高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.3 冪函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版必修1
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1、 2.3 冪函數(shù) 教學(xué)分析 冪函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型,是學(xué)生在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)之后研究的又一類基本的初等函數(shù).學(xué)生已經(jīng)有了學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷,冪函數(shù)概念的引入以及圖象和性質(zhì)的研究便水到渠成.因此,學(xué)習(xí)過程中,引入冪函數(shù)的概念之后,嘗試放手讓學(xué)生自己進(jìn)行合作探究學(xué)習(xí).本節(jié)通過實(shí)例,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到冪函數(shù)同樣也是一種重要的函數(shù)模型,通過研究y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=等函數(shù)的性質(zhì)和圖象,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到冪指數(shù)大于零和小于零兩種情形下,冪函數(shù)的共性:當(dāng)冪指數(shù)α>0時(shí),冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0,0)和(1,1),且在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增;
2、當(dāng)冪指數(shù)α<0時(shí),冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(1,1),且在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減且以兩坐標(biāo)軸為漸近線.在方法上,我們應(yīng)注意從特殊到一般地去進(jìn)行類比研究冪函數(shù)的性質(zhì),并注意與指數(shù)函數(shù)進(jìn)行對(duì)比學(xué)習(xí). 將冪函數(shù)限定為五個(gè)具體函數(shù),通過研究它們來了解冪函數(shù)的性質(zhì).其中,學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了y=x,y=x2,y=x-1等三個(gè)簡單的冪函數(shù),對(duì)它們的圖象和性質(zhì)已經(jīng)有了一定的感性認(rèn)識(shí).現(xiàn)在明確提出冪函數(shù)的概念,有助于學(xué)生形成完整的知識(shí)結(jié)構(gòu).學(xué)生已經(jīng)了解了函數(shù)的基本概念、性質(zhì)和圖象,研究了兩個(gè)特殊函數(shù):指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù),對(duì)研究函數(shù)已經(jīng)有了基本思路和方法.因此,教材安排學(xué)習(xí)冪函數(shù),除內(nèi)容本身外,掌握研究函數(shù)的一般
3、思想方法是另一目的,另外,應(yīng)讓學(xué)生了解利用信息技術(shù)來探索函數(shù)圖象及性質(zhì)是一個(gè)重要途徑. 學(xué)習(xí)中學(xué)生容易將冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)混淆,因此在引出冪函數(shù)的概念之后,可以組織學(xué)生對(duì)兩類不同函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行辨析. 三維目標(biāo) 1.通過生活實(shí)例引出冪函數(shù)的概念,會(huì)畫冪函數(shù)的圖象,通過觀察圖象,了解冪函數(shù)圖象的變化情況和性質(zhì),加深學(xué)生對(duì)研究函數(shù)性質(zhì)的基本方法和流程的經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)學(xué)生的概括抽象和識(shí)圖能力,使學(xué)生體會(huì)到生活中處處有數(shù)學(xué),激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣. 2.了解幾個(gè)常見的冪函數(shù)的性質(zhì),通過這幾個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì),總結(jié)冪函數(shù)的性質(zhì),通過畫圖比較,使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想,利用計(jì)算機(jī)等工具,了解冪函數(shù)和指數(shù)函
4、數(shù)的本質(zhì)差別,使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)到現(xiàn)代技術(shù)在人們認(rèn)識(shí)世界的過程中的作用,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望. 3.應(yīng)用冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決有關(guān)簡單問題,培養(yǎng)學(xué)生觀察分析歸納能力,了解類比法在研究問題中的作用,滲透辯證唯物主義觀點(diǎn)和方法論,培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用具體問題具體分析的方法去分析和解決問題的能力. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):從五個(gè)具體的冪函數(shù)中認(rèn)識(shí)冪函數(shù)的概念和性質(zhì). 教學(xué)難點(diǎn):根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較兩個(gè)同指數(shù)的指數(shù)式的大?。? 課時(shí)安排 1課時(shí) 導(dǎo)入新課 思路1 1.如果張紅購買了每千克1元的水果w千克,那么她需要付的錢數(shù)p(元)和購買的水果量w(千克)之間有何關(guān)系?根據(jù)函數(shù)的定義可知,這里p
