高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 （四）直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 一、知識(shí)歸納： （一）直線和圓的位置關(guān)系 1．直線和圓位置關(guān)系的判定方法一是方程的觀點(diǎn)，即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立成方程組，利用判別式Δ來(lái)討論位置關(guān)系. ①Δ＞0，直線和圓相交；②Δ=0，直線和圓相切；③Δ＜0，直線和圓相離. 方法二是幾何的觀點(diǎn)，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較. ①d＜R，直線和圓相交；②d=R，直線和圓相切；③d＞R，直線和圓相離. 2．直線和圓相切，這類問(wèn)題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為已

2、知斜率k或已知直線上一點(diǎn)兩種情況，而已知直線上一點(diǎn)又可分為已知圓上一點(diǎn)和圓外一點(diǎn)兩種情況. 3．直線和圓相交，這類問(wèn)題主要是求弦長(zhǎng)以及弦的中點(diǎn)問(wèn)題. （二）圓與圓的位置關(guān)系 　設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，。 ；；； ； 二、學(xué)習(xí)要點(diǎn)： 1.有關(guān)直線和圓的位置關(guān)系，一般要用圓心到直線的距離與半徑的大小來(lái)確定. 2.當(dāng)直線和圓相切時(shí)，求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑，求切線長(zhǎng)一般要用切線、半徑及圓外點(diǎn)與圓心連線構(gòu)成的直角三角形；與圓相交時(shí)，弦長(zhǎng)的計(jì)算也要用弦心距、半徑及弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形. 3.有關(guān)圓的問(wèn)題，注意圓心、半徑及平面幾何知識(shí)的應(yīng)

3、用. 4.在確定點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，經(jīng)常要用到距離，因此，兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式等應(yīng)熟練掌握，靈活運(yùn)用. 三、例題分析： 例1、已知一個(gè)圓和軸相切，在直線上截得的弦長(zhǎng)為，且圓心在直線上，求圓的方程。 例2．從點(diǎn)發(fā)出的光線射到軸上，被軸反射，其反射光線所在的直線與圓 相切，求光線所在直線的方程. 例3、已知m∈R，直線l：和圓C：。 （1）求直線l斜率的取值范圍； （2）直線l能否將圓C分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩段圓弧？為什么？ 例4．已知圓A的圓心在曲線上，圓A

4、與y軸相切，又與另一圓 相外切，求圓A的方程. P M N O1 O2 例5．如圖，圓O1與圓O2的半徑都是1，O1O2=4，過(guò)動(dòng)點(diǎn)P分別作圓O1、圓O2的切線PM、PN（M、N分別為切點(diǎn)），使得試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程 四、練習(xí)題 （一）選擇題 1．設(shè)，則直線與圓的位置關(guān)系為 A．相切 B．相交 C．相切或相離 D．相交或相切 2．已知直線ax+by+c=0（abc≠0）與圓x2+y2=1相切，則三條邊長(zhǎng)分別為｜a｜、｜b｜、｜c(diǎn)｜ 的三角形 A．是銳角三角形

5、 B．是直角三角形 C．是鈍角三角形 D．不存在 3．設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，其斜率為1, 且與圓相切,則的值為 A．± B．±2 C．±2 D．±4 4．“”是“直線與圓相切”的 A充分而不必要條件． B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 5.若直線始終平分圓的周長(zhǎng),則 的最小值為 A． B． C． D． 7．圓與圓的位置關(guān)系是： A．外切

6、 B．內(nèi)切 C．相交 D．外離 8．在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A（1，2）距離為1，且與點(diǎn)B（3，1）距離為2的直線共有 A．1條 B．2條 C．3條 D．4條 9．若圓（x－3）2＋（y+5）2＝r2上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x－3y=2的距離等于1，則半徑r的范圍是 A.（4，6） B.［4，6） C.（4，6］ D.［4，6］ 10．一動(dòng)圓與圓x2+y2=1和x2+y2－8x+12=0都相切，則動(dòng)圓圓心軌跡為 A．.圓

7、B．橢圓 C．雙曲線一支 D．拋物線 （二）填空題： 11．設(shè)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為 _ . 12．已知圓和直線. 若圓與直線沒(méi)有公共 點(diǎn)，則的取值范圍是 . 13．設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且弦 的長(zhǎng)為 ，則___． 14．過(guò)點(diǎn)（1，）的直線l將圓(x－2)2＋y2＝4分成兩段弧，當(dāng)劣弧所對(duì)的圓心角最小時(shí)，直 線l的斜率k＝ ． （三）解答題： 15．圓內(nèi)有一點(diǎn)，AB為經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且傾斜角為的弦。 （1）當(dāng)時(shí)，求弦AB的長(zhǎng)；（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)求直線AB的方程。

8、 16．已知圓： （1）求圓心的坐標(biāo)及半徑的大?。? （2）若不過(guò)原點(diǎn)的直線與圓相切，且在軸、軸上的截距相等，求直線的方程； （3）從圓外一點(diǎn)向圓引一條切線，切點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求點(diǎn)的軌跡方程。 17．已知直線與圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的值。 18 在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓. （1）若直線過(guò)點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程； （2）設(shè)P為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過(guò)點(diǎn)P的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與 圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試 求所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)

