金版教程高考數(shù)學文二輪復習講義:第二編 專題整合突破 專題三 三角函數(shù)與解三角形 第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) Word版含解析
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1、 高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 專題三 三角函數(shù)與解三角形 第一講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 必記公式] 1.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù) y=sinx y=cosx y=tanx 圖象 單 調(diào) 性 在-+2kπ,+2kπ(k∈Z)上單調(diào)遞增;在+2kπ,+2kπ(k∈Z)上單調(diào)遞減 在-π+2kπ,2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增;在2kπ,π+2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減 在-+kπ,+kπ (k∈Z)上單調(diào)遞增 對 稱 性 對稱中心: (kπ,0)(k∈Z); 對
2、稱軸: x=+kπ(k∈Z) 對稱中心: (k∈Z); 對稱軸: x=kπ(k∈Z) 對稱中心: (k∈Z) 2.三角函數(shù)的兩種常見圖象變換 重要結(jié)論] 1.三角函數(shù)的奇偶性 (1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)是奇函數(shù)?φ=kπ(k∈Z),是偶函數(shù)?φ=kπ+(k∈Z); (2)函數(shù)y=Acos(ωx+φ)是奇函數(shù)?φ=kπ+(k∈Z),是偶函數(shù)?φ=kπ(k∈Z); (3)函數(shù)y=Atan(ωx+φ)是奇函數(shù)?φ=kπ(k∈Z). 2.三角函數(shù)的對稱性 (1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的對稱軸由ωx+φ=kπ+(k∈Z)解得,對稱中心的橫坐標由
3、ωx+φ=kπ(k∈Z)解得; (2)函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的圖象的對稱軸由ωx+φ=kπ(k∈Z)解得,對稱中心的橫坐標由ωx+φ=kπ+(k∈Z)解得; (3)函數(shù)y=Atan(ωx+φ)的圖象的對稱中心由ωx+φ=(k∈Z)解得. 失分警示] 1.忽視定義域 求解三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值(值域)以及作圖象等問題時,要注意函數(shù)的定義域. 2.重要圖象變換順序 在圖象變換過程中,注意分清是先相位變換,還是先周期變換.變換只是相對于其中的自變量x而言的,如果x的系數(shù)不是1,就要把這個系數(shù)提取后再確定變換的單位長度和方向. 3.忽視A,ω的符號 在求y=Asin(ωx+φ
4、)的單調(diào)區(qū)間時,要特別注意A和ω的符號,若ω<0,需先通過誘導公式將x的系數(shù)化為正的. 4.易忽略對隱含條件的挖掘,擴大角的范圍導致錯誤. 考點 三角函數(shù)的定義域、值域(最值) 典例示法 典例1 (1)20xx合肥一模]函數(shù)y=lg (2sinx-1)+的定義域是________. 解析] 由題意,得即 首先作出sinx=與cosx=表示的角的終邊(如圖所示). 由圖可知劣弧和優(yōu)弧的公共部分對應角的范圍是,2kπ+(k∈Z). 所以函數(shù)的定義域為(k∈Z). 答案] (k∈Z) (2)已知函數(shù)f(x)=-sin+6sinxcosx-2cos2x+1,x∈R.
