《定積分的簡單應用》參考教案

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1、 定積分的簡單應用 教學目標： 1、 進一步讓學生深刻體會“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲邊梯形的思想方法； 2、 讓學生深刻理解定積分的幾何意義以及微積分的基本定理； 3、 初步掌握利用定積分求曲邊梯形的幾種常見題型及方法， 以及利用定積分求一些簡單 的旋轉體的體積； 4、 體會定積分在物理中應用（變速直線運動的路程、變力沿直線做功） 。 教學重點： 幾種曲邊梯形面積的求法。 教學難點： 定積分求體積以及在物理中應用。 教學過程： 一、問題情境 1、求曲邊梯形的思想方法是什么？ 2、定積分的幾

2、何意義是什么？ 3、微積分基本定理是什么？ 二、數(shù)學應用 （一）利用定積分求平面圖形的面積 例 1、求曲線 y sin x x [0, 2 ] 與直線 x 0, x 2 , x 軸所圍成的圖形面積。 3 3 2 2 3 答案： S＝ 3 sin xdx cos x |o3 2 0

3、 變式引申： 、求直線 y 2x 3 與拋物線 y 2 所圍成的圖形面積。 1 x 答案： S＝ （2 x＋3－ x 2 ) dx （ x2 3 x x 3 ) |3 1 32 3 1 3 3 y 2、求由拋物線 y x 2 4x 3 及其在點 M（ 0，－ 3）

4、 和 N（3，0）處的兩條切線所圍成的圖形的面積。 略解： y/ 2 x 4 ，切線方程分別為 y 4 x 3 、 o x y 2x 6 ，則所求圖形的面積為  y= －x2+4x-3 3 x )]dx 3 [( x ) ( x 2 x )]dx＝ 9 S＝ 2 [( x ) ( x 2 4 3 4 3 2 6 4 3 0 3 4 2

5、 3、求曲線 y log 2 x 與曲線 y log 2 ( 4 x) 以及 x 軸所圍成的圖形面積。 略解：所求圖形的面積為 1 1 ( 4 2 2 y )dy S＝ 【g( y) f ( y)dy 0 0

6、 （4 y 2 2 y log 2 e) |10 4 2 log 2 e 4、在曲線 y x2 ( x 0) 上的某點 A 處作一切線使之與曲線以及 x 軸所圍成的面積為 1 . 試 x 12 求：切點 A 的坐標以及切線方程 . y=x2 略解：如圖由題可設切點坐標為 （x0 , x0 2 ) ，則切線方程 A

7、 為 y 2 x0 x x0 2 ，切線與 x 軸的交點坐標為 O B C x x0 x0 x0 2 2 3 1 ,0) ，則由題可知有 S 2 dx ( x 2 x x x )dx x0 ( 2 x x 0

8、 2 0 0 0 12 12 2 x0 1 ，所以切點坐標與切線方程分別為 A (1,1), y 2x 1 總結： 1、定積分的幾何意義是： 在區(qū)間 [a,b]上的曲線 y f ( x)與直線 x a 、 x b以及 x 軸 所圍成的圖形的面積的代數(shù)和， 即 b Sx軸上方 － Sx軸下方

9、 . 因此求一些曲邊圖形的面積要可 f ( x)dx a 以利用定積分的幾何意義以及微積分基本定理， 但要特別注意圖形面積與定積分不一定相等， 如函數(shù) y sin x x ［０,2 ］的圖像與 x 軸圍成的圖形的面積為 4, 而其定積分為 0. 2、求曲邊梯形面積的方法與步驟： （1） 畫圖，并將圖形分割為若干個曲邊梯形； （2） 對每個曲邊梯形確定其存在的范圍，從而確定積分的上、下限； （3） 確定被積函數(shù)； （4） 求出各曲邊梯形的面積

10、和，即各積分的絕對值的和。 3、幾種常見的曲邊梯形面積的計算方法： （1） x 型區(qū)域： ①由一條曲線 y f ( x)(其中 f ( x) 0）與直線 x a, x b( a b) 以及 x 軸所圍成的曲邊 b 梯形的面積： S＝ f ( x)dx （如圖（ 1））； a ②由一條曲線 y f ( x)(其中 f ( x) 0）與直線 x a, x b( a b) 以及 x 軸所圍成的曲邊 梯形的面積： S＝ b b f ( x)dx＝－ f ( x)dx （如圖（ 2））； a

11、a ③由兩條曲線 y f ( x)， y g( x)(其中 f ( x) g( x)）與直線 x a, x b(a b) 所圍成的曲 b f ( x)－ g( x) | dx （如圖（ 3））； 邊梯形的面積： S＝ | a y y a y y f (x) y f ( x) b x a b x y f ( x)  y g(x) b a