5、是w的函數(shù). 2.如果正方形的邊長為a,那么正方形的面積S=a2,這里S是a的函數(shù). 3.如果正方體的邊長為a,那么正方體的體積V=a3,這里V是a的函數(shù). 4.如果正方形場地面積為S,那么正方形的邊長a=,這里a是S的函數(shù). 5.如果某人t s內(nèi)騎車行進(jìn)了1 km,那么他騎車的速度v=t-1 km/s,這里v是t的函數(shù). 以上是我們生活中經(jīng)常遇到的幾個(gè)數(shù)學(xué)模型,你能發(fā)現(xiàn)以上幾個(gè)函數(shù)解析式有什么共同點(diǎn)嗎?(右邊指數(shù)式,且底數(shù)都是變量). (適當(dāng)引導(dǎo):從自變量所處的位置這個(gè)角度)(引入新課,書寫課題:冪函數(shù)). 思路2.我們前面學(xué)習(xí)了三類具體的初等函數(shù):二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)
6、,這一節(jié)課我們?cè)賹W(xué)習(xí)一種新的函數(shù)——冪函數(shù),教師板書課題:冪函數(shù). 推進(jìn)新課 提出問題 (1)給出下列函數(shù):y=x,y=,y=x2,y=x-1,y=x3,考察這些解析式的特點(diǎn),總結(jié)出來,是否為指數(shù)函數(shù)? (2)根據(jù)(1),如果讓我們起一個(gè)名字的話,你將會(huì)給他們起個(gè)什么名字呢?請(qǐng)給出一個(gè)一般性的結(jié)論. (3)我們前面學(xué)習(xí)指對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí),用了什么樣的思路?研究冪函數(shù)的性質(zhì)呢? (4)畫出y=x,y=,y=x2,y=x-1,y=x3五個(gè)函數(shù)圖象,完成下列表格. (5)通過對(duì)以上五個(gè)函數(shù)圖象的觀察,哪個(gè)象限一定有冪函數(shù)的圖象?哪個(gè)象限一定沒有冪函數(shù)的圖象?哪個(gè)象限可能有冪函數(shù)
7、的圖象,這時(shí)可以通過什么途徑來判斷? (6)通過對(duì)以上五個(gè)函數(shù)圖象的觀察和填表,你能類比出一般的冪函數(shù)的性質(zhì)嗎? 活動(dòng):考慮到學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù),對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)、研究有了一定的經(jīng)驗(yàn)和基本方法,所以教學(xué)流程又分兩條線,一條以內(nèi)容為明線,另一條以研究函數(shù)的基本內(nèi)容和方法為暗線,教學(xué)過程中同時(shí)展開,學(xué)生相互討論,必要時(shí),教師將解析式寫成指數(shù)冪形式,以啟發(fā)學(xué)生歸納,學(xué)生作圖,教師巡視,學(xué)生小組討論,得到結(jié)論,必要時(shí),教師利用幾何畫板演示. 討論結(jié)果: (1)通過觀察發(fā)現(xiàn)這些函數(shù)的變量在底數(shù)位置,解析式右邊都是冪,因?yàn)樗鼈兊淖兞慷荚诘讛?shù)位置上,不符合指數(shù)函數(shù)的定義,所以都不是指數(shù)函數(shù)
8、. (2)由于函數(shù)的指數(shù)是一個(gè)常數(shù),底數(shù)是變量,類似于我們學(xué)過的冪的形式,因此我們稱這種類型的函數(shù)為冪函數(shù),如果我們用字母α來表示函數(shù)的指數(shù),就能得到一般的式子,即冪函數(shù)的定義:一般地,形如y=xα的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,α是常數(shù). 如y=x2,y=,y=x3等都是冪函數(shù),冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)一樣,都是基本初等函數(shù). (3)我們研究指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí),根據(jù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì),由具體到一般;一般要考慮函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性;有時(shí)也通過畫函數(shù)圖象,從圖象的變化情況來看函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì),研究冪函數(shù)的性質(zhì)也應(yīng)如此. (4)學(xué)生用描點(diǎn)法,也可應(yīng)用
9、函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、定義域等,畫出函數(shù)圖象.利用描點(diǎn)法,在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x,y=,y=x2,y=x3,y=x-1的圖象. 列表: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y= … 0 1 1.41 1.73 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 … y=x3 … -27 -8 -1 0 1 8 27 … y=x-1 … - - -1 1 … 描點(diǎn)、連線.畫出以上五個(gè)函數(shù)的圖象如圖1.