5、 ①求f(x)的最小正周期; ②求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 解]?、賔(x)=-sin2x-cos2x+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=2sin. 所以f(x)的最小正周期T==π. ②由①知f(x)=2sin. 因為x∈, 所以2x-∈, 則sin∈. 所以f(x)在上最大值為2,最小值為-2. 1.三角函數(shù)定義域的求法 求三角函數(shù)的定義域?qū)嶋H上是解簡單的三角不等式,常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解. 2.三角函數(shù)值域(最值)的三種求法 (1)直接法:利用sinx,cosx的值域. (2)化一法:化為y=Asin(ωx+φ)
6、+k的形式逐步分析ωx+φ的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域(最值). (3)換元法:把sinx或cosx看作一個整體,可化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的值域(最值)問題. 針對訓練 20xx天津高考]已知函數(shù)f(x)=sin2x-sin2,x∈R. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值. 解 (1)由已知,有 f(x)=- =-cos2x =sin2x-cos2x=sin. 所以,f(x)的最小正周期T==π. (2)解法一:因為f(x)在區(qū)間上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),f=-,f=-,f=.所以,f(x)在區(qū)間-,]上的最大值為,最
7、小值為-. 解法二:由x∈得2x-∈,故當2x-=-,x=-時,f(x)取得最小值為-,當2x-=,x=時,f(x)取最大值為. 考點 三角函數(shù)的性質(zhì) 典例示法 典例2 20xx山東棗莊質(zhì)檢]已知函數(shù)f(x)=sin+sin-2cos2,x∈R(其中ω>0). (1)求函數(shù)f(x)的值域; (2)若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=-1的兩個相鄰交點間的距離為,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解] (1)f(x)=sinωx+cosωx+sinωx-cosωx-(cosωx+1) =2-1 =2sin-1 由-1≤sin≤1, 得-3≤2sin-1≤1, 所以函數(shù)f(x
8、)的值域為-3,1]. (2)由題設條件及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)可知, f(x)的周期為π,所以=π,即ω=2. 所以f(x)=2sin-1, 再由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z), 解得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z). 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (k∈Z). 1.求解函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)問題的三種意識 (1)轉(zhuǎn)化意識:利用三角恒等變換將所求函數(shù)轉(zhuǎn)化為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式. (2)整體意識:類比y=sinx的性質(zhì),只需將y=Asin(ωx+φ)中的“ωx+φ”看成y=sinx中的“x”,采用整體代入求解. ①令ωx+φ=kπ+(k
9、∈Z),可求得對稱軸方程. ②令ωx+φ=kπ(k∈Z),可求得對稱中心的橫坐標. ③將ωx+φ看作整體,可求得y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間,注意ω的符號. (3)討論意識:當A為參數(shù)時,求最值應分情況討論A>0,A<0. 2.求解三角函數(shù)的性質(zhì)的三種方法 (1)求單調(diào)區(qū)間的兩種方法 ①代換法:求形如y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(A,ω,φ為常數(shù),A≠0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間時,令ωx+φ=z,則y=Asinz(或y=Acosz),然后由復合函數(shù)的單調(diào)性求得. ②圖象法:畫出三角函數(shù)的圖象,結(jié)合圖象求其單調(diào)區(qū)間. (2)判斷對稱中心與對稱軸:利用函
10、數(shù)y=Asin(ωx+φ)的對稱軸一定經(jīng)過圖象的最高點或最低點,對稱中心一定是函數(shù)的零點這一性質(zhì),通過檢驗f(x0)的值進行判斷. (3)三角函數(shù)周期的求法 ①利用周期定義. ②利用公式:y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為,y=tan(ωx+φ)的最小正周期為. ③利用圖象. 針對訓練 1.20xx湖南高考]已知ω>0,在函數(shù)y=2sinωx與y=2cosωx的圖象的交點中,距離最短的兩個交點的距離為2,則ω=________. 答案 解析 由題意,兩函數(shù)圖象交點間的最短距離即相鄰的兩交點間的距離,設相鄰的兩交點坐標分別為P(x1,y1),Q(x
