高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線與方程章末綜合檢測(cè) 蘇教版選修21

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1、6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3

2、3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5第第 2 2 章章 圓錐曲線與方程圓錐曲線與方程一、填空題(本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分把答案填在題中橫線上)1.橢圓x220y2k1 的焦距為 6，則k的值為_解析：由已知 2c6，c3，而c29，20k9 或k209，k11 或k29.答案：11 或 292.雙曲線mx2y21 的虛軸長(zhǎng)是實(shí)軸長(zhǎng)的 2 倍，則m_.解析：由題意知，mb0)，則有2b2a 2a2cc1，即2b2a 2，b2c1，得e22.答

3、案：224.與x24y21 有相同的漸近線，且過(guò)M(4， 3)的雙曲線方程為_解析：設(shè)方程為x24y2(0)，將M(4， 3)代入方程得4，所以方程為x24y21.答案：x24y215.已知雙曲線 3x2y29，則雙曲線右支上的點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離之比等于_解析：即求離心率，雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程x23y291，可知a 3，ca2b2 392 3，eca2 332.答案：26.若拋物線y22px的焦點(diǎn)與橢圓x26y221 的右焦點(diǎn)重合，則p的值為_解析：橢圓x26y221 的右焦點(diǎn)為(2，0)，而拋物線y22px的焦點(diǎn)為(p2，0)，則p22，故p4.答案：46 E D B C

4、3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3

5、5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 57.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y24x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若OAAF4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是_解析：由題意得F(1，0)，設(shè)A(y204，y0)，則OA(y204，y0)，AF(1y204，y0)，由OAAF4，解得y02，此時(shí)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為y2041，故點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，2)答案：(1，2)8.設(shè)P是橢圓x225y2161 上的任意一點(diǎn)，又點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0，4)，則PQ的最大值為_解析：設(shè)P的坐標(biāo)(x，y)，則PQ2x2(y4)225(1y216)

6、(y4)2916(y649)26259(4y4)，當(dāng)y4 時(shí)，PQ2最大，此時(shí)PQ最大，且PQ的最大值為25（14216）（44）28.答案：89.以雙曲線x29y2161 的右焦點(diǎn)為圓心，且與其漸近線相切的圓的方程是_解析：由題意知圓心坐標(biāo)應(yīng)為(5，0)又因?yàn)辄c(diǎn)(5，0)到漸近線y43x的距離為 4，所以圓的方程為x2y210 x90.答案：x2y210 x9010.橢圓對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的最短距離為 3，則這個(gè)橢圓方程為_解析：由題意知ac 3ca12，解得a2 3c 3，橢圓方程為x212y291 或y212x291.答案：x21

7、2y291 或y212x29111.已知兩點(diǎn)M(2，0)，N(2，0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足|MN|MP|MNNP0，則動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的軌跡方程為_解析：設(shè)P(x，y)，M(2，0)，N(2，0)，則MN(4，0)，|MN|4，MP(x2，y)，NP(x2，y)；由|MN|MP|MNNP0，得 4 （x2）2y24(x2)0，化簡(jiǎn)整理得y28x.答案：y28x12.設(shè)過(guò)點(diǎn)P(x，y)的直線分別與x軸的正半軸和y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 若BP2PA且OQAB1， 則點(diǎn)P的軌跡方程是_解析：設(shè)P(x，y)，則Q(x，y)，又設(shè)A(a，0)，B(0

8、，b)，則a0，b0.6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8

9、 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5于是BP(x，yb)，PA(ax，y)，由BP2PA可得a32x，b3y，所以x0，y0.又AB(a，b)(32x，3y)，由OQAB1 可得32x23y21(x0，y0)答案：32x23y21(x0，y0)13.拋物線y2x上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線ym(x3)對(duì)稱，則m的取值范圍是_解析：法一：設(shè)兩對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)且AB所在直線的方程可設(shè)為：y1mxb，代入y2x，得y2mymb0

