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第三節(jié) 二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題
【考綱下載】
1．會從實際情境中抽象出二元一次不等式組．
2．了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組．
3．會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決．[來源:]
1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域
(1)一般地，在平面直角坐標系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)的所有點組成的平面區(qū)域(半平面)不包括邊界直線，把邊界直線畫成虛線．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域(半平面)包括邊界直線，把
2、邊界直線畫成實線．
(2)對于直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符號相同，也就是位于同一半平面的點，如果其坐標滿足Ax＋By＋C＞0，則位于另一個半平面內(nèi)的點，其坐標滿足Ax＋By＋C＜0.
(3)可在直線Ax＋By＋C＝0的同一側(cè)任取一點，一般取特殊點(x0，y0)，從Ax0＋By0＋C的符號就可以判斷Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的區(qū)域．
(4)由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域，是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分．
2．線性規(guī)劃中的基本概念
名稱
意義
約束條件
由變量x，y組成的不等式
線性
3、約束條件
由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式(組)
目標函數(shù)
關于x，y的函數(shù)解析式，如z＝2x＋3y等
線性目標函數(shù)
關于x，y的一次解析式
可行解
滿足線性約束條件的解(x，y)
可行域
所有可行解組成的集合
最優(yōu)解
使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解[來源:]
線性規(guī)劃問題
在線性約束條件下求線性目標函數(shù)的最大值或最小值問題
1．點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直線Ax＋By＋C＝0的兩側(cè)的充要條件是什么？
提示：(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.
2．線性目標函數(shù)的最優(yōu)解是唯一的嗎？
提示：不一定，可
4、能有多個．
3．線性目標函數(shù)取得最值的點是否一定在可行域的頂點或邊界上？
提示：是．一定在可行域的頂點或邊界上．[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
1．(教材習題改編)不等式x－2y＋6<0表示的區(qū)域在直線x－2y＋6＝0的( )
A．右上方 B．右下方
C．左上方 D．左下方
解析：選C 畫出圖形如圖所示，可知該區(qū)域在直線x－2y＋6＝0的左上方．
2．(教材習題改編)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐標平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影部分表示)，應是下列圖形中的( )
解析：選C (x－2y
5、＋1)(x＋y－3)≤0?
或
3．若點(m,1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m的取值范圍是( )
A．m≥1 B．m≤1 C．m<1 D．m>1
解析：選D ∵點(m,1)在不等式2x＋3y－5>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，∴2m＋3－5>0，即m>1.
4．(2013·安徽高考)若非負變量x，y滿足約束條件則x＋y的最大值為________．
解析：由線性約束條件畫出可行域如圖所示．
令z＝x＋y，則直線y＝－x＋z經(jīng)過C(4,0)時截距最大．
∴zmax＝4＋0＝4
6、，∴x＋y的最大值為4.
答案：4
5．在平面直角坐標系中，若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2，則a的值為________．
解析：不等式組所圍成的區(qū)域如圖所示．
∵其面積為2，∴|AC|＝4，
∴C的坐標為(1,4)，代入ax－y＋1＝0，得a＝3.
答案：3[來源:]
前沿熱點(九)
與線性規(guī)劃有關的交匯問題
1．線性規(guī)劃問題常與指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、向量以及解析幾何的相關知識交匯命題．
2．解決此類問題的思維精髓是“數(shù)形結合”，作圖要精確，圖上操作要規(guī)范．
[典例] (2013·北京高考)已知點A(1，－1)，B(3，0)，C(
7、2,1)．若平面區(qū)域D由所有滿足＝λ＋μ (1≤λ≤2,0≤μ≤1)的點P組成，則D的面積為________．
[解題指導] 利用向量的坐標運算公式表示出點P坐標滿足的關系式，利用數(shù)形結合的思想求解．
[解析] ＝(2,1)，＝(1,2)．
設P(x，y)，由＝λ＋μ，
得
故有
又λ∈[1,2]，μ∈[0,1]，
故有
即
則平面區(qū)域D如圖中陰影部分所示．
由圖可知平面區(qū)域D為平行四邊形，可求出M(4,2)，N(6，3)，故|MN|＝.又x－2y＝0與x－2y－3＝0之間的距離為d＝＝，故平面區(qū)域D的面積為S＝×＝3.
[答案] 3
[名師點評]
8、解決本題的關鍵有以下幾點：
(1)根據(jù)已知條件，正確利用x，y表示λ和μ.
(2)根據(jù)λ和μ的取值范圍確定關于x，y的二元一次不等式組．[來源:]
(3)準確畫出不等式組表示的平面區(qū)域．
給定區(qū)域D：令點集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的點}，則T中的點共確定________條不同的直線．
解析：畫出平面區(qū)域D，如圖中陰影部分所示．
作出z＝x＋y的基本直線l0：x＋y＝0.經(jīng)平移可知目標函數(shù)z＝x＋y在點A(0,1)處取得最小值，在線段BC處取得最大值．而集合T表示z＝x＋y取得最大值或最小值時的整點坐標，在取最大值時線段BC上共有5個整點，分別為(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故T中的點共確定6條不同的直線．
答案：6
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高考數(shù)學復習：第六章 ：第三節(jié)二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
