高中數(shù)學 第二章 推理與證明學業(yè)質(zhì)量標準檢測 新人教A版選修12

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1、 第二章 推理與證明 時間120分鐘,滿分150分。 一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.命題“所有有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù),整數(shù)是有理數(shù),所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題,推理錯誤的原因是( C ) A.使用了歸納推理 B.使用了類比推理 C.使用了“三段論”,但大前提錯誤 D.使用了“三段論”,但小前提錯誤 [解析] 大前提是錯誤的,故選C. 2.已知a

2、ab2,=2>1,>,故A、B、D都不成立,排除A、B、D,選C. 3.用火柴棒擺“金魚”,如圖所示: 按照上面的規(guī)律,第n個“金魚”圖形需要火柴棒的根數(shù)為( C ) A.6n-2 B.8n-2 C.6n+2 D.8n+2 [解析] 歸納“金魚”圖形的構(gòu)成規(guī)律知,后面“金魚”都比它前面的“金魚”多了去掉尾巴后6根火柴組成的魚頭部分,故各“金魚”圖形所用火柴棒的根數(shù)構(gòu)成一首項為8,公差是6的等差數(shù)列,通項公式為an=6n+2. 4.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2an(n≥2),而a1=1,通過計算a2、a3、a4,猜想an=( B ) A. B. C.

3、 D. [解析] a2=S2-S1=22a2-1,∴a2=, a3=S3-S2=32a3-22a2=9a3-4, ∴a3=. a4=S4-S3=42a4-32a3=16a4-9, ∴a4=. 由此猜想an=. 5.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證<”,索的因應是( C ) A.a(chǎn)-b>0 B.a(chǎn)-c<0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 [解析] 0,即證a2-c2+a2-a

4、c>0,即證(a+c)(a-c)+a(a-c)>0,即證(a-c)[(a+c)+a]>0.又b=-(a+c),即證(a-c)(a-b)>0.故選C. 6.已知圓x2+y2=r2(r>0)的面積為S=πr2,由此類比橢圓+=1(a>b>0)的面積最有可能是( C ) A.πa2 B.πb2 C.πab D.π(ab)2 [解析] 圓的方程可以看作是橢圓方程+=1(a>b>0)中,a=b時的情形,∵S圓=πr2,∴類比出橢圓的面積為S=πab. 7.(2017全國Ⅱ文,9)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成

5、績,給乙看丙的成績,給丁看甲的成績.看后甲對大家說:我還是不知道我的成績.根據(jù)以上信息,則( D ) A.乙可以知道四人的成績 B.丁可以知道四人的成績 C.乙、丁可以知道對方的成績 D.乙、丁可以知道自己的成績 [解析] 由甲說:“我還是不知道我的成績”可推知甲看到乙、丙的成績?yōu)椤?個優(yōu)秀,1個良好”.乙看丙的成績,結(jié)合甲的說法,丙為“優(yōu)秀”時,乙為“良好”;丙為“良好”時,乙為“優(yōu)秀”,可得乙可以知道自己的成績.丁看甲的成績,結(jié)合甲的說法,甲為“優(yōu)秀”時,丁為“良好”;甲為“良好”時,丁為“優(yōu)秀”,可得丁可以知道自己的成績. 故選D. 8.已知f1(x)=cos x,f2(x

6、)=f1′(x),f3(x)=f2′(x),f4(x)=f3′(x),…,fn(x)=fn-1′(x),則f2016(x)等于( A ) A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x [解析] 由已知,有f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x, f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,…,可以歸納出: f4n(x)=sin x,f4n+1(x)=cos x,f4n+2(x)=-sin x, f4n+3(x)=-cos x(n∈N*).所以f2016(x)=f4(x)=sin x. 9.已知各項均不為零的數(shù)列{an}

7、,定義向量cn=(an,an+1),bn=(n,n+1),n∈N*.下列命題中真命題是( A ) A.若?n∈N*總有cn∥bn成立,則數(shù)列{an}是等差數(shù)列 B.若?n∈N*總有cn∥bn成立,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列 C.若?n∈N*總有cn⊥bn成立,則數(shù)列{an}是等差數(shù)列 D.若?n∈N*總有cn⊥bn成立,則數(shù)列{an}是等比數(shù)列 [解析] ∵對?n∈N*總有cn∥bn,則存在實數(shù)λ≠0,使cn=λbn,∴an=λn,∴{an}是等差數(shù)列. 10.下列函數(shù)f(x)中,滿足“對任意x1、x2∈(0,+∞),當x1f(x2)”的是( A ) A.

