安徽省長豐縣高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.1 變化率與導數(shù) 3.1.1 變化率問題教案 新人教A版選修11

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1、 3.1.1變化率問題 項目 內(nèi)容 課題 （共 1 課時） 修改與創(chuàng)新 教學 目標 1．理解平均變化率的概念； 2．了解平均變化率的幾何意義； 3．會求函數(shù)在某點處附近的平均變化率 教學重、 難點 教學重點：平均變化率的概念、函數(shù)在某點處附近的平均變化率； 教學難點：平均變化率的概念． 教學 準備 多媒體課件 教學過程 一、導入新課： 為了描述現(xiàn)實世界中運動、過程等變化著的現(xiàn)象，在數(shù)學中引入了函數(shù)，隨著對函數(shù)的研究，產(chǎn)生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學中四類問題的處理直接相關(guān)： 一、已知物體運動的路程作為時間的函數(shù),求物體

2、在任意時刻的速度與加速度等; 二、求曲線的切線; 三、求已知函數(shù)的最大值與最小值; 四、求長度、面積、體積和重心等。 導數(shù)是微積分的核心概念之一它是研究函數(shù)增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具。 導數(shù)研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度． 二、講授新課： （一）問題提出 問題1氣球膨脹率 我們都吹過氣球回憶一下吹氣球的過程,可以發(fā)現(xiàn),隨著氣球內(nèi)空氣容量的增加,氣球的半徑增加越來越慢.從數(shù)學角度,如何描述這種現(xiàn)象呢? n 氣球的體積V(單位:L)與半徑r(單位:dm)之間的函數(shù)關(guān)系是 n 如果將半徑r表示為體積V的函數(shù)

3、,那么 分析: ， 1 當V從0增加到1時,氣球半徑增加了 氣球的平均膨脹率為 2 當V從1增加到2時,氣球半徑增加了 t h o 氣球的平均膨脹率為 可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了． 思考：當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少? 問題2 高臺跳水 在高臺跳水運動中,運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t（單位：s）存在函數(shù)關(guān)系h(t)= -4. 9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內(nèi)的平均速度粗略地描述其運動狀態(tài)? 思考計算：和的平均速度 在這段時間里，； 在這段時間里， 探究：計算運動

4、員在這段時間里的平均速度，并思考以下問題： ⑴運動員在這段時間內(nèi)使靜止的嗎？ ⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎？ 探究過程：如圖是函數(shù)h(t)= -4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，， 所以， 雖然運動員在這段時間里的平均速度為，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)． （二）平均變化率概念: 1．上述問題中的變化率可用式子 表示, 稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率 2．若設(shè), (這里看作是對于x1的一個“增量”可用x1+代替x2,同樣) 3． 則平均變化率為 思考：觀察函數(shù)f(x)的

5、圖象 x2 △x= x2-x1 平均變化率表示什么? f(x2) y △y =f(x2)-f(x1) f(x1) 直線AB的斜率 x1 x O 三．典例分析 例1．已知函數(shù)f(x)=的圖象上的一點及臨近一點,則 ． 解：， ∴ 例2． 求在附近的平均變化率。 解：，所以 所以在附近的平均變化率為 四．課堂練習 1．質(zhì)點運動規(guī)律為，則在時間中相應的平均速度為 ． 2.物體按照s(t)=3t2+t+4的規(guī)律作直線運動,求在4s附近的平均變化率. 3.過曲

6、線y=f(x)=x3上兩點P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲線的割線，求出當Δx=0.1時割線的斜率. 課堂小結(jié)： 1．平均變化率的概念 2．函數(shù)在某點處附近的平均變化率 布置作業(yè)： P.79 1，2 板書設(shè)計 3.1.1變化率問題 問題1 氣球膨脹率 問題2 高臺跳水 平均變化率的概念 表示, 稱為函數(shù)f(x)從x1到x2的平均變化率 設(shè), 則平均變化率為 例1 例2 教學反思 以實例引入平均變化率的概念，利于學生對此概念的理解和掌握。在給出平均變化率概念以后，再結(jié)合實例說明可以取正，也可以取負。 為導數(shù)幾何意義的學習做鋪墊，再畫圖讓學生分析平均變化率的幾何解釋。 我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài)，需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式，改變粗放式增長模式，不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展，推進新型城鎮(zhèn)化，推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因：我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。