（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何初步 課時分層作業(yè) 四十一 7.3 空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 文.doc

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課時分層作業(yè) 四十一空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 一、選擇題(每小題5分,共35分) 1.給出三個命題: ①若兩條直線和一個平面所成的角相等,則這兩條直線互相平行; ②若兩條直線與一個平面垂直,則這兩條直線互相平行; ③若兩條直線與一個平面平行,則這兩條直線互相平行. 其中正確的命題的個數(shù)是 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】選B.若兩條直線與同一個平面所成的角相等,則這兩條直線與平面的法向量夾角相等,這些直線構(gòu)成以法向量為軸的某個對頂圓錐.故①錯誤; 兩條直線與平面垂直,則這兩條直線與平面的法向量平行,則根據(jù)公理4,兩直線平行,故②正確; 兩條直線與一個平面平行,這兩條直線可能異面、平行或相交.故③錯誤. 2.下列命題中成立的個數(shù)是 (　　) ①直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,則l∥α; ②若直線l在平面α外,則l∥α; ③若直線l∥b,直線b?α,則l∥α; ④若直線l∥b,直線b?α,那么直線l就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線. A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】選A.直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,包括l?α和l∥α,故①不成立;直線l在平面α外,包括l與α相交和l∥α,故②不成立;直線l∥b,直線b?α,包括l?α和l∥α,故③不成立;直線l∥b,直線b?α,那么l平行于α內(nèi)與直線b平行的所有直線,所以直線l就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線,故只有④成立. 3.有如下三個命題: ①分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線; ②垂直于同一個平面的兩條直線是平行直線; ③過平面α的一條斜線有一個平面與平面α垂直.其中正確命題的個數(shù) 為 (　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】選C.①分別在兩個平面中的兩條直線不一定是異面直線,故①錯誤. ②此命題是直線與平面垂直的性質(zhì)定理,故②正確. ③可過斜線與平面α的交點(diǎn)作一條垂直于平面α的直線,則斜線與垂線所確定的平面即與平面α垂直,這樣的平面有且只有一個.故③正確. 所以②③正確. 4.在空間中,下列命題中不正確的是 (　　) A.若兩個平面有一個公共點(diǎn),則它們有無數(shù)個公共點(diǎn) B.任意兩條直線能確定一個平面 C.若點(diǎn)A既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi),則α與β相交于直線b,且點(diǎn)A在直線b上 D.若已知四個點(diǎn)不共面,則其中任意三點(diǎn)不共線 【解析】選B.在A中,若兩個平面有一個公共點(diǎn),則由公理3知它們有無數(shù)個公共點(diǎn),故A正確; 在B中,由公理2知,兩條平行線或兩條相交線能確定一個平面,兩條異面直線不能確定一個平面,所以任意兩條直線不能確定一個平面,故B錯誤; 在C中,若點(diǎn)A既在平面α內(nèi),又在平面β內(nèi),則由公理3知α與β相交于直線b,且點(diǎn)A在直線b上,故C正確; 在D中,假設(shè)任意三點(diǎn)共線,則根據(jù)“經(jīng)過一條直線和直線外一點(diǎn)有且只有一個平面”,所以四個點(diǎn)共面,與原題意不符,所以四個點(diǎn)不共面,則其中任意三點(diǎn)不共線,故D正確. 5.已知直線l與平面α相交但不垂直,m為空間內(nèi)一條直線,則下列結(jié)論一定不成立的是 (　　) A.m⊥l,m?α B.m⊥l,m∥α C.m∥l,m∩α≠? D.m⊥l,m⊥α 【解析】選D.設(shè)過l和l在平面α內(nèi)的射影的平面為β,則當(dāng)m⊥β時,有m⊥l,m∥α或m?α,故m與α不可能垂直,故D錯誤. 【變式備選】若直線a不平行于平面α,則下列結(jié)論成立的是 (　　) A.α內(nèi)的所有直線都與直線a異面 B.α內(nèi)不存在與a平行的直線 C.α內(nèi)的直線都與a相交 D.直線a與平面α有公共點(diǎn) 【解析】選D.直線a不平行于平面α,則a與平面α相交或a?α,所以D正確. 6.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120,|AB|=2,|BC|=|CC1|=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.補(bǔ)成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如圖所示,連接BD,DC1, 則所求角為∠BC1D或其補(bǔ)角, 因?yàn)閨BC1|=, |BD|==,|C1D|=|AB1|=, 因此,cos∠BC1D==. 