《《步步高學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)》2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2【配套備課資源】第二章23（一）》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《步步高學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)》2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2【配套備課資源】第二章23（一）（4頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2.3 數(shù)學(xué)歸納法(一)
一、基礎(chǔ)過關(guān)
1． 某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)，該命題成立，那么可推得n＝k＋1時(shí)，該命題也成立．現(xiàn)在已知當(dāng)n＝5時(shí)，該命題成立，那么可推導(dǎo)出 ( )
A．當(dāng)n＝6時(shí)命題不成立
B．當(dāng)n＝6時(shí)命題成立
C．當(dāng)n＝4時(shí)命題不成立
D．當(dāng)n＝4時(shí)命題成立
2． 一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n＝2時(shí)命題成立，且由n＝k時(shí)命題成立可以推得n＝k＋2時(shí)命題也成立，則 ( )
A．該命題對(duì)于n>2的自然數(shù)n都成立
B．該命題對(duì)于所有的正偶數(shù)都成立
C．該命題何時(shí)成立與k取值無關(guān)
D．以上答案都不對(duì)
3
2、． 在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n－3)條時(shí)，第一步驗(yàn)證n等于( )
A．1 B．2 C．3 D．0
4． 若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，則n＝1時(shí)f(n)是 ( )
A．1 B.
C．1＋＋ D．以上答案均不正確
5． 已知f(n)＝＋＋＋…＋，則 ( )
A．f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋
B．f(n)中共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋
C．f(n)中共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋
D．f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝＋＋
6． 在
3、數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次計(jì)算a2，a3，a4，歸納推測(cè)出an的通項(xiàng)表達(dá)式為 ( )
A. B.
C. D.
二、能力提升
7． 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)(n∈N*)，從k到k＋1左端需要增乘的代數(shù)式為 ( )
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
8． 已知f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，則f(k＋1)＝________.
9． 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明“2＋4＋…＋2n＝n2＋n(n∈N*)”的過程
4、中的錯(cuò)誤為
____________________________________________________________________．
證明：假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時(shí)等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k，那么2＋4＋…＋2k＋2(k＋1)＝k2＋k＋2(k＋1)＝(k＋1)2＋(k＋1)，即當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立．因此對(duì)于任何n∈N*等式都成立．
10．用數(shù)學(xué)歸納法證明
(1－)(1－)(1－)…(1－)＝(n∈N*)．
11．用數(shù)學(xué)歸納法證明：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1.
12．已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)a1＝5且Sn－
5、1＝an(n≥2，n∈N*)，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．
(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達(dá)式；
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明{an}的通項(xiàng)公式．
三、探究與拓展
13．是否存在常數(shù)a、b、c，使得等式122＋232＋342＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)對(duì)一切正整數(shù)成立？并證明你的結(jié)論．
答案
1．B 2．B 3．C 4．C 5．D 6．B 7．B
8．f(k)＋＋＋－
9．缺少步驟歸納奠基
10．證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1－＝，右邊＝＝，等式成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)等式成立，即
(1－)(1－)(1－)…(1－
6、)＝，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
(1－)(1－)(1－)…(1－)(1－)＝(1－)＝＝，
所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立．
由(1)(2)可知，對(duì)于任意n∈N*等式都成立．
11．證明 (1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1，右邊＝(－1)1－1＝1，
結(jié)論成立．
(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，結(jié)論成立．
即12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＝(－1)k－1，
那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k(k＋1)
＝(－1)k.
即n＝k＋1時(shí)結(jié)論也成立．
由(1)(2)可
7、知，對(duì)一切正整數(shù)n都有此結(jié)論成立．
12．(1)解 a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，
a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，
猜想an＝.
(2)證明?、佼?dāng)n＝2時(shí)，a2＝522－2＝5，公式成立．
②假設(shè)n＝k(k≥2，k∈N*)時(shí)成立，即ak＝52k－2，
當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由已知條件和假設(shè)有
ak＋1＝Sk＝a1＋a2＋a3＋…＋ak
＝5＋5＋10＋…＋52k－2.
＝5＋＝52k－1.
故n＝k＋1時(shí)公式也成立．
由①②可知，對(duì)n≥2，n∈N*，有an＝52n－2.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
an＝.
13．解 假設(shè)存在a
8、、b、c使上式對(duì)n∈N*均成立，則當(dāng)n＝1,2,3時(shí)上式顯然也成立，
此時(shí)可得
解此方程組可得a＝3，b＝11，c＝10，
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式122＋232＋342＋…＋n(n＋1)2＝(3n2＋11n＋10)對(duì)一切正整數(shù)均成立．
(1)當(dāng)n＝1時(shí)，命題顯然成立．
(2)假設(shè)n＝k時(shí)，命題成立．
即122＋232＋342＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)，
則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有
122＋232＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2
＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2
＝(k＋2)(3k＋5)＋(k＋1)(k＋2)2
＝(3k2＋5k＋12k＋24)
＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]．
即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立．
由(1)(2)可知，對(duì)任何正整數(shù)n，等式都成立．
《步步高學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)》2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-2【配套備課資源】第二章23（一）