12、 x 圖（ 1） 圖（ 2） 圖（ 3） （2） y 型區(qū)域： ①由一條曲線 y f ( x)( 其中 x 0 與直線 y a, y b( a b) 以及 y 軸所圍成的曲邊梯形 ） 的面積 可由 y f ( x) 得 x h( y) ，然后利用 ＝ b h( y)dy 求出（如圖（ 4））； , S a

13、 ②由一條曲線 y f ( x)(其中 x 0）與直線 y a, y b( a b) 以及 y 軸所圍成的曲邊梯形 的面積，可由 y f ( x) 先求出 x b b h( y) ，然后利用 S＝ h( y)dy＝－ h( y)dy求出（如圖（ 5））； a a ③由兩條曲線 y f ( x)，y g( x) 與直線 y a, y b(a b) 所圍成的曲邊梯形的面積， 可由 y f ( x)， y g( x) 先分別求出

14、x h1 ( y) ， x h2 ( y) ，然后利用 S b | h1( y) h2 ( y) | dy 求 ＝ － a 出（如圖y（ 6））； y y b b b y f (x) y f ( x) y f ( x) x x a y g(

15、x) x a a 圖（ 4） 圖（ 5） 圖（ 6） （二）、定積分求旋轉體體積 例 2：求由曲線 y2 4x, x 1 所圍成的圖形繞 x軸旋轉所得旋轉體的體積。 分析：（1）分割：將旋轉體沿 x軸方向將區(qū)間 [0,1] 進行 n 等分；（ 2）對區(qū)間 i 1 , i 上 n n 2 的柱體以區(qū)間右端點對應的函數(shù)值的平方數(shù) f ( i )

16、 作為底面圓半徑的平方， 以 x 1 作 n n i 2 為圓柱的高，以此圓柱體積近似代替曲邊圓柱的體積，即 Vi x ；（ ）求和 f ( ) 3 n n n 2 V f ( i x 趨近于 0 時，根據(jù)定積分 )x ；（ 4）逼近：當分割無限變細時，即 i 1i i 1 n 1 的定義其極限即為旋轉體的體積 V＝ 4 xdx 。 0 1

17、 略解： V＝ 4xdx 2 0 （三）、定積分在物理中應用 (1) 求變速直線運動的路程 例 3、 A、 B 兩站相距 7.2km，一輛電車從 A 站 B 開往站，電車開出 ts 后到達途中 C點，這一段的速度為 1.2t(m/s) ，到 C點的速度為 24m/s，從 C 點到 B 點前的 D 點以等速行駛，從 D 點開始剎車，經(jīng) ts 后，速度為（ 24-1.2t ） m/s，在 B 點恰好停車，試求 （ 1） A、C間的距離；（ 2） B、 D 間的距離；（ 3）電車從 A 站到 B 站所需的時間。 分析：作變速直線運動的物體所經(jīng)過的

18、路程 s, 等于其速度函數(shù) v=v(t)(v(t) ≥0) 在時間 b 區(qū)間 [a,b] 上的定積分 , 即 ＝ S v(t) dt a 略解：（ 1）設 A 到 C 的時間為 t 1 則 1.2t=24, 20 2 |20 240( m) t 1 =20(s), 則 AC＝ 1.2tdt 0.6t 0 0 （ 2）設 D 到 B 的時間為 t 21 則 24-1.2t 2=0, t 21=20(s),

19、 20 則 DB＝ （24－1.2t）dt 0.6t2 |200 240(m) 0 （ 3）CD=7200-2 240=6720(m), 則從 C到 D的時間為 280(s), 則所求時間為 20+280+20=320 （ s） (2) 、變力沿直線所作的功 問題：物體在變力 x 的作用下做直線運動， 并且物體沿著與 F(x) 相同的方向從 a 點 F( ) x= 移動到 x= b 點，則變力 F(x) b 所做的功為 : W＝ F ( x) dx

20、 a 例 3：如果 1N能拉長彈簧 1cm，為了將彈簧拉長 6cm，需做功（ A ） A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J 略解：設 F kx ，則由題可得 k 0.01 ，所以做功就是求定積分 6 0.18 。 0.01xdx 0 五：回顧與小結： 本節(jié)課主要學習了利用定積分求一些曲邊圖形的面積與體積，即定積分在幾何中應用， 以及定積分在物理學中的應用，要掌握幾種常見圖形面積的求法，并且要注意定積分的幾何 意義，不能等同于圖形的面積，要注意微積分的基本思想的應用與理解。 六：課外作業(yè)