【誤區(qū)警示】本題易對兩異面直線AB1與BC1所成角找不準(zhǔn)導(dǎo)致計(jì)算錯誤. 7.如果直線AB與平面α相交于B,且與α內(nèi)的三條直線BC,BD,BE所成的角相同,則直線AB與平面內(nèi)和該直線異面的直線所成的角為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選B.由于線面所成的角范圍大于等于零度,小于等于90度,那么一條斜線與平面中過斜足的三條直線所成的角都相等,除非是直線AB與平面垂直.所以直線AB與平面內(nèi)和該直線異面的直線所成的角為. 二、填空題(每小題5分,共15分) 8.在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,E,F分別為側(cè)棱PC,PB的中點(diǎn),則EF與平面PAD的位置關(guān)系為____________,平面AEF與平面ABCD的交線是____________. 【解析】由題易知EF∥BC,BC∥AD,所以EF∥AD,故EF∥平面PAD,因?yàn)镋F∥AD,所以E,F,A,D四點(diǎn)共面,所以AD為平面AEF與平面ABCD的交線. 答案:平行　AD 【題目溯源】本題來源于人教A版必修2 P63B組第1題. 【變式備選】如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD是正方形,四個側(cè)面都是等邊三角形,AC與BD交于點(diǎn)O,E為側(cè)棱SC的中點(diǎn).則SA與平面BDE的關(guān)系是______________. 【解析】連接OE,因?yàn)镋,O分別是SC,AC的中點(diǎn),所以O(shè)E∥SA,因?yàn)镺E?平面BDE,SA?平面BDE,所以SA∥平面BDE. 答案:平行 9.將邊長為1的正方形AA1O1O(及其內(nèi)部)繞OO1旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱,如圖, ∠AOC=120,∠A1O1B1=60,其中B1與C在平面AA1O1O的同側(cè).則異面直線B1C與AA1所成的角的大小是____________. 【解析】設(shè)點(diǎn)B1在下底面圓周的射影為B,連接BB1,則BB1∥AA1,所以∠BB1C為直線B1C與AA1所成角(或補(bǔ)角),|BB1|=|AA1|=1,連接BC,BO,∠AOB=∠A1O1B1=, ∠AOC=,所以∠BOC=,所以△BOC為正三角形,所以|BC|=|BO|=1,tan∠BB1C=1,所以直線B1C與AA1所成角大小為45. 答案:45 【方法技巧】作兩條異面直線所成角的方法是:將其中一條直線平移與另一條相交或是將兩條異面直線同時平移到某個位置使他們相交,然后在同一平面內(nèi)求相交直線所成角. 提醒:平移后相交線所得的角必須容易算出,因此平移時要求選擇恰當(dāng)位置. 10.已知正方體ABCD-A1B1C1D1,點(diǎn)P,Q,R分別是線段B1B,AB和A1C上的動點(diǎn),觀察直線CP與D1Q,CP與D1R,給出下列結(jié)論: ①對于任意給定的點(diǎn)P,存在點(diǎn)Q,使得D1Q⊥CP; ②對于任意給定的點(diǎn)Q,存在點(diǎn)P,使得CP⊥D1Q; ③對于任意給定的點(diǎn)R,存在點(diǎn)P,使得CP⊥D1R; ④對于任意給定的點(diǎn)P,存在點(diǎn)R,使得D1R⊥CP. 其中正確的結(jié)論是____________.(填序號) 【解析】①只有D1Q⊥平面BCC1B1,即D1Q⊥平面ADD1A1時,才能滿足對于任意給定的點(diǎn)P,存在點(diǎn)Q,使得D1Q⊥CP,因?yàn)檫^D1點(diǎn)與平面DD1A1A垂直的直線只有一條D1C1,而D1C1∥AB,所以①錯誤;②當(dāng)點(diǎn)P與B1重合時,CP⊥AB,且CP⊥AD1,所以CP⊥平面ABD1,因?yàn)閷τ谌我饨o定的點(diǎn)Q,都有D1Q?平面ABD1,所以對于任意給定的點(diǎn)Q,存在點(diǎn)P,使得CP⊥D1Q,所以②正確;③當(dāng)R與A1重合時,在線段B1B上找不到點(diǎn)P,使CP⊥D1R,所以③不正確;④只有當(dāng)CP⊥平面A1CD1時,④才正確,所以對于任意給定的點(diǎn)P不存在點(diǎn)R,使D1R⊥CP,故④不正確. 答案:② 【變式備選】已知a,b,c為三條不同的直線,且a?平面α,b?平面β,α∩β=c.給出下列命題: ①若a與b是異面直線,則c至少與a,b中的一條相交; ②若a不垂直于c,則a與b一定不垂直; ③若a∥b,則必有a∥c; ④若a⊥b,a⊥c,則必有α⊥β. 正確的是____________.(填序號) 【解析】①中若c與a,b都不相交,則c∥a,c∥b,故a∥b,這與a與b是異面直線矛盾,①正確; ②中若α⊥β,b⊥c,則b⊥α,b⊥a,這與a與c是否垂直無關(guān),②錯; ③中若a∥b,則a∥β,又α∩β=c,所以a∥c,③正確; ④中當(dāng)b∥c時,α與β可能不垂直,④錯. 答案:①③ 1.(5分)設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,則下列命題正確的是 (　　) A.若m∥α,n∥α,則m∥n B.若α∥β,m?α,n?β,則m∥n C.若α∩β=m,n?α,則n⊥β D.若m⊥α,m∥n,n?β,則α⊥β 【解析】選D.若m∥α,n∥α,則直線m,n可以是平行、相交、異面,所以A不正確.若α∥β,m?α,n?β,則直線m,n可以是平行或異面,所以B不正確.C選項(xiàng)顯然不正確. 