高中數(shù)學(xué) 模塊綜合測(cè)評(píng) 新人教A版選修22

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1、 模塊綜合測(cè)評(píng) (滿分:150分 時(shí)間:120分鐘) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是正確的) 1.如果z=m(m+1)+(m2-1)i為純虛數(shù),則實(shí)數(shù)m的值為(  ) A.1  B.0 C.-1 D.-1或1 B [由題意知,∴m=0.] 2.演繹推理“ 因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0且a≠ 1)是增函數(shù),而函數(shù)y=logx是對(duì)數(shù)函數(shù),所以y=logx是增函數(shù)” 所得結(jié)論錯(cuò)誤的原因是(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062245】 A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.大前提和小前提都錯(cuò)誤 A [對(duì)

2、數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1),當(dāng)a>1時(shí)是增函數(shù),當(dāng)0

3、設(shè)所要證明的結(jié)論的反面成立,本題中應(yīng)反設(shè)a,b都不能被5整除.] 5.設(shè)曲線y=在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax+y+3=0垂直,則a=(  ) A.-2 B.- C. D.2 A [y′=,y′|x=3=-, ∵(-a)=-1,∴a=-2.] 6.已知復(fù)數(shù)z1=2+i,z2=1+i,則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(  ) A.第一象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第四象限 D [==-,對(duì)應(yīng)點(diǎn)在第四象限.] 7.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖1所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是(  ) 圖1 D [觀察導(dǎo)函數(shù)f′(x)的圖象可知,f′(x)的

4、函數(shù)值從左到右依次為小于0,大于0,小于0,大于0, ∴對(duì)應(yīng)函數(shù)f(x)的增減性從左到右依次為減、增、減、增. 觀察選項(xiàng)可知,排除A、C. 如圖所示,f′(x)有3個(gè)零點(diǎn),從左到右依次設(shè)為x1,x2,x3,且x1,x3是極小值點(diǎn),x2是極大值點(diǎn),且x2>0,故選項(xiàng)D正確.故選D.] 8.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式++…+>(n>1,n∈ N*)的過程中,從n=k到n=k+1時(shí)左邊需增加的代數(shù)式是(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062246】 A. B.- C.+ D. B [從n=k到n=k+1左邊增加了+減少了,∴需增加的代數(shù)式為+-=-.] 9.已知結(jié)論:“ 在正三角形ABC中

5、,若D是BC的中點(diǎn),G是三角形ABC的重心,則=2”. 若把該結(jié)論推廣到空間,則有結(jié)論:在棱長都相等的四面體ABCD中,若△BCD的中心為M,四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等,則等于(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 C [面的重心類比幾何體的重心,平面類比空間,=2類比=3,故選C.] 10.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.看后甲對(duì)大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則(  ) A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績 C.乙、

6、丁可以知道對(duì)方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績 D [由甲說:“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個(gè)優(yōu)秀,1個(gè)良好”.乙看丙的成績,結(jié)合甲的說法,丙為“優(yōu)秀”時(shí),乙為“良好”;丙為“良好”時(shí),乙為“優(yōu)秀”,可得乙可以知道自己的成績.丁看甲的成績,結(jié)合甲的說法,甲為“優(yōu)秀”時(shí),丁為“良好”;甲為“良好”時(shí),丁為“優(yōu)秀”,可得丁可以知道自己的成績. 故選D.] 11.如圖2,第n個(gè)圖形是由正n+2邊形“擴(kuò)展”而來(n=1,2,3,…),則第n個(gè)圖形中頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為 (  ) 圖2 A.(n+1)(n+2) B.(n+2)(n+3) C.n2 D.n B [第一

7、個(gè)圖形共有12=34個(gè)頂點(diǎn),第二個(gè)圖形共有20=45個(gè)頂點(diǎn),第三個(gè)圖形共有30=56個(gè)頂點(diǎn),第四個(gè)圖形共有42=67個(gè)頂點(diǎn),故第n個(gè)圖形共有(n+2)(n+3)個(gè)頂點(diǎn).] 12.已知可導(dǎo)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f′(x)>f(x),則當(dāng)a>0時(shí),f(a)和eaf(0)的大小的關(guān)系為(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062247】 A.f(a)eaf(0) C.f(a)=eaf(0) D.f(a)≤eaf(0) B [令g(x)=e-xf(x),則g′(x)=e-x[f′(x)-f(x)]>0. 所以g(x)在(-∞,+∞)上為增函數(shù),g(a)>g(0).e-

8、af(a)>e0f(0),即f(a)>eaf(0),故選B.] 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,將答案填在題中的橫線上) 13.已知a,b∈R,i是虛數(shù)單位.若(a+i)(1+i)=bi,則|a+bi|=________. [解析] 由(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,得解方程組,得a=1,b=2,則a+bi=1+2i. ∴|a+bi|==. [答案]  14.由拋物線y=x2,直線x=1,x=3和x軸所圍成的圖形的面積是 ________. [解析] 如圖所示,S= [答案]  15.觀察下列不等式 1+<, 1++<, 1+++<

9、, …… 照此規(guī)律,第五個(gè)不等式為________. [解析] 左邊的式子的通項(xiàng)是1+++…+,右邊式子的分母依次增加1,分子依次增加2,還可以發(fā)現(xiàn)右邊分母與左邊最后一項(xiàng)分母的關(guān)系,所以第五個(gè)不等式為1+++++<. [答案] 1+++++< 16.設(shè)x3+ax+b=0,其中a,b均為實(shí)數(shù).下列條件中,使得該三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的是________.(寫出所有正確條件的編號(hào)) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062248】 ①a=-3,b=-3;②a=-3,b=2; ③a=-3,b>2;④a=0,b=2;⑤a=1,b=2. [解析] 令f(x)=x3+ax+b,求導(dǎo)得f ′(x)=3x2+a

