（全國通用版）2019高考數學二輪復習 板塊四 考前回扣 專題1 集合、常用邏輯用語、不等式與推理證明學案 理.doc

回扣1　集合、常用邏輯用語、不等式與推理證明 1．集合 (1)集合的運算性質 ①A∪B＝A?B?A；②A∩B＝B?B?A；③A?B??UA??UB. (2)子集、真子集個數計算公式 對于含有n個元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為2n,2n－1,2n－1,2n－2. (3)集合運算中的常用方法 若已知的集合是不等式的解集，用數軸求解；若已知的集合是點集，用數形結合法求解；若已知的集合是抽象集合，用Venn圖求解． 2．四種命題及其相互關系 (1) (2)互為逆否命題的兩命題同真同假． 3．含有邏輯聯(lián)結詞的命題的真假 (1)命題p∨q：若p，q中至少有一個為真，則命題為真命題，簡記為：一真則真． (2)命題p∧q：若p，q中至少有一個為假，則命題為假命題，p，q同為真時，命題才為真命題，簡記為：一假則假，同真則真． (3)命題綈p：與命題p真假相反． 4．全稱命題、特稱(存在性)命題及其否定 (1)全稱命題p：?x∈M，p(x)，其否定為特稱(存在性)命題綈p：?x0∈M，綈p(x0)． (2)特稱(存在性)命題p：?x0∈M，p(x0)，其否定為全稱命題綈p：?x∈M，綈p(x)． 5．充分條件與必要條件的三種判定方法 (1)定義法：正、反方向推理，若p?q，則p是q的充分條件(或q是p的必要條件)；若p?q，且q?p，則p是q的充分不必要條件(或q是p的必要不充分條件)． (2)集合法：利用集合間的包含關系．例如，若A?B，則A是B的充分條件(B是A的必要條件)；若AB，則A是B的充分不必要條件(B是A的必要不充分條件)；若A＝B，則A是B的充要條件． (3)等價法：將命題等價轉化為另一個便于判斷真假的命題． 6．一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步驟：一化(將二次項系數化為正數)；二判(判斷Δ的符號)；三解(解對應的一元二次方程)；四寫(大于取兩邊，小于取中間)． 解含有參數的一元二次不等式一般要分類討論，往往從以下幾個方面來考慮：①二次項系數，它決定二次函數的開口方向；②判別式Δ，它決定根的情形，一般分Δ>0，Δ＝0，Δ<0三種情況；③在有根的條件下，要比較兩根的大小． 7．一元二次不等式的恒成立問題 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的條件是 (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的條件是 8．分式不等式 >0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)； ≥0(≤0)? 9．基本不等式 (1)≥(a，b∈(0，＋∞))，當且僅當a＝b時取等號． (2)在利用基本不等式求最值時，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，滿足基本不等式中“正”、“定”、“等”的條件． 10．線性規(guī)劃 (1)可行域的確定，“線定界，點定域”． (2)線性目標函數的最大值、最小值一般在可行域的頂點處取得． (3)線性目標函數的最值也可在可行域的邊界上取得，這時滿足條件的最優(yōu)解有無數多個． 11．推理 推理分為合情推理與演繹推理，合情推理包括歸納推理和類比推理；演繹推理的一般模式是三段論． 合情推理的思維過程 (1)歸納推理的思維過程 ―→→ (2)類比推理的思維過程 ―→→ 12．證明方法 (1)分析法的特點：從未知看需知，逐步靠攏已知． 推理模式 框圖表示 →→→…→ (2)綜合法的特點：從已知看可知，逐步推出未知． 推理模式 框圖表示：→→→…→(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結論)． (3)反證法 一般地，假設原命題不成立(即在原命題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．  1．描述法表示集合時，一定要理解好集合的含義——抓住集合的代表元素．