【變式備選】設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,下列命題中正確的是 (　　) A.若α⊥β,m?α,n?β,則m⊥n B.若α∥β,m?α,n?β,則m∥n C.若m⊥n,m?α,n?β,則α⊥β D.若m⊥α,m∥n,n∥β,則α⊥β 【解析】選D.構(gòu)造一個正方體,將各選項(xiàng)中的條件對應(yīng)于正方體中的線和面,不難知道,A,B,C是典型錯誤命題. 2.(5分)等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB,二面角C-AB-D的余弦值為,M,N分別是AC,BC的中點(diǎn),則EM,AN所成角的余弦值等于 (　　) A. B. C. D. 【解析】選D.如圖,點(diǎn)C在平面ABDE內(nèi)的射影為點(diǎn)O,點(diǎn)F為AB的中點(diǎn),連接OC,OF,CF,cos∠CFO=.設(shè)正方形的邊長為2,|OF|=|CF|cos∠CFO==1,即點(diǎn)C在平面ABDE內(nèi)的射影為正方形的中心,那么四棱錐C-ABDE是正四棱錐,所以=(+),=-,即=(+)=-+ -=22cos 60-0+22-22cos 60=,而||=,||=, 所以cos<,>===,即所求余弦值為. 3.(5分)如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB∥CD,正方體的六個面所在的平面與直線CE,EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m,n, 那么m+n= (　　) A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】選A.由題意可知直線CE與正方體的上底面平行,在正方體的下底面上,與正方體的四個側(cè)面不平行,所以m=4,直線EF與正方體的左右兩個側(cè)面平行,與正方體的上下底面相交,前后側(cè)面相交,所以n=4,所以m+n=8. 4.(12分)給出下列四個命題: ①平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點(diǎn); ②若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交,則α與β相交; ③若一條直線和兩條平行線都相交,則這三條直線共面; ④若三條直線交于同一點(diǎn),則這三條直線共面. 其中真命題的序號是____________. 【解析】①正確,因?yàn)橹本€在平面外,即直線與平面相交或直線平行于平面,所以最多有一個公共點(diǎn).②正確,a,b有交點(diǎn),則兩平面有公共點(diǎn),則兩平面相交.③正確,兩平行直線可確定一個平面,又直線與兩平行直線的兩交點(diǎn)在這兩平行直線上,所以過這兩交點(diǎn)的直線也在平面內(nèi),即三線共面.④錯誤,這三條直線可以交于同一點(diǎn),但不在同一平面內(nèi). 答案:①②③ 5.(13分)a,b為空間中兩條互相垂直的直線,等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a,b都垂直,斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),有下列結(jié)論: ①當(dāng)直線AB與a成60角時,AB與b成30角; ②當(dāng)直線AB與a成60角時,AB與b成60角; ③直線AB與a所成角的最小值為45; ④直線AB與a所成角的最大值為60; 其中正確的是____________.(填寫所有正確結(jié)論的編號) 【解析】由題意得,AC⊥BC,不妨假設(shè)等腰直角三角形ABC的腰長為1,以C為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)C且垂直于平面ABC的直線為x軸,CB所在直線為y軸,CA所在直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖: 則各點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,0,1),C(0,0,0), 因?yàn)橹本€a,b都垂直于AC,不妨設(shè)直線a的方向向量為a=(1,0,0),直線b的方向向量為b=(0,1,0), 因?yàn)樾边匒B以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn),所以可設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(cos θ,sin θ,0),則=(cos θ,sin θ,-1),設(shè)直線a與直線AB的夾角為α,直線b與直線AB的夾角為β, 則cos α=|cos|===, cos β=|cos|===. ①當(dāng)直線AB與a成60角時,有cos α==, 解得|cos θ|=, 所以|sin θ|=,此時AB與b的夾角β的余弦值為cos β==, 所以AB與b的夾角為60. 故①錯誤. ②由①分析得AB與b的夾角為60,故②正確. ③直線AB與a所成角的余弦值為cos α=, 當(dāng)cos α越大時,角α就越小,而的最大值為=,即cos α的最大值為,α的最小值為45, 即直線AB與a所成角的最小值為45,故③正確. ④直線AB與a所成角的余弦值為cos α=, 當(dāng)cos α越小時,角α就越大,而的最小值為0, cos α的最小值為0,α的最大值為90,即直線AB與α所成角的最大值為 90,故④錯誤. 答案:②③