10、 圖1 讓學(xué)生通過觀察圖象,分組討論,探究冪函數(shù)的性質(zhì)和圖象的變化規(guī)律,教師注意引導(dǎo)學(xué)生用類比研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的方法研究冪函數(shù)的性質(zhì). 通過觀察圖象,完成表格. (5)第一象限一定有冪函數(shù)的圖象;第四象限一定沒有冪函數(shù)的圖象;而第二、三象限可能有,也可能沒有圖象,這時(shí)可以通過冪函數(shù)的定義域和奇偶性來判斷. (6)冪函數(shù)y=xα的性質(zhì). ①所有的冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義,并且圖象都過點(diǎn)(1,1)(原因:1x=1); ②當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)的圖象都通過原點(diǎn),并且在[0,+∞)上是增函數(shù)(從左往右看,函數(shù)圖象逐漸上升). 特別地,當(dāng)α>1時(shí),x∈(0,1),y=xα的
11、圖象都在y=x圖象的下方,形狀向下凸,α越大,下凸的程度越大. 當(dāng)0<α<1時(shí),x∈(0,1),y=xα的圖象都在y=x的圖象上方,形狀向上凸,α越小,上凸的程度越大. ③當(dāng)α<0時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù). 思路1 例1 判斷下列函數(shù)哪些是冪函數(shù). ①y=0.2x;②y=x-3;③y=x-2;④y=. 活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考,討論回答,教師巡視引導(dǎo),及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生的回答.根據(jù)冪函數(shù)的定義判別,形如y=xα的函數(shù)稱為冪函數(shù),變量x的系數(shù)為1,指數(shù)α是一個(gè)常數(shù),嚴(yán)格按這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)來判斷. 解:①y=0.2x的底數(shù)是0.2,因此不是冪函數(shù); ②y=x-3的底數(shù)是變量,指
12、數(shù)是常數(shù),因此是冪函數(shù); ③y=x-2的底數(shù)是變量,指數(shù)是常數(shù),因此是冪函數(shù); ④y=的底數(shù)是變量,指數(shù)是常數(shù),因此是冪函數(shù). 點(diǎn)評(píng):判斷函數(shù)是否是冪函數(shù)要嚴(yán)格按定義來判斷. 變式訓(xùn)練 判別下列函數(shù)中有幾個(gè)冪函數(shù)? ①;②y=2x2;③;④y=x2+x;⑤y=-x3. 解:①③的底數(shù)是變量,指數(shù)是常數(shù),因此①③是冪函數(shù); ②的變量x2的系數(shù)為2,因此不是冪函數(shù); ④的變量是和的形式,因此也不是冪函數(shù); ⑤的變量x3的系數(shù)為-1,因此不是冪函數(shù). 例2 求下列冪函數(shù)的定義域,并指出其奇偶性、單調(diào)性. (1);(2);(3)y=x-2. 活動(dòng):學(xué)生思考,小組討論,教師引導(dǎo)
13、,學(xué)生展示思維過程,教師評(píng)價(jià).根據(jù)你的學(xué)習(xí)經(jīng)歷,回顧求一個(gè)函數(shù)的定義域的方法,判斷函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的方法.判斷函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的方法,一般用定義法.解決有關(guān)函數(shù)求定義域的問題時(shí),可以從以下幾個(gè)方面來考慮:列出相應(yīng)不等式或不等式組,解不等式或不等式組即可得到所求函數(shù)的定義域. 解:(1)要使函數(shù)有意義,只需y=有意義,即x∈R.所以函數(shù)的定義域是x∈R.又f(-x)=f(x),所以函數(shù)是偶函數(shù),它在(-∞,0]上是減函數(shù),在[0,+∞)上是增函數(shù). (2)要使函數(shù)有意義,只需y=有意義,即x∈R+,所以函數(shù)的定義域是R+,由于函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以函數(shù)是非奇非偶函數(shù),它在(0,