11、2,y2),易知|PQ|2=(x2-x1)2+(y2-y1)2,其中|y2-y1|=-(-)=2,|x2-x1|為函數(shù)y=2sinωx-2cosωx=2sin的兩個相鄰零點之間的距離,恰好為函數(shù)最小正周期的一半,所以(2)2=2+(2)2,ω=. 2.20xx北京高考]設函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常數(shù),A>0,ω>0).若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性,且f=f=-f,則f(x)的最小正周期為________. 答案 π 解析 由f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性,且f=-f知,f(x)有對稱中心,由f=f知f(x)有對稱軸x=(+π)=π.記f(x)的最小正周期為T,則T≥-
12、,即T≥π.故π-==,解得T=π. 考點 三角函數(shù)的圖象及應用 典例示法 題型1 利用圖象求y=Asin(ωx+φ)的解析式 典例3 函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則ω,φ的值分別是( ) A.2,- B.2,- C.4,- D.4, 解析] 從圖中讀出此函數(shù)的周期情況為T==-=,所以ω=2.又讀出圖中最高點坐標為,代入解析式f(x)=2sin(2x+φ),得到2=2sin,所以2+φ=2kπ+(k∈Z),則φ=2kπ-. 因為-<φ<,所以令k=0,得到φ=-,故選A. 答案] A 題型2 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象
13、變換 典例4 20xx山東高考]要得到函數(shù)y=sin的圖象,只需將函數(shù)y=sin4x的圖象( ) A.向左平移個單位 B.向右平移個單位 C.向左平移個單位 D.向右平移個單位 解析] 因為y=sin=sin,所以只需將y=sin4x的圖象向右平移個單位,即可得到函數(shù)y=sin的圖象,故選B. 答案] B 題型3 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象和性質(zhì)的綜合應用 典例5 20xx太原一模]已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期是π,若將其圖象向右平移個單位后得到的圖象關于原點對稱,則函數(shù)f(x)的圖象( ) A.關于直線x=對稱 B.關于直線x=
14、對稱 C.關于點對稱 D.關于點對稱 解析] ∵f(x)的最小正周期為π,∴=π,ω=2,∴f(x)的圖象向右平移個單位后得到g(x)=sin=sin的圖象,又g(x)的圖象關于原點對稱, ∴-+φ=kπ,k∈Z,φ=+kπ,k∈Z,又|φ|<,∴<,∴k=-1,φ=-,∴f(x)=sin,當x=時,2x-=-,∴A,C錯誤,當x=時,2x-=,∴B正確,D錯誤. 答案] B 本例中條件不變,若平移后得到的圖象關于y軸對稱,則f(x)的圖象又關于誰對稱?( ) 答案 D 解析 g(x)的圖象關于y軸對稱,則-+φ=+kπ,k∈Z,可求φ=,∴f(x)=sin,2x+=kπ,
15、可得x=-,令k=1,則x=,故選D. 1.函數(shù)表達式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)+B的確定方法 2.三角函數(shù)圖象平移問題處理策略 (1)看平移要求:首先要看題目要求由哪個函數(shù)平移得到哪個函數(shù),這是判斷移動方向的關鍵點. (2)看移動方向:移動的方向一般記為“正向左,負向右”,看y=Asin(ωx+φ)中φ的正負和它的平移要求. (3)看移動單位:在函數(shù)y=Asin(ωx+φ)中,周期變換和相位變換都是沿x軸方向的,所以ω和φ之間有一定的關系,φ是初相,再經(jīng)過ω的壓縮,最后移動的單位是. 3.研究三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的常用方法 (1)求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、最值及判斷三
16、角函數(shù)的奇偶性,往往是在定義域內(nèi),先化簡三角函數(shù)式,盡量化為y=Asin(ωx+φ)的形式,然后再求解. (2)對于形如y=asinωx+bcosωx型的三角函數(shù),要通過引入輔助角化為y=sin(ωx+φ),的形式來求. 全國卷高考真題調(diào)研] 1.20xx全國卷Ⅱ]若將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移個單位長度,則平移后圖象的對稱軸為( ) A.x=-(k∈Z) B.x=+(k∈Z) C.x=-(k∈Z) D.x=+(k∈Z) 答案 B 解析 函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移個單位長度,得到的圖象對應的函數(shù)表達式為y=2sin,令2=kπ+(k∈Z),解得x=+(
17、k∈Z),所以所求對稱軸的方程為x=+(k∈Z),故選B.
