《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第五章 :第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí):第五章 :第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)(3頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
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第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和
【考綱下載】
1.理解等差數(shù)列的概念.
2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.
3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.
4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.
1.等差數(shù)列的定義
一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母d表示,定義表達(dá)式為an-an-1=d(常數(shù))(n∈N*,n≥2)或an+1-an=d(常數(shù))(n∈N*).
2.等差數(shù)列的通
2、項公式[來源:]
若等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,則其通項公式為an=a1+(n-1)d.
3.等差中項
若三個數(shù)a,A,b成等差數(shù)列,則A叫做a與b的等差中項,且有A=.
4.等差數(shù)列的前n項和公式
Sn=na1+d=.[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
5.等差數(shù)列的性質(zhì)
已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項和.
(1)若m+n=p+q,則am+an=ap+aq,
特別地,若m+n=2p,則am+an=2ap.
(2)am,am+k,am+2k,am+3k,…仍是等差數(shù)列,公差為kd.
(3)數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差數(shù)列.
1.已知等差
3、數(shù)列{an}的第m項為am,公差為d,則其第n項an能否用am與d表示?[來源:]
提示:能,an=am+(n-m)d.
2.等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)運用了什么方法?
提示:倒序相加法.
3.等差數(shù)列前n項和公式能否看成關(guān)于n的函數(shù),該函數(shù)是否有最值?
提示:當(dāng)d≠0時,Sn是關(guān)于n的且常數(shù)項為0的二次函數(shù),則(n,Sn)是二次函數(shù)圖象上的一群孤立的點,由此可得:當(dāng)d>0時,Sn有最小值;當(dāng)d<0時,Sn有最大值.
1.在等差數(shù)列{an}中,a2=2,a3=4,則a10=( )
A.12 B.14 C.16 D.18[來源:]
4、
解析:選D ∵a2=2,a3=4,∴公差d=a3-a2=2.
∴a10=a2+8d=2+28=18.
2.設(shè){an}為等差數(shù)列,公差d=-2,Sn為其前n項和,若S10=S11,則a1=( )
A.18 B.20 C.22 D.24
解析:選B ∵S10=S11,∴a11=0,即a1+10d=0.∴a1=-10d=20.
3.已知{an}是等差數(shù)列,且a3+a9=4a5,a2=-8,則該數(shù)列的公差是( )
A.4 B.14 C.-4 D.-14
解析:選A ∵a2=-8,a3+a9=4a5,
∴
5、(-8+d)+(-8+7d)=4(-8+3d),
即16=4d,∴d=4.
4.(2013廣東高考)在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a8=10,則3a5+a7=________.
解析:設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則a3+a8=2a1+9d=10,3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.
答案:20
5.(2013重慶高考)若2,a,b,c,9成等差數(shù)列,則c-a=________.
解析:設(shè)公差為d,∵2,a,b,c,9成等差數(shù)列,
∴9-2=4d,∴d=.
又c-a=2d,∴c-a=2=.
答案:
數(shù)學(xué)思想(七)
整體思想在等差數(shù)列中的應(yīng)用
6、利用整體思想解數(shù)學(xué)問題,就是從全局著眼,由整體入手,把一些彼此獨立但實際上緊密聯(lián)系的量作為一個整體考慮的方法.有不少等差數(shù)列題,其首項、公差無法確定或計算繁瑣,對這類問題,若從整體考慮,往往可尋得簡捷的解題途徑.
[典例] 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=m,前m項和Sm=n(m≠n),則它的前m+n項的和Sm+n=________.
[解題指導(dǎo)] 可利用等差數(shù)列的前n項和公式求解,也可利用等差數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)求解.
[解析] 法一:設(shè){an}的公差為d,
則由Sn=m,Sm=n,
得
②-①,得(m-n)a1+d=n-m,[來源:]
∵m≠n,∴a1+d=-1.
∴S
7、m+n=(m+n)a1+d
=(m+n)=-(m+n).
法二:設(shè)Sn=An2+Bn(n∈N*),
則
③-④,得A(m2-n2)+B(m-n)=n-m.
∵m≠n,∴A(m+n)+B=-1.
∴A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n),
即Sm+n=-(m+n).
[答案] -(m+n)
[題后悟道] 1.本題的兩種解法都突出了整體思想,其中法一把a1+d看成了一個整體,法二把A(m+n)+B看成了一個整體,解起來都很方便.
2.整體思想是一種重要的解題方法和技巧,這就要求學(xué)生要熟練掌握公式,理解其結(jié)構(gòu)特征.
3.本題的易錯點是不能正確運用整體思想的運算方法,不能建立數(shù)量間的關(guān)系,導(dǎo)致錯誤.
若兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和分別為Sn和Tn,已知=,則等于( )
A.7 B. C. D.
解析:選D ∵a5=,b5=,∴=====.
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