝＝>0，∴c>b>a. 3．“a＜4”是“對任意實(shí)數(shù)x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件 答案　B 解析　∵|2x－1|＋|2x＋3|≥|2x－1－(2x＋3)|＝4， ∴當(dāng)a＜4時(shí)?|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立，即充分條件； 對任意實(shí)數(shù)x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a?a≤4，不能推出a＜4，即必要條件不成立． 4．若關(guān)于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(　　) A．(－∞，0] B．[－1,0] C．[0,1] D．[0，＋∞) 答案　C 解析　作出y＝|x＋1|與l1：y＝kx的圖象如圖所示， 當(dāng)k<0時(shí)，直線一定經(jīng)過第二、四象限，從圖看出明顯不恒成立； 當(dāng)k＝0時(shí)，直線為x軸，符合題意； 當(dāng)k>0時(shí)，要使|x＋1|≥kx恒成立，只需k≤1. 綜上可知k∈[0,1]． 5．設(shè)a＝(m2＋1)(n2＋4)，b＝(mn＋2)2，則(　　) A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)0時(shí)， ①?(1＋ab)2<[]2 ?1＋2ab＋a2b2<1＋a2＋b2＋a2b2 ?2ab

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