2.20xx全國卷Ⅰ]函數(shù)f(x)=cos(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
答案 D
解析 由圖象可知+φ=+2mπ,+φ=+2mπ,m∈Z,所以ω=π,φ=+2mπ,m∈Z,所以函數(shù)f(x)=cos=cos的單調(diào)遞減區(qū)間為2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,即2k-
18、y=sin2x的圖象上,則( ) A.t=,s的最小值為 B.t=,s的最小值為 C.t=,s的最小值為 D.t=,s的最小值為 答案 A 解析 因為點P在函數(shù)y=sin的圖象上,所以t=sin=sin=.又P′在函數(shù)y=sin2x的圖象上,所以=sin,則2=2kπ+或2=2kπ+,k∈Z,得s=-kπ+或s=-kπ-,k∈Z.又s>0,故s的最小值為.故選A. 4.20xx陜西高考]如圖,某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin+k.據(jù)此函數(shù)可知,這段時間水深(單位:m)的最大值為( ) A.5 B.6 C.8 D.10 答案 C
19、解析 由題圖可知-3+k=2,k=5,y=3sin+5,∴ymax=3+5=8. 5.20xx湖南高考]將函數(shù)f(x)=sin2x的圖象向右平移φ個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象.若對滿足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,則φ=( ) A. B. C. D. 答案 D 解析 由已知得g(x)=sin(2x-2φ),滿足|f(x1)-g(x2)|=2,不妨設此時y=f(x)和y=g(x)分別取得最大值與最小值,又|x1-x2|min=,令2x1=,2x2-2φ=-,此時|x1-x2|==,又0<φ<,故φ=,選D. 6.20xx湖北高考]某
20、同學用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)在某一個周期內(nèi)的圖象時,列表并填入了部分數(shù)據(jù),如下表: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ) 0 5 -5 0 (1)請將上表數(shù)據(jù)補充完整,并直接寫出函數(shù)f(x)的解析式; (2)將y=f(x)圖象上所有點向左平行移動θ(θ>0)個單位長度,得到y(tǒng)=g(x)的圖象.若y=g(x)圖象的一個對稱中心為,求θ的最小值. 解 (1)根據(jù)表中已知數(shù)據(jù),解得A=5,ω=2,φ=-.數(shù)據(jù)補全如下表: ωx+φ 0 π 2π x Asin(ωx+φ
21、) 0 5 0 -5 0 且函數(shù)表達式為f(x)=5sin. (2)由(1)知f(x)=5sin, 得g(x)=5sin. 因為y=sinx的對稱中心為(kπ,0),k∈Z. 令2x+2θ-=kπ,解得x=+-θ,k∈Z. 由于函數(shù)y=g(x)的圖象關于點成中心對稱,令+-θ=,解得θ=-,k∈Z. 由θ>0可知,當k=1時,θ取得最小值. 一、選擇題 1.20xx貴陽監(jiān)測]下列函數(shù)中,以為最小正周期的奇函數(shù)是( ) A.y=sin2x+cos2x B.y=sin C.y=sin2xcos2x D.y=sin22x-cos22x 答案 C
22、 解析 A中,y=sin2x+cos2x=sin,為非奇非偶函數(shù),故A錯;B中,y=sin=cos4x,為偶函數(shù),故B錯;C中,y=sin2xcos2x=sin4x,最小正周期為且為奇函數(shù),故C正確;D中,y=sin22x-cos22x=-cos4x ,為偶函數(shù),故D錯,選C. 2.20xx唐山統(tǒng)考]將函數(shù)y=cos2x-sin2x的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)為g(x),則g(x)=( ) A.2sin2x B.-2sin2x C.2cos D.2sin 答案 A 解析 因為y=cos2x-sin2x=2sin=-2sin2x-,將其圖象向右平移個單位長度得
23、到g(x)=-2sin=-2sin(2x-π)=2sin2x的圖象,所以選A. 3.20xx武昌調(diào)研]已知函數(shù)f(x)=2sin-1(ω>0)的圖象向右平移個單位后與原圖象重合,則ω的最小值是( ) A.3 B. C. D. 答案 A 解析 將f(x)的圖象向右平移個單位后得到圖象的函數(shù)解析式為2sin-1=2sin-1,所以=2kπ,k∈Z,所以ω=3k,k∈Z,因為ω>0,k∈Z,所以ω的最小值為3,故選A. 4.20xx沈陽質(zhì)檢]某函數(shù)部分圖象如圖所示,它的函數(shù)解析式可能是( ) A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=-cos
24、答案 C 解析 不妨令該函數(shù)解析式為y=Asin(ωx+φ)(ω>0),由圖知A=1,=-=,于是=,即ω=,是函數(shù)的圖象遞減時經(jīng)過的零點,于是+φ=2kπ+π,k∈Z,所以φ可以是,選C. 5.20xx廣州模擬]已知sinφ=,且φ∈,函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于,則f的值為( ) A.- B.- C. D. 答案 B 解析 由函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于,得到其最小正周期為π,所以ω=2,f=sin=cosφ=-=-. 6.20xx重慶測試]設x0為函數(shù)f(x)=sinπx的零