如{x|y＝lg x}——函數的定義域；{y|y＝lg x}——函數的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函數圖象上的點集． 2．易混淆0，?，{0}：0是一個實數；?是一個集合，它含有0個元素；{0}是以0為元素的單元素集合，但是0??，而??{0}． 3．集合的元素具有確定性、無序性和互異性，在解決有關集合的問題時，尤其要注意元素的互異性． 4．空集是任何集合的子集．由條件A?B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A時，務必分析研究A＝?的情況． 5．區(qū)分命題的否定與否命題，已知命題為“若p，則q”，則該命題的否定為“若p，則綈q”，其否命題為“若綈p，則綈q”． 6．在對全稱命題和特稱(存在性)命題進行否定時，不要忽視對量詞的改變． 7．對于充分、必要條件問題，首先要弄清誰是條件，誰是結論． 8．判斷命題的真假要先明確命題的構成．由命題的真假求某個參數的取值范圍，還可以從集合的角度來思考，將問題轉化為集合間的運算． 9．不等式兩端同時乘一個數或同時除以一個數時，如果不討論這個數的正負，容易出錯． 10．解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式時，易忽視系數a的討論導致漏解或錯解，要注意分a>0，a<0進行討論． 11．求解分式不等式時應正確進行同解變形，不能把≤0直接轉化為f(x)g(x)≤0，而忽視g(x)≠0. 12．容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、 二定、三相等”導致錯解，如求函數f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函數y＝x＋(x<0)時應先轉化為正數再求解． 13．解線性規(guī)劃問題，要注意邊界的虛實；注意目標函數中y的系數的正負；注意最優(yōu)整數解． 14．求解線性規(guī)劃問題時，不能準確把握目標函數的幾何意義導致錯解，如是指已知區(qū)域內的點(x，y)與點(－2，2)連線的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知區(qū)域內的點(x，y)到點(1,1)的距離的平方等． 15．類比推理易盲目機械類比，不要被表面的假象(某一點表面相似)迷惑，應從本質上類比．用數學歸納法證明時，易盲目以為n0的起始值為1，另外注意證明傳遞性時，必須用n＝k成立的歸納假設． 1．已知集合M＝{x|log2x<3}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}，則M∩N等于(　　) A．(0,8) B．{3,5,7} C．{0,1,3,5,7} D．{1,3,5,7} 答案　D 解析　∵M＝{x|0<x<8}，又N＝{x|x＝2n＋1，n∈N}， ∴M∩N＝{1,3,5,7}，故選D. 2．下面幾種推理過程是演繹推理的是(　　) A．由平面三角形的性質推測空間三棱錐的性質 B．所有的金屬都能夠導電，鈾是金屬，所以鈾能夠導電 C．高一參加軍訓的有12個班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推測各班都超過50人 D．在數列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋1(n≥2)，由此歸納出{an}的通項公式 答案　B 解析　A．由平面三角形的性質推測空間三棱錐的性質為類比推理． B．所有的金屬都能夠導電，鈾是金屬，所以鈾能夠導電．由一般到特殊，為演繹推理． C．高一參加軍訓的有12個班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推測各班都超過50人，為歸納推理． D．在數列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋1(n≥2)，由此歸納出{an}的通項公式，為歸納推理． 3．用反證法證明命題：三角形的內角中至少有一個是鈍角．假設正確的是(　　) A．假設至少有一個是鈍角 B．假設至少有兩個是鈍角 C．假設沒有一個是鈍角 D．假設沒有一個是鈍角或至少有兩個是鈍角 答案　C 解析　原命題的結論為至少有一個是鈍角，則反證法需假設結論的反面．