8、f(x)= B.f(x)=(x-1)2 C.f(x)=ex D.f(x)=ln(x+1) [解析] 若滿足題目中的條件,則f(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),在A、B、C、D四選項中,由基本函數(shù)性質(zhì)知,A是減函數(shù),故選A. 11.已知函數(shù)f(x)=lg,若f(a)=b,則f(-a)等于( B ) A.b B.-b C. D.- [解析] f(x)定義域為(-1,1),f(-a)=lg=lg()-1=-lg=-f(a)=-b. 12.已知f(x)=x3+x,a、b、c∈R,且a+b>0,a+c>0,b+c>0,則f(a)+f(b)+f(c)的值( A ) A.一定大于零 B.一定等

9、于零 C.一定小于零 D.正負都有可能 [解析] f(x)=x3+x是奇函數(shù),且在R上是增函數(shù), 由a+b>0得a>-b, 所以f(a)>f(-b),即f(a)+f(b)>0, 同理f(a)+f(c)>0,f(b)+f(c)>0, 所以f(a)+f(b)+f(c)>0. 二、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分,將正確答案填在題中橫線上) 13.“因為AC、BD是菱形ABCD的對角線,所以AC、BD互相垂直且平分.”以上推理的大前提是__菱形對角線互相垂直且平分__. 14.設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0),觀察: f1(x)=f(x)=, f2(x)=f(f1(x)

10、)=, f3(x)=f(f2(x))=, f4(x)=f(f3(x))=, … 根據(jù)以上事實,由歸納推理可得: 當n∈N*且n≥2時,fn(x)=f(fn-1(x))=  . [解析] 由已知可歸納如下:f1(x)=, f2(x)=,f3(x)=, f4(x)=,…, fn(x)=. 15.由代數(shù)式的乘法法則類比推導向量的數(shù)量積的運算法則: ①“mn=nm”類比得到“ab=ba”; ②“(m+n)t=mt+nt”類比得到“(a+b)c=ac+bc”; ③“t≠0,mt=nt?m=n”類比得到“c≠0,ac=bc?a=b”; ④“|mn|=|m||n|”類比得到“|a

11、b|=|a||b|”; ⑤“(mn)t=m(nt)”類比得到“(ab)c=a(bc)”; ⑥“=”類比得到“=”. 以上類比得到的結(jié)論正確的是__①②__. [解析]?、佗诙颊_;③⑥錯誤,因為向量不能相除;④可由數(shù)量積定義判斷,所以錯誤;⑤向量中結(jié)合律不成立,所以錯誤. 16.觀察下列等式: 1=1         13=1 1+2=3 13+23=9 1+2+3=6 13+23+33=36 1+2+3+4=10 13+23+33+43=100 1+2+3+4+5=15 13+23+33+43+53=225 … … 可以推測:13+23+33+…+n3=  

12、.(n∈N*,用含有n的代數(shù)式表示) [解析] 由條件可知: 13=12,13+23=9=32=(1+2)2,13+23+33=36=62=(1+2+3)2,…,不難得出. 13+23+33+…+n3=(1+2+3+…+n)2 =[]2=. 三、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(本題滿分10分)已知a、b、c∈R+,求證:≥. [解析] 分析法:要證≥, 只需證:≥()2, 只需證:3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca, 只需證:2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ca, 只需證:(a-

13、b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,而這是顯然成立的, 所以≥成立. 綜合法: ∵a、b、c∈R+,∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0, ∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ac), ∴3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2, ∴≥. 18.(本題滿分12分)(1)類比“等差數(shù)列”給出“等和數(shù)列”的定義; (2)探索等和數(shù)列{an}的奇數(shù)項與偶數(shù)項各有什么特點,并加以說明. [解析] (1)如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的和等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等和數(shù)列.