25、點,且滿足|x0|+f<33,則這樣的零點有( ) A.61個 B.63個 C.65個 D.67個 答案 C 解析 依題意,由f(x0)=sinπx0=0得,πx0=kπ,k∈Z,x0=k,k∈Z.當k是奇數(shù)時,f=sin=sin=-1,|x0|+f=|k|-1<33,|k|<34,滿足這樣條件的奇數(shù)k共有34個;當k是偶數(shù)時,f=sin=sin=1,|x0|+f=|k|+1<33,|k|<32,滿足這樣條件的偶數(shù)k共有31個.綜上所述,滿足題意的零點共有34+31=65個,選C. 二、填空題 7.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)的部分圖象如圖所示,如果x1,x
26、2∈,且f(x1)=f(x2),則f(x1+x2)=________. 答案 解析 由題圖可知,=-=,則T=π,ω=2,又∵=,∴f(x)的圖象過點, 即sin=1,得φ=,∴f(x)=sin. 而x1+x2=-+=,∴f(x1+x2)=f=sin=sin=. 8.20xx貴陽監(jiān)測]為得到函數(shù)y=sin的圖象,可將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移m個單位長度,或向右平移n個單位長度(m,n均為正數(shù)),則|m-n|的最小值是________. 答案 解析 由題意可知,m=+2k1π,k1為非負整數(shù),n=-+2k2π,k2為正整數(shù),∴|m-n|=,∴當k1=k2時,|m-n|
27、min=. 9.20xx湖南岳陽質(zhì)檢]已知函數(shù)f(x)=sin的圖象向左平移個單位后與函數(shù)g(x)=sin的圖象重合,則正數(shù)ω的最小值為________. 答案 解析 將f(x)=sin的圖象向左平移個單位后,得到函數(shù)f1(x)=sin的圖象. 又f1(x)=sin的圖象與g(x)=sinωx+的圖象重合,故ωx+ω+=2kπ+ωx+,k∈Z.所以ω=12k-(k∈Z).又ω>0,故當k=1時,ω取得最小值,為12-=. 三、解答題 10.20xx山東高考]已知向量a=(m,cos2x),b=(sin2x,n),函數(shù)f(x)=ab,且y=f(x)的圖象過點和點. (1)求m,n
28、的值; (2)將y=f(x)的圖象向左平移φ(0<φ<π)個單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若y=g(x)圖象上各最高點到點(0,3)的距離的最小值為1,求y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解 (1)由題意知f(x)=ab=msin2x+ncos2x. 因為y=f(x)的圖象過點和, 所以 即解得 (2)由(1)知 f(x)=sin2x+cos2x=2sin. 由題意知g(x)=f(x+φ)=2sin. 設y=g(x)的圖象上符合題意的最高點為(x0,2), 由題意知x+1=1,所以x0=0, 即到點(0,3)的距離為1的最高點為(0,2). 將其代入y=g(x)得sin
29、=1, 因為0<φ<π,所以φ=, 因此g(x)=2sin=2cos2x. 由2kπ-π≤2x≤2kπ,k∈Z得kπ-≤x≤kπ,k∈Z, 所以函數(shù)y=g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. 11.20xx天津五區(qū)縣調(diào)考]已知函數(shù)f(x)=sinxcosx-cos2x+(x∈R). (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; (2)函數(shù)f(x)的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍,再向右平移個單位長度,得到g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)在x∈0,π]上的最大值及最小值. 解 (1)f(x)=sinxcosx-cos2x+=sin2x-cos2x=sin 由2kπ-≤2x-≤2kπ
30、+得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z), 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z). (2)函數(shù)f(x)的圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍,再向右平移個單位,得g(x)=sin, 因為x∈0,π]得:x-∈, 所以sin∈ 所以當x=0時,g(x)=sin有最小值-, 當x=時,g(x)=sin有最大值1. 12.20xx福建質(zhì)檢]已知函數(shù)f(x)=sinxcosx+cos2x. (1)若tanθ=2,求f(θ)的值; (2)若函數(shù)y=g(x)的圖象是由函數(shù)y=f(x)的圖象上所有的點向右平移個單位長度而得到,且g(x)在區(qū)間(0,m)內(nèi)是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)m的最大值. 解 (1)因為tanθ=2, 所以f(θ)=sinθcosθ+cos2θ=sinθcosθ+(2cos2θ-1)=sinθcosθ+cos2θ-=-=-=. (2)由已知得 f(x)=sin2x+cos2x=sin. 依題意,得g(x)=sin, 即g(x)=sin. 因為x∈(0,m),所以2x-∈. 又因為g(x)在區(qū)間(0,m)內(nèi)是單調(diào)函數(shù),所以2m-≤,即m≤,故實數(shù)m的最大值為.
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