14、+∞)上是減函數(shù). (3)要使函數(shù)y=x-2有意義,只需y=有意義,即x≠0,所以函數(shù)y=x-2的定義域是x≠0,又f(-x)=f(x),所以函數(shù)y=x-2是偶函數(shù),它在(-∞,0)上是增函數(shù),在(0,+∞)上是減函數(shù). 點(diǎn)評(píng):在函數(shù)解析式中含有分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí),可以把它們的解析式化成根式,根據(jù)“偶次根號(hào)下非負(fù)”這一條件來求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義域;當(dāng)函數(shù)解析式的冪指數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí),根據(jù)負(fù)指數(shù)冪的意義將其轉(zhuǎn)化為分式形式,根據(jù)分式的分母不能為0這一限制條件來求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域的本質(zhì)是解不等式或不等式組. 例3 證明冪函數(shù)f(x)=在[0,+∞)上是增函數(shù). 活動(dòng):學(xué)生先思考或討論,再回
15、答,教師根據(jù)實(shí)際,可以提示引導(dǎo).證明函數(shù)的單調(diào)性一般用定義法,有時(shí)利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性. 證明:任取x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=-==,因?yàn)閤1-x2<0,+>0,所以<0.所以f(x1)<f(x2),即f(x)=在[0,+∞)上是增函數(shù). 點(diǎn)評(píng):證明函數(shù)的單調(diào)性要嚴(yán)格按步驟和格式書寫,利用作商的方法比較大小,f(x1)與f(x2)的符號(hào)要一致. 思路2 例1 函數(shù)y=的定義域是( ) A.{x|x≠0,或x≠2} B.(-∞,0)∪(2,+∞) C.(-∞,0]∪[2,+∞) D.(0,2) 解析:函數(shù)y=化為y=,
16、要使函數(shù)有意義需x2-2x>0,即x>2或x<0,所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x>2,或x<0}. 答案:B 變式訓(xùn)練 函數(shù)y=的值域是( ) A.[0,+∞) B.(0,1] C.(0,1) D.[0,1] 活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立解題,先思考,然后上黑板板演,教師巡視指導(dǎo).函數(shù)的值域要根據(jù)函數(shù)的定義域來求.函數(shù)可化為根式形式,偶次方根號(hào)的被開方數(shù)大于零,轉(zhuǎn)化為等式或不等式來解,可得定義域,這是復(fù)合函數(shù)求值域問題,利用換元法. 分析:令t=1-x2,則y=, 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是{x|-1≤x≤1},所以0≤t≤1.所以0≤y≤1. 答案:D 點(diǎn)評(píng):注意換元法在解
17、題中的應(yīng)用. 例2 比較下列各組數(shù)的大?。? (1)1.10.1,1.20.1;(2)0.24-0.2,0.25-0.2;(3)0.20.3,0.30.3,0.30.2. 活動(dòng):學(xué)生先思考或回憶,然后討論交流,教師適時(shí)提示點(diǎn)撥.比較數(shù)的大小,常借助于函數(shù)的單調(diào)性.對(duì)(1)(2)可直接利用冪函數(shù)的單調(diào)性.對(duì)(3)只利用冪函數(shù)的單調(diào)性是不夠的,還要利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,事實(shí)上,這里0.30.3可作為中間量. 解:(1)由于要比較的數(shù)的指數(shù)相同,所以利用冪函數(shù)的單調(diào)性,考察函數(shù)y=x0.1的單調(diào)性,在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增,又因?yàn)?.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1. (2)由于要