10、，y1y2m，且m24mb0.設(shè)A、B的中點(diǎn)為(x0，y0)，則y0y1y22m2，又A、B的中點(diǎn)在直線ym(x3)上，所以x052，又(x0，y0)在直線y1mxb上by01mx0m252m，代入并整理得：m210， 10m 10，m的取值范圍是( 10， 10)法二：設(shè)兩對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，且A、B的中點(diǎn)為(x0，y0)，依題意，則有：y21x1y22x2y1y2x1x21my1y22y0，x1x22x0y0m（x03）y20 x0得：(y1y2)(y1y2)x1x2，將代入上式得：y0m2，將代入得：x052，將代入得m2252，m210， 10m 10.m

11、的范圍是( 10， 10)6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D

12、 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5答案：( 10， 10)14.已知F1，F(xiàn)2為雙曲線x2a2y2b21(a0，b0 且ab)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)下面四個(gè)命題：PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線xa上；PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線xb上；PF1F2的內(nèi)切圓的圓心必在直線OP上；PF1F2的內(nèi)切圓必通過(guò)點(diǎn)(a，0)其中真命題有_(寫出所有真命題的代號(hào))解析：設(shè)PF1F2的內(nèi)切圓分別與PF1，PF2切

13、于點(diǎn)A、B，與F1F2切于點(diǎn)M，則PAPB，F(xiàn)1AF1M，F(xiàn)2BF2M，又點(diǎn)P在雙曲線右支上，所以PF1PF22a，故F1MF2M2a，而F1MF2M2c，設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為(x，0)，則由F1MF2M2a可得(xc)(cx)2a解得xa，顯然內(nèi)切圓的圓心與點(diǎn)M的連線垂直于x軸，故正確答案：二、 解答題(本大題共 6 小題， 共 90 分， 解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、 證明過(guò)程或演算步驟)15.(本小題滿分 14 分)如圖，一個(gè)拋物線形拱橋，當(dāng)水面離拱頂 4 m 時(shí)，水面寬 8 m.(1)試建立坐標(biāo)系，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若水面上升 1 m，求水面寬度解：(1)如圖，以拱頂為原點(diǎn)，水平線為x軸，建

14、立坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22py(p0)由已知條件可知，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，4)，代入方程，得 422p(4)，即p2.所以，所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是x24y.(2)若水面上升 1 m，則y3，代入x24y，得x24(3)12，x2 3，所以這時(shí)水面寬為 4 3 m.16.(本小題滿分 14 分)已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(3， 2)， 且與橢圓 4x29y236 有相同的焦點(diǎn)(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求以雙曲線的右準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：(1)把橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為x29y241，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1( 5，0)，F(xiàn)2( 5，0)故設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(a0，b0)，則a2

15、b259a24b21，解得a23b22，故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23y221.(2)由(1)知雙曲線的右準(zhǔn)線方程為x3 55，即為拋物線的準(zhǔn)線方程故設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y22px(p0)，則有p23 55，故p6 55.6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7

16、 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y212 55x.17.(本小題滿分 14 分)已知雙曲線x29y2271 與點(diǎn)M(5，3)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，試在雙曲線上求一點(diǎn)P，使PM12PF最小，并求出這個(gè)最小值解：雙曲線的右焦點(diǎn)F(6，

17、0)，離心率e2，右準(zhǔn)線為l：x32.作MNl于N，交雙曲線右支于P，連結(jié)FP，則PFePN2PNPN12PF.此時(shí)PM12PFPMPNMN53272為最小值在x29y2271 中，令y3，x212x2 3；又x0，取x2 3.即當(dāng)所求P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2 3，3)時(shí)，PM12PF取最小值72.18.(本小題滿分 16 分)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：x2a2y2b21(ab0)的左、 右焦點(diǎn)， 點(diǎn)N( 2，1)在橢圓上，線段NF2與y軸的交點(diǎn)M滿足NMF2M0 0；(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)P為橢圓C上一點(diǎn)，且F1PF23，求F1PF2的面積解：(1)由已知，點(diǎn)N( 2，1)在橢圓上，有2a21