“至少有一個”的反面為“沒有一個”，即假設沒有一個是鈍角． 4．已知集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，集合B＝{x|y＝lg x}，則(?RA)∩B為(　　) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．[－1,1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案　C 解析　因為A＝{y|y＝sin x，x∈R}＝[－1,1]， B＝{x|y＝lg x}＝(0，＋∞)， 所以(?RA)∩B＝(1，＋∞)． 5．(2016全國Ⅰ)若a>b>1,0<c<1，則(　　) A．ac<bc B．abc<bac C．alogbc<blogac D．logac<logbc 答案　C 解析　對于A：由于0<c<1， ∴函數y＝xc在(1，＋∞)上單調遞增， 則a>b>1?ac>bc，故A錯； 對于B：由于－1<c－1<0， ∴函數y＝xc－1在(1，＋∞)上單調遞減， ∴a>b>1?ac－1<bc－1?bac<abc，故B錯； 對于C：要比較alogbc和blogac， 只需比較和，只需比較和， 只需比較bln b和aln a. 構造函數f(x)＝xln x(x>1)， 則f′(x)＝ln x＋1>1>0， ∴f(x)在(1，＋∞)上單調遞增， 因此f(a)>f(b)>0?aln a>bln b>0?<， 又由0<c<1，得ln c<0， ∴>?blogac>alogbc，故C正確； 對于D：要比較logac和logbc， 只需比較和， 而函數y＝ln x在(1，＋∞)上單調遞增， 故a>b>1?ln a>ln b>0?<， 又由0<c<1，得ln c<0， ∴>?logac>logbc，故D錯，故選C. 6．設有兩個命題，命題p：關于x的不等式(x－3)≥0的解集為{x|x≥3}；命題q：若函數y＝kx2－kx－8的值恒小于0，則－32<k<0，那么(　　) A．“p且q”為真命題 B．“p或q”為真命題 C．“綈p”為真命題 D．“綈q”為假命題 答案　C 解析　不等式(x－3)≥0的解集為{x|x≥3或x＝1}，所以命題p為假命題．若函數y＝kx2－kx－8的值恒小于0，則－32<k≤0，所以命題q也是假命題，所以“綈p”為真命題． 7．不等式組的解集記為D，z＝，有下面四個命題： p1：?(x，y)∈D，z≥1; p2：?(x0，y0)∈D，z≥1； p3：?(x，y)∈D，z≤2; p4：?(x0，y0)∈D，z<0. 其中為真命題的是(　　) A．p1，p2 B．p1，p3 C．p1，p4 D．p2，p3 答案　D 解析　作出可行域如圖陰影部分所示，因為z＝的幾何意義是可行域內的點(x，y)與點A(－1，－1)連線的斜率，可知與C連線斜率最小，與B連線斜率最大，聯(lián)立方程可得C(2,1)，B(1,3)，所以z的最小值為，最大值為2，所以p2，p3為真命題，故選D. 8．設命題甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是實數集R；命題乙：0<a<1，則命題甲是命題乙成立的(　　) A．充分不必要條件 B．充要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　由命題甲：ax2＋2ax＋1>0的解集是實數集R可知，當a＝0時，原式＝1>0恒成立， 當a≠0時，需滿足 解得0<a<1，所以0≤a<1， 所以由甲不能推出乙，而由乙可推出甲，因此命題甲是命題乙成立的必要不充分條件，故選C. 9．已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，則m的最大值為(　　) A．4 B．16 C．9 D．3 答案　B 解析　依題意得m≤(3a＋b)＝10＋＋， 由a>0，b>0得10＋＋≥16，故m≤16(當且僅當＝，即a＝b時，等號成立)，即m的最大值為16. 10．(2016山東)若變量x，y滿足則x2＋y2的最大值是(　　) A．4 B．9 C．10 D．12 答案　C 解析　滿足條件 的可行域如圖陰影部分(包括邊界)所示， x2＋y2是可行域上的動點(x，y)到原點(0,0)距離的平方，顯然，當x＝3，y＝－1時，x2＋y2取得最大值，最大值為10.