18、比較的數(shù)的指數(shù)相同,所以利用冪函數(shù)的單調(diào)性,考察函數(shù)y=x-0.2的單調(diào)性,在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減,又因?yàn)?.24<0.25,所以0.24-0.2>0.25-0.2. (3)首先比較指數(shù)相同的兩個(gè)數(shù)的大小,考察函數(shù)y=x0.3的單調(diào)性,在第一象限內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞增,又因?yàn)?.2<0.3,所以0.20.3<0.30.3. 再比較同底數(shù)的兩個(gè)數(shù)的大小,考察函數(shù)y=0.3x的單調(diào)性,在定義域內(nèi)函數(shù)單調(diào)遞減,又因?yàn)?.2<0.3,所以0.30.3<0.30.2.所以0.20.3<0.30.3<0.30.2. 另外,本題還有圖象法,計(jì)算結(jié)果等方法,留作同學(xué)們自己完成. 點(diǎn)評(píng):指數(shù)相同的冪的大小比較
19、可以利用冪函數(shù)的單調(diào)性;底數(shù)相同的冪的大小比較可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性. 1.下列函數(shù)中,是冪函數(shù)的是( ) A.y=2x B.y=2x3 C.y= D.y=2x 2.下列結(jié)論正確的是( ) A.冪函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn) B.當(dāng)α<0時(shí),冪函數(shù)y=xα是減函數(shù) C.當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)y=xα是增函數(shù) D.函數(shù)y=x2既是二次函數(shù),也是冪函數(shù) 3.下列函數(shù)中,在(-∞,0)是增函數(shù)的是( ) A.y=x3 B.y=x2 C.y= D. 4.已知某冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,),則這個(gè)函數(shù)的解析式為__________. 答
20、案:1.C 2.D 3.A 4. 分別在同一坐標(biāo)系中作出下列函數(shù)的圖象,通過圖象說明它們之間的關(guān)系. ①y=x-1,y=x-2,y=x-3;②,; ③y=x,y=x2,y=x3;④,. 活動(dòng):學(xué)生思考或交流,探討作圖的方法,教師及時(shí)提示,必要時(shí),利用幾何畫板演示. 解:利用描點(diǎn)法,在同一坐標(biāo)系中畫出上述四組函數(shù)的圖象如圖2、圖3,圖4、圖5. 圖2 圖3 圖4 圖5 ①觀察圖2得到: 函數(shù)y=x-1、y=x-2、y=x-3的圖象都過點(diǎn)(1,1),且
21、在第一象限隨x的增大而下降,函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),且向右無限接近x軸,向上無限接近y軸,指數(shù)越小,向右無限接近x軸的圖象在下方,向上離y軸越遠(yuǎn). ②觀察圖3得到: 函數(shù)、的圖象都過點(diǎn)(1,1),且在第一象限隨x的增大而下降,函數(shù)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)減函數(shù),且向右無限接近x軸,向上無限接近y軸,指數(shù)越小,向右無限接近x軸的圖象在下方,向上離y軸越遠(yuǎn). ③觀察圖4得到: 函數(shù)y=x、y=x2、y=x3的圖象過點(diǎn)(1,1)、(0,0),且在第一象限隨x的增大而上升,函數(shù)在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),指數(shù)越大圖象下凸越大,從第一象限來看,圖象向上離y軸近,向下離x軸近
22、. ④觀察圖5得到: 函數(shù)、的圖象過點(diǎn)(1,1)、(0,0),且在第一象限隨x的增大而上升,函數(shù)在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),指數(shù)越小圖象上凸越大,從第一象限來看,圖象在點(diǎn)(1,1)的左邊離y軸近,在點(diǎn)(1,1)的右邊離x軸近. 根據(jù)上述規(guī)律可以判斷函數(shù)圖象的分布情況. 1.冪函數(shù)的概念. 2.冪函數(shù)的性質(zhì). 3.冪函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用. 課本習(xí)題2.3 1,2,3. 冪函數(shù)作為一類重要的函數(shù)模型,是學(xué)生在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)之后研究的又一類基本的初等函數(shù),課本內(nèi)容較少,但高考內(nèi)容不少,應(yīng)適當(dāng)引申,所以設(shè)計(jì)了一些課本上沒有的題目類型,以擴(kuò)展同學(xué)們的視野,同