18、b21，又NMF2M0 0，M在y軸上，M為NF2的中點(diǎn)， 2c0，c 2.有a2b22，由，解得b22(b21 舍去)，a24，故所求橢圓C的方程為x24y221.(2)設(shè)PF1m，PF2n，則SF1PF212mnsin334mn.由橢圓的定義知PF1PF22a，即mn4.又由余弦定理得PF21PF222PF1PF2cos3F1F22，即m2n2mn(2 2)2.由2，得mn83，SF1PF2233.6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8

19、 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 519.(本小題滿分 16 分

20、)已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，A是拋物線上橫坐標(biāo)為 4，且位于x軸上方的點(diǎn)，A到拋物線準(zhǔn)線的距離等于 5.過(guò)A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點(diǎn)為M.(1)求拋物線方程；(2)過(guò)M作MNFA，垂足為N，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；(3)以M為圓心，MB為半徑作圓M，當(dāng)K(m，0)是x軸上一動(dòng)點(diǎn)時(shí)，討論直線AK與圓M的位置關(guān)系解：(1)拋物線y22px的準(zhǔn)線為xp2，于是 4p25，p2.拋物線方程為y24x.(2)點(diǎn)A的坐標(biāo)是(4，4)，由題意得B(0，4)，M(0，2)，又F(1，0)，kFA43；MNFA，kMN34，則FA的方程為y43(x1)，MN的方程為y234x.解方程組y43（

21、x1）y234x，得x85y45，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(85，45)(3)由題意得，圓M的圓心是點(diǎn)(0，2)，半徑為 2.當(dāng)m4 時(shí)，直線AK的方程為x4，此時(shí)，直線AK與圓M相離，當(dāng)m4 時(shí)，直線AK的方程為y44m(xm)，即為 4x(4m)y4m0，圓心M(0，2)到直線AK的距離d|2m8|16（m4）2，令d2，解得m1.當(dāng)m1 時(shí)，直線AK與圓M相離；當(dāng)m1 時(shí)，直線AK與圓M相切；當(dāng)m1 時(shí)，直線AK與圓M相交20.6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3

22、 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5(本小題

23、滿分 16 分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓x29y251 的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F.設(shè)過(guò)點(diǎn)T(t，m)的直線TA、TB與此橢圓分別交于點(diǎn)M(x1，y1)、N(x2，y2)，其中m0，y10，y20.(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF2PB24，求點(diǎn)P的軌跡；(2)設(shè)x12，x213，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；(3)設(shè)t9，求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān))解：由題設(shè)得A(3，0)，B(3，0)，F(xiàn)(2，0)(1)如圖，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則PF2(x2)2y2，PB2(x3)2y2.由PF2PB24，得(x2)2y2(x3)2y24，化簡(jiǎn)得x92.故所求點(diǎn)P的軌跡為直線x92.(2

24、)如圖，由x12，x219y2151 及y10，得y153，則點(diǎn)M2，53 ，從而直線AM的方程為y13x1；由x213，x229y2251 及y20，得y2209，則點(diǎn)N13，209 ，從而直線BN的方程為y56x52.由y13x1，y56x52，解得x7，y103.所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為7，103 .(3)證明：如圖，由題設(shè)知，直線AT的方程為ym12(x3)，直線BT的方程為ym6(x3)6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F

25、F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5點(diǎn)M(x1，y1)滿足y1m12（x13）

26、 ，x219y2151，得（x13） （x13）9m2122（x13）25.因?yàn)閤13，則x139m2122x135，解得x12403m280m2，從而得y140m80m2.點(diǎn)N(x2，y2)滿足y2m6（x23） ，x229y2251，解得x23m26020m2，y220m20m2.若x1x2，則由2403m280m23m26020m2及m0，得m2 10，此時(shí)直線MN的方程為x1，過(guò)點(diǎn)D(1，0)若x1x2，則m2 10，直線MD的斜率kMD40m80m22403m280m2110m40m2，直線ND的斜率kND20m20m23m26020m2110m40m2，得kMDkND，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)D.因此直線MN必過(guò)x軸上的定點(diǎn)(1，0)