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(四)函數(shù)與導數(shù)(2)
1.(2018成都模擬)已知f(x)=ln x-ax+1(a∈R).
(1)討論函數(shù)的單調性;
(2)證明:當a=2,且x≥1時,f(x)≤ex-1-2恒成立.
(1)解 ∵ f(x)=ln x-ax+1,a∈R,
∴f′(x)=-a=,
當a≤0時,f(x)的增區(qū)間為(0,+∞),無減區(qū)間,
當a>0時,增區(qū)間為,減區(qū)間為.
(2)證明 當x∈[1,+∞)時,由(1)可知當a=2時,f(x)在[1,+∞)上單調遞減,
f(x)≤f(1)=-1,
再令G(x)=ex-1-2,
在x∈[1,+∞)上,G′(x)=ex-1>0,G(x)單調遞增,
所以G(x)≥G(1)=-1,
所以G(x)≥f(x)恒成立,當x=1時取等號,
所以原不等式恒成立.
2.(2018合肥模擬)已知函數(shù)f(x)=xln x,g(x)=λ(x2-1)(λ為常數(shù)).
(1)若函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)在x=1處有相同的切線,求實數(shù)λ的值;
(2)當x≥1時,f(x)≤g(x),求實數(shù)λ的取值范圍.
解 (1)由題意得f′(x)=ln x+1,g′(x)=2λx,
又f(1)=g(1)=0,
且函數(shù)y=f(x)與y=g(x)在x=1處有相同的切線,
∴f′(1)=g′(1),則2λ=1,即λ=.
(2)設h(x)=xln x-λ(x2-1),
則h(x)≤0對?x∈[1,+∞)恒成立.
∵h′(x)=1+ln x-2λx,且h(1)=0,
∴h′(1)≤0,即1-2λ≤0,∴λ≥.
另一方面,當λ≥時,記φ(x)=h′(x),
則φ′(x)=-2λ=.
當x∈[1,+∞)時,φ′(x)≤0,
∴φ(x)在[1,+∞)內為減函數(shù),
∴當x∈[1,+∞)時,φ(x)≤φ(1)=1-2λ≤0,
即h′(x)≤0,
∴h(x)在[1,+∞)內為減函數(shù),
∴當x∈[1,+∞)時,h(x)≤h(1)=0恒成立,符合題意.
當λ<時,
①若λ≤0,
則h′(x)=1+ln x-2λx≥0對?x∈[1,+∞)恒成立,
∴h(x)在[1,+∞)內為增函數(shù),
∴當x∈[1,+∞)時,h(x)≥h(1)=0恒成立,不符合題意.
②若0<λ<,
令φ′(x)>0,則1
φ(1)=1-2λ>0,
即h′(x)>0,
∴h(x)在內為增函數(shù),
∴當x∈時,h(x)>h(1)=0,不符合題意,
綜上所述,λ的取值范圍是.
3.(2018山東省名校聯(lián)盟模擬)已知f(x)=xex+a(x+1)2+.
(1)若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,求a的值;
(2)當x>-2時,f(x)≥0,求a的取值范圍.
解 (1)f′(x)=(x+1)ex+2a(x+1)
=(x+1)(ex+2a),
若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值,則f′(1)=0,
所以a=-,
經(jīng)檢驗,當a=-時,函數(shù)f(x)在x=1處取得極值.
(2)f′(x)=(x+1)ex+2a(x+1)=(x+1)(ex+2a),
①a≥0時,當-2-1時,f′(x)>0,f(x)為增函數(shù);
又f(-1)=0,∴當x>-2時,f(x)≥0成立.
②a<0時,令ex+2a=0,得x=ln(-2a),
當ln(-2a)>-1,即a<-時,
當-2ln(-2a)時,f′(x)>0;
當-1-1時,f′(x)>0,
∴f(x)在(-2,+∞)上單調遞增,
又f(-1)=0,
當x∈(-2,-1)時,f(x)<0,不符合題意,舍去;
當-2-1時,f′(x)>0,
當ln(-2a)-1時,f′(x)>0,
當-20時,xex-eln x>x3+x2.
(1)解 由題意可知,g(x)= f′(x)=x+a-aex,
則g′(x)=1-aex,
當a≤0時,g′(x)>0,
∴g(x)在(-∞,+∞)上單調遞增;
當a>0時,當x<-ln a時,g′(x)>0,
當x>-ln a時,g′(x)<0,
∴g(x)在(-∞,-ln a)上單調遞增,
在(-ln a,+∞)上單調遞減,
綜上,當a≤0時,g(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,+∞),無遞減區(qū)間;
當a>0時,g(x)的單調遞增區(qū)間為(-∞,-ln a),單調遞減區(qū)間為(-ln a,+∞).
(2)解 由(1)可知,a>0,
且g(x)在x=-ln a處取得最大值,
g(-ln a)=-ln a+a-ae=a-ln a-1,
即a-ln a-1=0,
觀察可得當a=1時,方程成立,
令h(a)=a-ln a-1(a>0),h′(a)=1-=,
當a∈(0,1)時,h′(a)<0,
當a∈(1,+∞)時,h′(a)>0,
∴h(a)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,
∴h(a)≥h(1)=0,
∴當且僅當a=1時,a-ln a-1=0,
∴f(x)=x2+x-ex,
由題意可知f′(x)=g(x)≤0,f(x)在[0,+∞)上單調遞減,
∴f(x)在x=0處取得最大值f(0)=-1.
(3)證明 由(2)知,若a=1,
當x>0時,f(x)<-1,
即x2+x-ex<-1,
∴x3+x2-xex<-x,
∴x3+x2-xex+eln x0;當x>e時,F(xiàn)′(x)<0,
∴F(x)在(0,e)上單調遞增,在(e,+∞)上單調遞減,
∴F(x)≤F(e)=0,即eln x-x≤0,
∴x3+x2-xex+eln x<0,
∴當x>0時,xex-eln x>x3+x2.
5.(2018四省名校大聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=a(x+1)2-ex(a∈R).
(1)當a=時,判斷函數(shù)f(x)的單調性;
(2)若f(x)有兩個極值點x1,x2(x10,得x<0,
由g′(x)=1-ex<0,得x>0,
∴g(x)即f′(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調遞增,在區(qū)間(0,+∞)上單調遞減.
∴f′(x)max=f′(0)=0.
∴對?x∈R,f′(x)≤0,
∴f(x)在R上單調遞減.
(2)①解 ∵f(x)有兩個極值點,
∴關于x的方程f′(x)=2a(x+1)-ex=0有兩個根x1,x2,
設φ(x)=2a(x+1)-ex,則φ′(x)=2a-ex,
當a≤0時,φ′(x)=2a-ex<0,
φ(x)即f′(x)在R上單調遞減,
∴f′(x)=0最多有一根,不合題意,
當a>0 時,由φ′(x)>0,得xln 2a,
∴φ(x)即f′(x)在區(qū)間(-∞,ln 2a)上單調遞增,在區(qū)間(ln 2a,+∞)上單調遞減.
且當x→-∞時,f′(x)→-∞,
當x→+∞時,f′(x)→-∞,
要使f′(x)=0有兩個不同的根,
必有f′(x)max=f′(ln 2a)=2a(ln 2a+1)-2a=2aln 2a>0,
解得a>,
∴實數(shù)a的取值范圍是.
②證明 ∵f′(-1)=-<0,f′(0)=2a-1>0,
∴-1-,f(-1)=-,
∴-
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