23、時(shí)由于作圖的內(nèi)容較多,建議抓住關(guān)鍵點(diǎn)作圖,要會(huì)熟練地運(yùn)用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器作圖,強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的理解. 歷史上數(shù)學(xué)計(jì)算方面的三大發(fā)明 你知道數(shù)學(xué)計(jì)算方面的三大發(fā)明嗎?這就是阿拉伯?dāng)?shù)字、十進(jìn)制和對(duì)數(shù). 研究自然數(shù)遇到的第一個(gè)問題是計(jì)數(shù)法和進(jìn)位制的問題,我們采用的十進(jìn)制是中國人的一大發(fā)明.在商代中期的甲骨文中已有十進(jìn)制,其中最大的數(shù)是3萬,印度最早到六世紀(jì)末才有十進(jìn)制.但是,目前使用的計(jì)數(shù)法和阿拉伯?dāng)?shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9,0是印度人最早開始使用,后來傳到阿拉伯,由阿拉伯人傳到歐洲,并被歐洲人所接受. 十進(jìn)制位置計(jì)數(shù)法的誕生,是自然數(shù)發(fā)展史上的一次飛躍,同一個(gè)數(shù)字由于它所在的位置
24、不同而有不同的值.無窮多個(gè)自然數(shù)可以用有限個(gè)符號(hào)來駕馭,所有的自然數(shù)都可以方便清楚地表示出來. 16世紀(jì)前半葉,由于實(shí)際的需要,對(duì)計(jì)算技術(shù)的改進(jìn)提出了前所未有的要求.這一時(shí)期計(jì)算技術(shù)最大的改進(jìn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明和應(yīng)用,它的產(chǎn)生主要是由于天文和航海計(jì)算的迫切需要.為了簡化天文航海方面所遇到的繁雜數(shù)值計(jì)算,自然希望將乘除法歸結(jié)為簡單的加減法.蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾(J.Napier,1550—1617)在球面天文學(xué)的三角學(xué)研究中,首先發(fā)明了對(duì)數(shù)方法.1614年他在題為《奇妙的對(duì)數(shù)定理說明書》一書中,闡述了他的對(duì)數(shù)方法,對(duì)數(shù)的使用價(jià)值為納皮爾的朋友——英國數(shù)學(xué)家布里格斯(H.Birggs,1561—1630
25、)所認(rèn)識(shí),他與納皮爾合作,并于1624年出版了《對(duì)數(shù)算術(shù)》一書,公布了以10為底的14位對(duì)數(shù)表,并稱以10為底的對(duì)數(shù)為常用對(duì)數(shù).常用對(duì)數(shù)曾經(jīng)在簡化計(jì)算上為人們做過重大貢獻(xiàn),而自然對(duì)數(shù)以及以e為底的指數(shù)函數(shù)成了研究科學(xué)、了解自然的必不可少的工具.恩格斯曾把對(duì)數(shù)的發(fā)明與解析幾何的創(chuàng)始,微積分學(xué)的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.法國著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯曾說:“對(duì)數(shù)的發(fā)明以其節(jié)省勞力而延長了天文學(xué)家的壽命.” 一直到18世紀(jì),瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(L.Euler,1707—1783)才發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系,他指出“對(duì)數(shù)源出于指數(shù)”,這個(gè)見解很快被人們所接受. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375
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