14、 (2)由(1)知an+an+1=an+1+an+2,∴an+2=an. ∴等和數(shù)列的奇數(shù)項相等,偶數(shù)項也相等. 19.(本題滿分12分)某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù). (1)sin2 13+cos2 17-sin 13cos 17. (2)sin2 15+cos2 15-sin 15cos 15. (3)sin2 18+cos2 12-sin 18cos 12. (4)sin2 (-18)+cos2 48-sin (-18)cos 48. (5)sin2 (-25)+cos2 55-sin (-25)cos 55. ①試從上述五個式子中選擇一

15、個,求出這個常數(shù); ②根據(jù)①的計算結(jié)果,將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論. [解析] ①選擇(2)式計算如下sin2 15+cos2 15-sin 15cos 15=1-sin2 30=. ②三角恒等式為 sin2 α+cos2 (30-α)-sin αcos (30-α)=. 證明如下:sin2 α+cos2 (30-α)-sin αcos (30-α)=sin2 α+(cos 30cos α+sin 30sin α)2-sinα (cos 30cos α+sin 30sin α) =sin2 α+cos2 α+sin αcos α+sin2 α- sin αco

16、s α-sin2 α =sin2 α+cos2 α=. 20.(本題滿分12分)已知△ABC的三個內(nèi)角A、B、C為等差數(shù)列,且a,b,c分別為角A、B、C的對邊. 求證:(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1. [分析] 利用分析法得出c2+a2=b2+ac,再利用綜合法證明其成立. [解析] 要證(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1, 即證+=, 只需證+=3. 化簡,得+=1, 即c(b+c)+(a+b)a=(a+b)(b+c), 所以只需證c2+a2=b2+ac. 因為△ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列, 所以B=60, 所以c

17、osB==, 即a2+c2-b2=ac成立. ∴(a+b)-1+(b+c)-1=3(a+b+c)-1成立. 21.(本題滿分12分)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1+,S3=9+3. (1)求數(shù)列{an}的通項an與前n項和Sn; (2)設(shè)bn=(n∈N+),求證:數(shù)列{bn}中任意不同的三項都不可能成等比數(shù)列. [解析] (1)設(shè)等差數(shù)列公差為d, 則3a1+d=9+3, 解得d=2,∴an=1++(n-1)2=2n+-1, Sn=n=n(n+). (2)bn==n+.用反證法證明. 設(shè)bn,bm,bk成等比數(shù)列(m、n、k互不相等),則bnbk=b,即(n+

18、)(k+)=(m+)2,整理得:nk-m2=(2m-n-k),左邊為有理數(shù),右邊是無理數(shù),矛盾,故任何不同三項都不可能成等比數(shù)列. 22.(本題滿分12分)(2017哈六中期中)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex-x2+x+2. (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值; (2)證明:當x≥1時,f(x)>x3-x. [解析] (1)f ′(x)=(x-1)(ex-1), 當x<0或x>1時,f ′(x)>0,當0<x<1時,f ′(x)<0, ∴f(x)在(-∞,0),(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,1)上單調(diào)遞減, 當x=0時,f(x)有極大值f(0)=0,當x=1時,f(x)有極

19、小值f(1)=-e. (2)設(shè)g(x)=f(x)-x3+x, 則g′(x)=(x-1)(ex--), 令u(x)=ex--,則u′(x)=ex-, 當x≥1時,u′(x)=ex->0,u(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,u(x)≥u(1)=e-2>0, 所以g′(x)=(x-1)(ex--)≥0,g(x)=f(x)-x3+x在[1,+∞)上單調(diào)遞增. g(x)=f(x)-x3+x≥g(1)=-e>0,所以f(x)>x3-x. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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