故選C. 11．下列四個結論： ①若x>0，則x>sin x恒成立； ②命題“若x－sin x＝0，則x＝0”的逆否命題為“若x≠0，則x－sin x≠0”； ③“命題p∧q為真”是“命題p∨q為真”的充分不必要條件； ④命題“?x∈R，x－ln x>0”的否定是“?x0∈R，x0－ln x0<0”． 其中正確結論的個數是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　對于①，令y＝x－sin x，則y′＝1－cos x≥0，則函數y＝x－sin x在R上單調遞增，則當x>0時，x－sin x>0－0＝0，即當x>0時，x>sin x恒成立，故①正確； 對于②，命題“若x－sin x＝0，則x＝0”的逆否命題為“若x≠0，則x－sin x≠0”，故②正確； 對于③，命題p∨q為真即p，q中至少有一個為真，p∧q為真即p，q都為真，可知“p∧q為真”是“p∨q為真”的充分不必要條件，故③正確； 對于④，命題“?x∈R，x－ln x>0”的否定是“?x0∈R，x0－ln x0≤0”，故④錯誤． 綜上，正確結論的個數為3，故選C. 12．下列類比推理的結論不正確的是(　　) ①類比“實數的乘法運算滿足結合律”，得到猜想“向量的數量積運算滿足結合律”； ②類比“設等差數列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8成等差數列”，得到猜想“設等比數列{bn}的前n項積為Tn，則T4，，成等比數列”； ③類比“平面內，垂直于同一條直線的兩直線相互平行”，得到猜想“空間中，垂直于同一條直線的兩直線相互平行”； ④類比“設AB為圓的直徑，P為圓上任意一點，直線PA，PB的斜率存在，則kPAkPB為常數”，得到猜想“設AB為橢圓的長軸，P為橢圓上任意一點，直線PA，PB的斜率存在，則kPAkPB為常數”． A．①④ B．①③ C．②③ D．②④ 答案　B 解析?、诘炔顢盗兄薪Y論成立，而等比數列中T4＝aq6，＝aq22，＝aq38，結論也成立； ④由圓中kPAkPB為－1，而類比到橢圓： kPAkPB＝－或－，也成立； ①類比“實數的乘法運算滿足結合律”，得到猜想“向量的數量積運算滿足結合律” 不成立，即(ab)c≠a(bc)，這是由向量數量積的定義決定的． ③類比“平面內，垂直于同一條直線的兩直線相互平行”，得到猜想“空間中，垂直于同一條直線的兩直線相互平行”不成立，空間中可能出現(xiàn)相交，異面的情況．故選B. 13．已知集合M＝，若3∈M,5?M，則實數a的取值范圍是______________． 答案　∪(9,25] 解析　∵集合M＝， 得(ax－5)(x2－a)<0， 當a＝0時，顯然不成立， 當a>0時，原不等式可化為(x－)(x＋)<0， 若<，只需滿足解得1≤a<； 若>，只需滿足 解得9<a≤25，當a<0時，不符合條件． 綜上，a的取值范圍為∪(9,25]． 14．若“?x∈，m≤tan x＋1”為真命題，則實數m的最大值為________． 答案　0 解析　令f(x)＝tan x＋1，則函數f(x)在上為增函數，故f(x)的最小值為f＝0， ∵?x∈，m≤tan x＋1， 故m≤(tan x＋1)min， ∴m≤0，故實數m的最大值為0. 15．在平面上，如果用一條直線去截正方形的一個角，那么截下的一個直角三角形，按圖所標邊長，由勾股定理有c2＝a2＋b2.猜想若正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時從正方體上截下三條側棱兩兩垂直的三棱錐O－LMN，如果用S1，S2，S3表示三個側面面積，S4表示截面面積，那么類比得到的結論是_______________________． 答案　S＋S＋S＝S 解析　將側面面積類比為直角三角形的直角邊，截面面積類比為直角三角形的斜邊，可得S＋S＋S＝S. 16．要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是20元/m2，側面造價是10元/m2，則該容器的最低總造價是________元． 答案　160 解析　由題意知，體積V＝4 m3，高h＝1 m， 所以底面積S＝4 m2，設底面矩形的一條邊長是x m，則另一條邊長是 m，又設總造價是y元，則y＝204＋10≥80＋20＝160，當且僅當2x＝，即x＝2時取得等號．