10、,當(dāng)a≥0時(shí),f ′(x) ≥0,所以f(x)單調(diào)遞增,且至少存在一個(gè)數(shù)使f(x)<0,至少存在一個(gè)數(shù)使f(x)>0,所以f(x)=x3+ax+b必有一個(gè)零點(diǎn),即方程x3+ax+b=0僅有一根,故④⑤正確;當(dāng)a<0時(shí),若a=-3,則f ′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1),易知,f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在[-1,1]上單調(diào)遞減,所以f(x)極大=f(-1)=-1+3+b=b+2,f(x)極?。絝(1)=1-3+b=b-2,要使方程僅有一根,則f(x)極大=b+2<0或者f(x)極?。絙-2>0,解得b<-2或b>2,故①③正確.所以使得三次方程僅有一個(gè)實(shí)根的

11、是①③④⑤. [答案]?、佗邰堍? 三、解答題(本大題共6個(gè)大題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 17.(本小題滿分10分)已知a>0,b>0用分析法證明:≥. [證明] 因?yàn)閍>0,b>0, 要證≥, 只要證,(a+b)2≥4ab,只要證(a+b)2-4ab≥0, 即證a2-2ab+b2≥0, 而a2-2ab+b2=(a-b)2≥0恒成立, 故≥成立. 18.(本小題滿分12分)已知z∈C,且|z|-i=+2+3i(i為虛數(shù)單位),求復(fù)數(shù)的虛部. [解] 設(shè)z=x+yi(x,y∈R),代入方程|z|-i=+2+3i, 得出-i=x-yi+2+3i=(

12、x+2)+(3-y)i, 故有,解得, ∴z=3+4i,復(fù)數(shù)==2+i,虛部為1. 19.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=-x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062249】 (1)當(dāng)m=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率; (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值. [解] (1)當(dāng)m=1時(shí),f(x)=-x3+x2, f′(x)=-x2+2x,故f′(1)=1. 所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率為1. (2)f′(x)=-x2+2x+m2-1. 令f′(x)=0,解得x=1-m或x=1+m.

13、 因?yàn)閙>0,所以1+m>1-m. 當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表: x (-∞,1-m) 1-m (1-m,1+m) 1+m (1+m,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) 極小值 極大值 所以f(x)在(-∞,1-m),(1+m,+∞)內(nèi)是減函數(shù),在(1-m,1+m)內(nèi)是增函數(shù). 函數(shù)f(x)在x=1-m處取得極小值f(1-m), 且f(1-m)=-m3+m2-. 函數(shù)f(x)在x=1+m處取得極大值f(1+m), 且f(1+m)=m3+m2-. 20.(本小題滿分12分) 某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元購

14、進(jìn)一批商品,若該商品零售價(jià)為p元,銷量Q(單位:件)與零售價(jià)p(單位:元)有如下關(guān)系:Q=8 300-170p-p2,則當(dāng)該商品零售價(jià)定為多少元時(shí)利潤最大,并求出利潤的最大值. [解] 設(shè)商場(chǎng)銷售該商品所獲利潤為y元,則 y=(p-20)(8 300-170p-p2) =-p3-150p2+11 700p-166 000(p≥20), 則y′=-3p2-300p+11 700. 令y′=0得p2+100p-3 900=0,解得p=30或p=-130(舍去). 則p,y,y′變化關(guān)系如下表: p (20,30) 30 (30,+∞) y′ + 0 - y 極大

15、值 故當(dāng)p=30時(shí),y取極大值為23 000元. 又y=-p3-150p2+11 700p-166 000在[20,+∞)上只有一個(gè)極值,故也是最值.所以該商品零售價(jià)定為每件30元,所獲利潤最大為23 000元. 21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=ln x+a(1-x). (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)當(dāng)f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時(shí),求a的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062250】 [解] (1)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),f′(x)=-a. 若a≤0,則f′(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. 若a>0,則當(dāng)x∈時(shí),f′(x

16、)>0; 當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0. 所以f(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減. (2)由(1)知,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在(0,+∞)上無最大值; 當(dāng)a>0時(shí),f(x)在x=處取得最大值,最大值為 f=ln +a=-ln a+a-1. 因此f>2a-2等價(jià)于ln a+a-1<0. 令g(a)=ln a+a-1,則g(a)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,g(1)=0. 于是,當(dāng)01時(shí),g(a)>0. 因此a的取值范圍是(0,1). 22.(本小題滿分12分)在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中,數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=. (1)求a1,a2,a3; (2

17、)由(1)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):31062251】 [解] (1)由S1=a1=得a=1, ∵an>0,∴a1=1. 由S2=a1+a2=得a+2a2-1=0. ∴a2=-1. 由S3=a1+a2+a3=得a+2a3-1=0.∴a3=-. (2)猜想an=-(n∈N*). 證明如下:①n=1時(shí),a1=-命題成立. ②假設(shè)n=k時(shí),ak=-成立, 則n=k+1時(shí), ak+1=Sk+1-Sk=-, 即ak+1=--+=- ∴a+2ak+1-1=0.∴ak+1=-. 即n=k+1時(shí),命題成立, 由①②知,n∈N*,an=-. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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