9、。 19．已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2+y2－4x+1=0.求 （1）的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；（3）x2+y2的最大值和最小值. （四）直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系參考答案 三、例題分析： 例1.解：設(shè)所求圓的方程為：，則有 解方程組得或， 則所求圓的方程為或 例2解：圓（x－2）2＋（y－2）2＝1關(guān)于x軸的對(duì)稱方程是（x－2）2＋（y＋2）2＝1. 設(shè)l方程為y－3＝k（x＋3），由于對(duì)稱圓心（2，－2）到l的距離為圓的半徑1， 從而可得，化簡(jiǎn)得：，解得k1＝－，k2

10、＝－． 故所求l的方程是3x＋4y－3＝0或4x＋3y＋3＝0. 例3、（1）直線的方程可化為，此時(shí)斜率 因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立 所以，斜率k的取值范圍是； （2）不能.由（１知的方程為，其中； 圓Ｃ的圓心為，半徑；圓心Ｃ到直線的距離 由，得，即，從而，若與圓Ｃ相交，則圓Ｃ截直線所得 的弦所對(duì)的圓心角小于，所以不能將圓Ｃ分割成弧長(zhǎng)的比值為的兩端弧； （4）解析：兩圓為，， ，，則，兩圓相交。選B 例4解：設(shè)圓A的方程為 則有解得或 則圓A的方程為或 例5．解：以O(shè)1O2的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，O1O2所在直線為x軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系， 則

11、O1（-2，0），O2（2，0），由已知：ＰＭ＝,即 ＰＭ２＝２ＰＮ２， P M N O1 O2 O y x 因?yàn)閮蓤A的半徑都為1,所以有：，設(shè)P（x,y） 則（x+2）2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1]， 即 綜上所述，所求軌跡方程 （或） 四、練習(xí)題 一、選擇題 1~10 CBB4C 6BBA10 解析： 1．解析 圓心到直線的距離為d=，圓半徑為. ∵， ∴直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離. 選C 2．解析：由題意得=1，即c2=a2+b2，∴由｜a｜、｜b｜、｜c(diǎn)｜構(gòu)成的三角形為直角三角形

12、. 選B 3．解析：設(shè)直線過(guò)點(diǎn)(0，a)，其斜率為1， 且與圓x2+y2=2相切，設(shè)直線方程為，圓心(0，0)道直線的距離等于半徑，∴ ，∴ a 的值±2，選B． 8．解析：分別以A、B為圓心，以1、2為半徑作圓，兩圓的公切線有兩條，即為所求. 選B 9．?dāng)?shù)形結(jié)合法解. 選A 二、填空題： 11． 1_ . 12． (0, ) . 13．__0__14． k＝ 11．解析：圓心（0，0）到直線3x－4y－10=0的距離d==2. 再由d－r=2－1=1，知最小距離為1. 答案：1 12．解：由題意知，圓心(-5,0) 到直線 l:3x+y+5=

13、0 的距離 d 必須大于圓的半徑 ．因?yàn)閐＝，所以0＜r＜．從而應(yīng)填(0, )． 13．解析：設(shè)直線與圓相交于、兩點(diǎn)，且弦的長(zhǎng)為，則圓心(1，2)到直線的距離等于1，，0． 14． (數(shù)形結(jié)合)由圖形可知點(diǎn)A在圓的內(nèi)部, 圓心為O(2,0)要使得劣弧所對(duì)的圓心角最小,只能是直線,所以 三、解答題： 15．解：（1）直線AB的方程是：，則圓心到直線的距離是 由勾股定理 （2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，有，則 由直線方程的點(diǎn)斜式，可得直線AB的方程為： 16．解：（1）圓的方程可化為：，則圓心坐標(biāo)為，半徑 （2）依題意，可設(shè)直線的方程為，則由， 得或，即直線的方程為或 （3）因

14、為與圓相切，切點(diǎn)為，則有，又 故，即 化簡(jiǎn)得：，這就是點(diǎn)的軌跡方程 17．解：設(shè)，由 得，則 故，即 18【解析】 本小題主要考查直線與圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力、綜合分析問(wèn)題的能力。滿分16分。 (1)設(shè)直線的方程為：，即 由垂徑定理，得：圓心到直線的距離， 結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式，得： 化簡(jiǎn)得： 求直線的方程為：或，即或 (2) 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，直線、的方程分別為：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ，即： 因?yàn)橹本€被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，兩圓半徑相等。由垂徑定理，得：：圓心到直

15、線與直線的距離相等。 故有：， 化簡(jiǎn)得： 關(guān)于的方程有無(wú)窮多解，有： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解之得：點(diǎn)P坐標(biāo)為或。 19．解：（1）方程x2+y2－4x+1=0表示以點(diǎn)（2，0）為圓心，以為半徑的圓. 設(shè)=k，即y=kx，由圓心（2，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大、最小值.由=，解得k2=3. 所以kmax=，kmin=－. （也可由平面幾何知識(shí)，有OC=2，OP=，∠POC=60°，直線OP的傾斜角為60°，直線OP′的傾斜角為120°解之） （2）設(shè)y－x=b，則y=x+b，僅當(dāng)直線y=x+b與圓切于第四象限時(shí)，縱軸截距b取最小值.由點(diǎn)到直線的距離公式，得 =，即b=－2±， 故（y－x）min=－2－. （3）x2+y2是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)距離之平方，故連結(jié)OC，與圓交于B點(diǎn)，并延長(zhǎng)交圓于C′，則（x2+y2）max=｜OC′｜=2+， （x2+y2）min=｜OB｜=2－.